Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
FACULTAD DE CIENCIAS U N I C A
ESCUELA DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO TEMA 4
Derivadas en IR PRÁCTICAS
Alberto Gutiérrez Borda
Ica, Perú Abril de 2014
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TEMA 4
Derivadas en IR
PRÁCTICA 4.1: Derivadas de Funciones ==============================================================
Alberto Gutiérrez Borda*
√ √ √ √ √ √ √ √ √
1. Calcule, usando la definición, la derivada de las siguientes funciones 1.1 1.3 1.5
1.2
1.4
1.6
1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 2. Para cada una de las siguientes funciones, calcule (si existe) la derivada en los puntos indicados usando la definición. 2.1 en 2.2 en 2.3 en 2.4 en 3. Calcule
para cada una de las siguientes funcione, utilizando las reglas
generales de derivación 4. Sea
. Determinar
para
.
5. Se define f define f como como . Calcule 6. Sea definida por y sea sabemos que . Calcular la derivada de 7. Sean
y
.
. Calcula
otra función de la sólo en el punto . .
8. Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones, utilizando las reglas generales de derivación. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.7 8.9
8.6
8.8
8.10
8.11
8.13
8.15 8.17 8.19
8.14
8.12
8.16
8.18
8.20
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TEMA 4
Derivadas en IR
√ √ ) ( (√ ) ( ) ( √ ) ( ( ) √ √ √ √ (√ ) √ (√ )
8.25
8.27
8.26
8.29
8.28
8.31 8.33
8.30
8.32 8.34
8.35
8.37
8.36
8.39
8.38
8.41
8.40
8.42
8.43
8.45
8.46
8.47
8.49
8.44
8.48
8.50
8.51 9. Calcule para cada una una de las siguientes funciones, aplicando la regla de la la cadena, es decir la propiedad de las funciones compuestas. 8.1 8.2 8.3. 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13
8.15
8.14
8.16
8.17
8.18 8.19 8.20 10. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11. Usando el método de derivación logarítmica calcule las derivadas de cada una de las siguientes funciones: 11.1
11.2
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TEMA 4
Derivadas en IR
11.9
√ (√ )√ (√ ) ) [ ]
11.11
11.10
11.12
12. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 12.1 12.2 12.3
13. El teorema del coseno permite expresar la longitud del lado a del triángulo a partir de los otros dos lados y el ángulo opuesto A por la fórmula: . Si mantenemos b y c constante, a resulta ser función del
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ángulo A. En estas condiciones, demuestre que
, es precisamente la altura del
triángulo correspondiente a la base a.
14. Sea
. Mediante la definición de derivada calcule
15. Se define la función
por
.
. Mediante la definición de derivada halle
.
16. Sea f Sea f una una función definida por
. Hallar
.
17. Usando propiedades hallar la función primera derivada: 17.1
17.3
17.2
17.4
17.5
17.7
17.6
18. Si
17.8
existe, demostrar que
19. Si
.
y f es derivable en
, pruebe que
.
20. Si f tiene derivada en el punto 21. Si
, demostrar que
y f es derivable en
.
, demuestre
.
22. Si
donde
es una función continua en
Respuesta:
26. Sea
.
por definición de derivadas
23. Pruebe que la función 24. ¿Es derivable la función 25. Sea
, hallar
es derivable en cualquier x cualquier x.. en el punto x = 1?
, hallar
.
una función definida por
, mediante la
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TEMA 4
Derivadas en IR
√ ( ) (
29. Obtener la derivada de las siguientes ecuaciones: 29.1 29.3
29.2
29.4
29.5 30. Obtener las derivadas de las siguientes funciones en 30.1 30.3
30.1
30.4
30.5 31. Si existe la derivada , indique cuales de las igualdades siguientes son ciertas y cuales falsas, expresando el fundamento de la decisión en cada caso: 31.1 31.3
31.2
31.4
32. Se considera la función real definida por qué puntos de
. Determine en
es es derivable.
33. Las gráficas que se muestran en la figura (a), (b) y (c) corresponden a una función a una función f, a su función derivada primera y a otra función g, todas ellas definidas en el mismo intervalo. Desafortunadamente, al componer el dibujo (en el que se muestran también los ejes), las gráficas se han colocado al azar.
Determinar de modo razonado cuál corresponde a , cual a g, cual a
.
PRÁCTICA 4.2: Derivadas Laterales =============================================================
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
|| || Dada la función
2. Dada la función
, calcular
, calcular
y
. ¿Existe f´(0)?
. ¿Existe
? Determinar
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TEMA 4
Derivadas en IR
4. Sea
| | definida como
. Pruebe que f no es derivable en x =
0 y que f presenta el valor mínimo absoluto en dicho punto. 5. Determinar los valores de a y b para sea derivable la función definida como
6. Se define f por la regla . Analizar si derivable en x = -1. Justica tu respuesta. 7. Estudiar la derivabilidad de la función de la función f (x) (x) en los puntos puntos x = -1, x = 2 y x = 3, siendo:
{ | | || ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦⟧ ⟦|⟧ | √⟦⟧ || √ | |
8. Dada la función f definida por
. Demostrar que
no es continua en x = 0. 9. Se define f define f como como
. Halla
10. Se define la función f función f por por
, analizar
.
11. Sea la función f función f definida definida por b de modo que
.
. Hallar los valores de a y
existe.
12. Analizar la existencia de
en
, donde la función g es
definida por:
.
13. Analizar la derivabilidad de cada función en el punto indicado: 13.1 , en 13.2 , en 13.3 , con en . 13.4 13.5 14. Sea
en
en
una función definida por
.
