ÍNDICE ÍNDICE ............................................................................................................... 1 SERIES Y CONVERGENCIA ............................................................................. 2 Serie numérica: ............................................................................................... 2 Convergencia y Divergencia de una serie: ..................................................... 3
S E R IE S Y CONVE R G E NCIA S erie numérica: Una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente. Sea una sucesión de números reales:
A partir de ella podemos obtener otra sucesión, formada por las sucesivas sumas parciales de sus términos, es decir:
(Obsérvese cómo el segundo término es la suma de los dos primeros términos de la sucesión, el tercero la suma de los tres primeros, etc.) Se define una serie por la sucesión: , que en general viene dada por su término general, Sn, que también puede expresarse por:
Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado). La serie de término general converge cuando la sucesión sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,
de
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie. Dada una serie es importante conocer su límite, al cual se le suele llamar suma de la serie.
Convergencia y Diverg encia de una s erie: E jemplos de converg encia: Leibniz: de los recíprocos de los enteros impares, con signos alternados conocida como de Leibniz:
R ecíproco de los números triangulares :
R ecíprocos de las s uces ivas factoriales (n!):
R ecíprocos de los s uces ivos cuadrados perfectos:
R ecíprocos de las potencias de 2:
R ecíprocos de las potencias de 2 con s ig nos alternados:
R ecíprocos de los números de Fibonacci:
R ecíprocos de los naturales con sig nos alternados:
E jemplos de Diverg encia: R ecíprocos de los números naturales :
(es la conocida como serie armónica);
R ecíprocos de los números primos:
C onverg encia y diverg encia: Una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es f inita)
Una serie se dice divergente si su límite es infinito. Determinar el carácter de una serie es hallar si la serie es convergente o divergente. Una tercera posibilidad es que este límite no exista, como en el caso de las series oscilantes (formadas por términos positivos y negativos), como por ejemplo la serie:
en este caso todo depende de cómo agrupemos sus términos para que la suma nos de uno u otro valor, si por ejemplo los agrupamos de dos en dos: (3 – 3) +( 3 – 3) + (3 – 3) + …+ (3 – 3) …. la suma sería claramente 0, pero, sin embargo, podemos agruparlos de otras maneras, como ejemplo: 3 + ( – 3+3) + ( – 3+3) + ... + ( – 3+3) + .... cuya suma sería claramente 3. Entonces la suma no tiene un valor único, para evitarnos estas paradojas nosotros sólo tratamos con series que sean o convergentes o divergentes.
Cuya suma sería claramente 3. Entonces la suma no tiene un valor único, para evitarnos estas paradojas nosotros sólo tratamos con series que sean o convergentes o divergentes.
P ropiedades del carácter de una s eri e:
El carácter de una serie no varía si se le suprime un número finito de términos. El carácter de una serie no varía si multiplicamos o dividimos a todos sus términos por cualquier número finito distinto de 0. La suma o resta de dos series convergentes es convergente. La suma de dos series divergentes de términos positivos es divergente. (No se puede asegurar nada acerca de la resta).
S eries g eométricas . Una progresión geométrica es una sucesión de números en que cada término es el número anterior multiplicado por otro número r llamado razón: a, ar, ar 2 , ar 3, ..., ar n, ....
Como es conocido (ver algo más sobre progresiones geométricas en Internet) la suma de los n primeros términos viene dado por:
Se llama serie geométrica a aquella cuyos términos son las respectivas sumas parciales de una progresión geométrica, es decir, Sn tendrá la forma expresada arriba. Para conocer el carácter de esta serie debemos analizar su límite:
Además, para el caso de r = 1 tenemos la serie formada por la suma: a + a + a + a + a + ......
que es divergente. Mientras que para el caso de r = -1 tenemos la serie: a - a + a - a + a - ….
