Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivada Lateral com Limite Contato: Contato:
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 24/10/2016 - Atualizado em 17/10/2018
Dado uma função ƒ ( ) diferenciável num ponto (, b) ∈ esquerda ( ƒ e ) e a direita ( ƒ d ) de ƒ é respetivamente: ƒ ( ) − ƒ ( )
ƒ e = lim
→ −
−
R
2
, então a derivada a
e = lim ƒ d
ƒ ( ) − ƒ ( )
→+
−
Exemplo 1: Calcule se existir, o valor da derivada da função ƒ ( ) = |1 − 2 | quando = 1 . Solução:
Primeiro calcula-se a derivada a direita.
lim
→ 1+
ƒ ( ) − ƒ ( 1)
− 1
= lim
→1+
|1 − 2 | − 0
− 1
Como tende a 1 pela direita (ou seja x é um pouco maior que 1) então | 1 − 2 | = − 1 : 2
lim
→ 1+
= lim
|1 − 2 |
→1+
− 1
= lim
2 − 1
→ 1+
( − 1 )( + 1 ) ( − 1 )
− 1
= lim ( + 1 ) → 1+
= 1 + 1 = 2
Agora determinamos a derivada a esquerda. lim
→ 1−
ƒ ( ) − ƒ ( 1)
− 1
= lim
→1−
|1 − 2 | − 0
− 1
1
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Como tende a 1 pela esquerda (ou seja, é um pouco menor que 1) então |1 − 2 | = 1 − 2 de modo que:
lim
→ 1−
|1 − 2 |
− 1
= lim
→1−
= lim
→ 1−
( 1 − )( 1 + ) ( − 1 )
1 − 2
− 1
= lim − (1 + ) = − ( 1 + 1 ) = − 2 → 1−
Como a derivada a esquerda e a direita da função são diferentes então afirma-se que a função ƒ ( ) = | 1 − 2 | não possui derivada em = 1 .
Exemplo 2: Dada a função ƒ ( ) = ciável em = 2 .
2 se ≤ 2 + 2 se > 2
verifique verifique se ela é diferendiferen-
Solução: Verificando a derivada a direita
Quando tende a 2 pela direita é maior que 2 e portanto ƒ ( ) = ( + 2 ).
lim
→ 2+
( + 2 ) − ( 2 + 2 )
= lim
→2+
− 2 − 2
− 2
= 1
Verificando a derivada a esquerda
Quando tende a 2 pela esquerda é menor que 2 e portanto ƒ ( ) = 2 . lim 2 = 2 2 = 4
→ 2−
CONCLUSÃO: Como os limites laterais são diferentes a função não é derivável em = 2 .
2
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Exemplo 3: Verifique se a função ƒ ( ) = | − 2 | é derivável em = 2 . Solução: Verificando a derivada a esquerda lim
→ 2−
ƒ ( ) − ƒ ( 2)
− 2
= lim
→2−
lim
→ 2−
| − 2 | − 0
− 2
2 −
− 2
= − = − 1
Verificando a derivada a direita lim
→ 2+
ƒ ( ) − ƒ ( 2)
= lim
→2+
lim
→ 2+
− 2
| − 2 | − 0
− 2
− 2
− 2
= 1
CONCLUSÃO: A função não é derivável neste ponto. Exemplo 4: Verifique se a função ƒ ( ) = 1 / 3 é derivável em = 0 . Solução: Derivada a direita: lim 1 / 3
→ 0+
= lim
→0+
= lim
→0+
= lim
→0+
1 / 3 − 0 1 / 3 − 0
1 / 3 1
2 / 3
3
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=
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1 0
=∞
Como Como a prim primei eira ra deri deriva vada da late latera rall resu result ltou ou em uma uma sing singul ular arid idad ade e nem nem é nece necess ssár ário io realizar a segunda, pois isso já é o suficiente para se afirmar que a função não é derivável em = 0 .
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