Hallar los valores reales de m y n para que f que f sea sea derivable en todo IR. 15. Sean
y
15.1 Dibujar esquemáticamente las gráficas de f de f y y g. 15.2 Pruebe que f que f y g son continuas en 0. 15.3 Pruebe que f que f no no es derivable en x en x = = 0. 15.4 Pruebe que g es derivable en 0 y calcular
.
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TEMA 4
Derivadas en IR
| | | | ||
16.3 Estudiar la continuidad de en . 17. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones: 17.1 17.2 18. Calcular, mientras existan, las derivadas sucesivas de la función 0. 19. En cada uno de los siguientes casos, estudiar la derivabilidad de f en IR.
en x =
19.1 19.2
20. Calcular (si existe)
para la siguiente funciones:
20.1
20.2
21. Sea f una función continua en c. Demuestre que si existen y y ambos son iguales, entonces existe la derivada de f en en c y además vale lo mismo que esos límites laterales. Nota: esta propiedad indica que una función que sea derivada de otra no puede tener discontinuidades evitables. 22. Encuentre la expresión de las derivadas de las siguientes funciones en los puntos en donde sean derivables:
| |
22.1
22.3 22.5
22.2
22.4
22.6
PRÁCTICA 4.3: Rectas Tangentes y Normales
=============================================================
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal al gráfico de cada una de las siguientes funciones, en los puntos cuyas abscisas se indican en cada caso:
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TEMA 4
Derivadas en IR
() ( ) () √ (√ )
4. Determine en qué punto de la curva la recta tangente es paralela a la recta L que une los puntos (1, 0) y (e, 1). 5. Sean f una función definida por 5.1. Para , calcular la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos y . Graficar la función y la recta secante. 5.2. Dar una expresión (en función de h) de la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos y donde 5.3.Calcular la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto como límite de pendientes de rectas secantes. 5.4.Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto . 6. Sean tales que para to , y donde g cumple, además, que y . Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f de f en en x = 0 . 7. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto que se indica en cada caso: 7.1 , en x = 1 7.2 , en x = 3. 7.3 , en x = 1. 1. 7.4 7.5
7.6. 7.7
, en x = 2.
, en
, en
.
.
, en
.
7.8 , en x = 0. 7.9 , en x = 1. 7.10 , en x = 2. 8. Sea la función . Calcula la ecuación de la recta tangente en un punto cualquiera x = a. Calcula a para dicha recta pase por el P(1, 0). 9. Sea la función definida como . Calcula la ecuación de la recta tangente en un punto cualquiera x = a. Halla la recta tangente a la gráfica de f de f que es paralela a la recta x - y +2 = 0. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 0) y es tangente a la gráfica de f de f . 10. Halla m para que la recta de ecuación y = 2 m + 4x sea tangente a la gráfica de . 11. Si las gráficas de las funciones con son
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TEMA 4
Derivadas en IR
15. Determinar la tangente a la curva:
en el punto de abscisa
x = 0. 16. Sea , halle la longitud de: sub-tangente, sub-normal, tangente, y normal, en el punto (0, 1). 17. Halla las pendientes de las rectas tangentes a las curvas
,
en el punto en que se intersecan. ¿Calcular el ángulo entre estas tangentes? 18. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la parábola en el punto donde la pendiente de la normal es -1. 19. Encontrar la curva de la forma que pase por el punto (1, 2) y sea tangente en el punto (0, 1). 20. Determinar condiciones entre a y b para que la cúbica sea paralela al eje OX. 21. Determinar la longitud de la normal de la catenaria , si . 22. Determinar el ángulo formado por las tangentes a la derecha y a la izquierda de la
curva en x = 0. 0. 23. Hallar dos circunferencias de radio 2 que sean tangentes a la curva en punto (1, 2). 24. Sea . Determine los valores de a y b que hacen que la recta y = 2x sea tangente a la gráfica de f de f en en el punto (2, 4). 25. Considere la gráfica de la función f definida por la ecuación: , donde a y b son constantes. 25.1 Determine la pendiente de la cuerda que une los puntos de la gráfica de abscisas y . 25.2 Halle, en función de y todos los valores de x para los que la tangente en tiene la misma pendiente que la cuerda hallada en (25.2).
PRÁCTICA 4.4: Derivada y Continuidad
=============================================================
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
Hallar los coeficientes
tales que existe
si
está dada por
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TEMA 4
Derivadas en IR
3. Dadas las siguientes funciones con dominio en IR:
.
|| ,
3.1 Demuestre que las tres funciones son continuas en x en x = = 0. 3.2 Realice los gráficos de estas funciones. 3.3 Demuestre que f que f y y g no son derivables en x = 0. 3.4 Estudiar la derivabilidad de h(x) en x = 0.
| | ||||
4. Sea
la función definida por
4.1 Analice Analice la continuidad de f en x = 1. 4.2 Mediante el estudio de cocientes incrementales estudie la derivabilidad de f en f en y . 5. Sea la función definida como
Estudia para que valores de m es continua, y en estos casos, representa la gráfica de f. ¿En algún f es derivable en el punto x = m? 6. Determinar la función más próxima a en un entorno x entorno x = = 1. 7. Se considera la función la función real definida por:
7.1 Determine si tiene algún punto de discontinuidad. 7.2 Calcule la expresión de la derivada en los puntos en que sea derivable.
Dr. Alberto Gutiérrez Borda Docente Principal Universidad Nacional “San Luis Gonzaga“ Ica
Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas
[email protected] http://sabermatematica.blogdiario.com/
.
