Ejercicios A1 1.- Trazar las curvas y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determinar los puntos máximos, mínimos y de inflexión.
a)
= (−) −)(+)
b)
= −
c)
= −
d)
= √−
e)
= −
( x 1) 2 f) f ( x) 3 x 1
si x 1 si x 1
2.-Problemas de Razón de cambio. a) Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical: Si su extremo inferior se resbala y aleja de la pared a una velocidad de 1 pie/s, ¿Con qué velocidad desliza el extremo superior por el muro cuando el extremo inferior está a seis pies de la pared? b)Un tren A sale sale de una una estación estación en cierto cierto momento momento y viaja viaja hacia el norte a 50 km/h; un tren B sale hacia el este de la misma estación 2 horas después y va a 60 km/h . Hallar la razón a la cual los dos trenes se separan 1,5 horas después de que el segundo tren deja la estacón. c) Se vierte agua en un depósito que tiene la forma de un cono invertido a razón de 16 /hora. El cono tiene 25 m. de profundidad y 20 m. de diámetro. Si tiene una fuga de agua en la base y el nivel del agua está subiendo a razón de 1/9 m/hora cuando el agua tiene 15 m. de profundidad, ¿con qué rapidez sale el agua del depósito? d) Una persona camina en línea recta a una velocidad de 4 pies/s. En el piso, a 20 pies de distancia del camino, hay un faro, que se mantiene dirigido al caminante. ¿A qué velocidad gira el faro cuando el sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino más cercano al faro? e) Un controlador aéreo ubica dos aviones en la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto o en ángulo recto; cuando uno de ellos está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora, el otro está a 200 millas del punto y vuela a 600 millas por hora. ¿Con qué rapidez decrece la distancia entre los dos aviones? ¿Impactarán los aviones? En caso afirmativo, ¿Cuál es el mayor tiempo, de que dispone el controlador, para situarlos en trayectorias distintas?
f) Dos lados de un triángulo miden 4 metros y 5 metros, y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcular la rapidez con que el área del triángulo se incrementa cuando el ángulo entre los lados, de longitud fija, es . g) Una partícula se mueve sobre la curva = √ 1 . Al llegar al punto (2,3), la ordenada crece a razón de 4cm/s. ¿Con qué rapidez cambia la abscisa en ese instante? h) Si una bola de nieve se licúa de tal suerte que su área superficial disminuye con una tasa de 1 /, calcular la tasa con que se reduce el diámetro en el momento en que mide 10 cm. i) Una persona comienza a caminar hacia el norte a 4 pies/s desde un punto P. Cinco minutos después una señora empieza a dirigirse hacia el sur, a 5 pies/s, partiendo de un punto a 500 pies hacia el este de P. ¿Con qué velocidad se separan los dos a los 15 min de que la señora inició su caminata? j) La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de 1 cm/min, mientras que su área lo hace a una velocidad de 2 /. ¿Con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100 ? k) Un canal de agua tiene 10 m de longitud y su sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canalón se llena con 0.2 /, de agua, ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30 centímetros? l) Se emplea una cámara de TV a 4,000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. Un cohete asciende verticalmente, con una velocidad de 600 pies/s cuando ya se encuentra a 3,000 pies del suelo. - ¿Con qué velocidad crece la distancia de la cámara de TV al cohete en ese momento? - Si la cámara siempre se encuentra enfocada en el cohete, ¿a qué tasa se modifica su ángulo de elevación en ese momento?
3.- Problemas de Optimización.
a.- Hallar dos números positivos de producto 100 y suma mínima. b.- ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo de 100m de perímetro y área máxima posible? c.-Una página rectangular ha de contener 24 pulgadas cuadradas de texto. Los márgenes superior e inferior deben ser de 1,5 pulgadas y los laterales de 1 pulgada ¿qué dimensiones de la página requiere la mínima cantidad de papel? d.- Encontrar el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r.
e.- Un granjero quiere bordear una área de 1.5 millones de pies 2 en un campo rectangular y entonces dividirlo a la mitad con una barda paralela a un lado del rectángulo. ¿Cómo puede hacerlo para minimizar el costo de la barda? f.- Si se cuenta con 1,200 cm 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja. g.- Hallar el punto de la recta y=4x+7 más cercano al origen. h.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en un circulo de radio r. i.- Hallar el rectángulo de área más grande que puede ser inscrito en un triangulo equilátero de lado L, si un lado del rectángulo se encuentra sobre la base del triangulo. j.- En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden 6 cm. cada uno y los laterales, 4cm. Si el área del material impreso se fija en 384 cm 2, ¿Cuáles son las dimensiones del cartel de área máxima? K.-Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un rio recto que mide 3 Km. de ancho. El punto C está en la misma ribera que B, pero a 6 Km. rio abajo de B. Se desea tender un cable de A a C. Si el costo por Km. De cable es el 25% más caro bajo el agua que en tierra; ¿Qué línea de cable sería menos costosa? l.- Una cerca de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de este último. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que llegara desde el suelo, pasando por encima de la cerca, hasta la pared del edificio?
4.-Aproximacón Lineal. Compruebe la aproximación lineal dada en a=0. Luego determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal es apropiada dentro de 0.1.
≈ 1 1⁄ (1 2 )4 ≈ 1 8
a) √ 1 b)
5.- Halle la diferencial de la función a) = 4 5 b) = ln 6.- (a) Halle la diferencial dy y (b) evalue dy para los valores dados de X y dx.
= 2, = 3, = b) = ( 5) , = 1, = 0.05 c) = √ 1 , = 0, = 0.02 a)
7.- Use diferenciales (0, en forma equivalente, una aproximación lineal) para estimar el número indicado. a)√ 36.1 b) . 8.-Encuentre el límite. Aplique la regla de L’Hopital donde resulte apropiado. Si existe un método más elemental, úselo.
a)
− →− +
b)
lim ()
c)
lim
→
lim
−−
() d) lim →
e) f)
→
−s lim +cos
→
lim (1 )
→
∞
