Historia de la derivada Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz)). Leibniz En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva ( Apolonio Apolonio de Perge) Perge) El Teorema de los extremos: extremos : máximos y mínimos (Pierre de Fermat) Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. diferencial. [editar ]Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler yy Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a anda r un camino que Kepler llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. [editar ]Newton y Leibniz Artículos principales: principales:
Newton y Leibniz.
A finales del siglo XVII sintetizaron sintetizaron en dos conceptos, métodos usados usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que co incidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, i ntentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el Leibniz, primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada com o un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, integral, así como los símbolos de derivada
y el símbolo de la integral ∫.
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro
concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales com o concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Propiedades de las Derivadas Las derivadas forman una parte importante del cálculo. Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función. En base a la definición anterior está claro que l a salida de la función es una función de la entrada de la función. Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema. Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema. Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p. 2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elev ada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.
9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como, h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x) Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,
La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia, d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]
= 5(4x4−1) = 5(4x3) = 204x3