que es una serie oscilante. En definitiva, la serie geométrica es convergente sólo para |r |<1 (o sea, -1
para que esta serie sea convergente es condición necesaria que:
(Observe que la condición no es suficiente para la convergencia). Esta condición es muy evidente, puesto que toda sucesión convergente cumple:
(ver la primera propiedad de las series)
S er ies de tér mi nos pos i ti vos . Por ahora consideraremos únicamente series en la forma: En la que todos sus términos son positivos. Para este caso, la serie:
Es claramente una sucesión monótona creciente, y por tanto o es convergente o es divergente pero nunca será oscilante. Estudio del carácter de una serie de términos positivos. Para estudiar el carácter de una serie de términos positivos consideremos dos series, una de carácter conocido:
y otra de carácter desconocido (cuyo carácter queremos determinar):
Partiendo de ellas podemos utilizar varios criterios para determinar el carácter de esta última serie:
Criterio de comparación (primera especie):
Si desde un término k -ésimo en adelante los términos de una serie se mantienen menores o iguales a los de otra serie convergente, entonces la primera serie también es convergente. Es decir, si tenemos que a partir de k en adelante:
Como la serie de las 'x' es convergente, la de las 'y ' también lo será, pues sus infinitos términos son casi todos menores, o como mucho iguales. De una manera análoga, si desde el término k -ésimo en adelante los términos de la serie de las y ’s son mayores o iguales a los correspondientes de la serie de las x ’s y ésta es divergente, entonces la primera también lo es. Entonces, todo se reduce a comparar ambas series y establecer una de l as dos posibilidades:
aunque hay que tener en cuenta que no para toda pareja de series puede establecerse claramente una relación de esta naturaleza.
Criterio de comparación (s egunda es pecie): Si desde un término k -ésimo en adelante se verifica:
siendo la serie de las 'x’ convergente, entonces la serie de las 'y ' también lo será. De modo análogo, si desde un término k -ésimo en adelante se verifica:
siendo la serie de las 'x’ divergente, entonces la serie de las 'y ' también lo será. Basado en estos dos últimos tenemos un tercer criterio muy útil:
Criterio del límite: Suponiendo que: (siendo l finito)
Entonces si la serie de las 'x ’ es convergente, entonces la serie de las 'y ' también lo será. (NOTA: Una serie que podemos colocar en el denominador por su carácter conocido es la llamada serie armónica que estudiaremos en el próximo epígrafe)
S eri e armónica. Se llama serie armónica (también puede escribirse "harmónica") a la serie:
siendo a cualquier número racional. Esta serie es muy útil en el criterio de comparación anteriormente indicado, por lo cual vamos a analizar detenidamente su carácter: I) Para a=1, tenemos la serie: es decir:
En la cual podemos agrupar los términos de tal forma que cada grupo se supere a 1/2.
Por lo tanto,
y por el criterio de comparación de primera especie podemos asegurar que la serie es divergente, pues así lo es la serie de la derecha. II) Para a entre 0 y 1 la serie armónica también es divergente, pues todos sus términos son mayores que los del caso I). III) Para a>1, la serie armónica es convergente, como puede comprobarse al expresarla en la forma:
que podemos poner:
y la serie de la derecha es una serie geométrica de razón (1 / 2 a-1 ), convergente. Por lo tanto, en este caso la serie armónica es convergente. En resumen, para la serie armónica tenemos:
Otros criterios de convergencia para series.
Criterio de la raíz (de Cauchy): Si
entonces la serie
es convergente. Sin embargo,
si
entonces la serie
es divergente.
(NOTA: En el caso de que l=1 no puede asegurarse nada sobre el carácter de la serie)
Criterio del cociente (de D'A lembert): Si
entonces la serie
es convergente. Sin embargo,
Si divergente.
( incluso si l fuera infinito positivo) entonces la serie
es
(NOTA: En el caso de que l=1 no puede asegurarse nada sobre el carácter de la serie).
Criterio del R aabe Si sin embargo, si este límite es l < 1 la serie
Criterio de Pri ngs heim: Si y si
es divergente.
