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Departamento ento Matemática ática Apli Aplicada
SERIES ERI ES POTEN POTENCI CIAL AL ES 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: ∞
(x + 3)n ∑ n2 n=1 ∞
yn Realizando el cambio de variable, x+ 3 = y , tenemos la serie: ∑ 2 n=1 n yn+1 fn+1( y) n2 (n + 1)2 Campo de convergenci convergencia: a: lim = lim = lim| y | =| y | n 2 n→ ∞ f ( y) n→∞ n→∞ y n ( + 1 ) n n2
Si | y |< 1⇒ Si y∈ (−1,1) , la serie es absolutamente convergente. Lu Lue ego R = 1 es el radio de convergencia de la serie. Por tanto, la serie converge cuando | x + 3|< 1⇒ − 4< x < − 2⇒ x∈ (−4,−2) En los extremos: (−1)n a) x = −4. L a seri serie e es en ese ese punto: ∑ 2 . La L a seri serie e forma ormada por los los val valores n=1 n ∞ 1 absolutos absolutos de sus térmi términos nos es: es: ∑ 2 , que, por comparación con la armónica es n=1 n convergente convergente.. Por lo tanto, en x = −4 es absolutam absolutamente convergente convergente.. ∞
∞
1 , que es es convergente convergente.. 2 n n=1
b) x = −2. L a serie ri e en en ese ese punto punto es: ∑
Por lo lo ta tanto, nto, el el cvam cvampo de conve converge rgenci ncia es [− 4,− 2] Solución: Solución: [-4,-2]
2.- Hallar el radio de convergencia de la serie: ∞
xn ∑ 2 n=1 n xn+1 fn+1( y) n2 (n + 1)2 lim = lim = lim | x |=| x | n n→ ∞ f ( y) n→∞ n→∞ (n + 1)2 x n n2
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Si | x|< 1⇒ x∈ (−1,1) la serie converge. Por lo tanto, el radio de convergencia es 1. Nota. En este caso no es necesario hallar si converge en los extremos del intervalo porque no nos lo piden. Solución: R =1 3.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie: ∞
n
∑ 2 ⋅ (2n− 1) ⋅ (x − 1) n=1
n
n
n+ 1 (x − 1)n+1 f (x) n + 12n − 1 | x− 1| 2 (2n + 1) lim n+1 | x− 1|= = lim = lim n→∞ f (x) n→∞ n→∞ 2n 2n + 1 n 2 n n x − ( 1 ) n 2 (2n − 1) n+1
Si
| x − 1| < 1⇒| x− 1|< 2⇒ x∈ (−1,3) la serie es absolutamente convergente. 2
En los extremos, tendremos: ∞
∞ n n n a) En x = 3. La serie en este punto es: ∑ n ⋅2 = ∑ que no converge n=1 2 ⋅ (2n − 1) n=1 2n − 1 porque su término general no tiende a cero, que es la condición necesaria de convergencia.. ∞ n (−1)n n n b) En x = −1. La serie es en este punto: ∑ n , que tampoco ⋅ (−2) = ∑ n n 2 (2 1 ) 2 1 ⋅ − − n=1 n=1 converge porque su término general, en valor absoluto no tiende a cero y no se cumple la condición necesaria de convergencia. ∞
Por lo tanto, el campo de convergencia de la serie será: (-1,3) Solución: R =2, C. C. : (-1,3) 4.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie:
1+ 3x + x2 + 3x3 + x4 + 3x5 +
…
+ x2n− 2 + 3x2n−1 + x2n +
…
Solución: R =1, C. C. : (-1,1)
1+ 3x + x2 + 3x3 + x4 + 3x5 +
…
+ x2n−2 + 3x2n−1 + x2n +
…
= (1+ 3x)(1+ x2 + x3 + x4 + x5 + ) =
∞
= (1+ 3x)∑ xn n= 0
Pero ésta última serie es geométrica de razón r = x, que converge si | x |< 1⇒ −1< x < 1⇒ x∈ (−1,1) 5.- Hallar el radio y campo de convergencia de las series:
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…
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∞
a)
xn ∑ 2 n n=1 4 ⋅ n
Solución: R =4, C.C.: [-4,4]
xn+1 fn+1(x) n2 | x| 4n+1(n + 1)2 lim | x |= = lim = lim n 2 n→∞ f (x) n→∞ n→∞ 4(n + 1) x 4 n 4n n2
Si
| x| < 1⇒| x|< 4 ⇒ x∈ (−4,4) ⇒ R = 4 la serie es absolutamente convergente. 4
En los extremos, tendremos: ∞
∞ 4n 1 a) En x = 4 la serie es: ∑ n 2 = ∑ 2 que es una serie armónica de a = 2 > 1y n=1 4 ⋅ n n=1 n por lo tanto, convergente. ∞ (−4)n ∞ (−1)n 1 b) En x = −4, la serie es: ∑ n 2 = ∑ 2 . La serie en valor absoluto es: ∑ 2 n=1 4 ⋅ n n=1 n n=1 n que es convergente. Por lo tanto, campo de convergencia de la serie es : [-4,4] ∞
xn−1 ∑ n n=1 4 ⋅ n ∞
b)
Solución: R =4, C.C.: [-4,4)
xn fn+1(x) n | x| 4n+1(n + 1) lim = lim = lim | x |= n 1 − n→∞ f (x) n→∞ n→∞ 4(n + 1) x 4 n n 4n
Si
| x| < 1⇒| x|< 4 ⇒ x∈ (−4,4) ⇒ R = 4 la serie es absolutamente convergente. 4
En los extremos, tendremos: ∞ 4n−1 1 1∞ 1 a) En x = 4 . La serie es: ∑ n = ∑ = ∑ que es una serie armónica de 4 n=1 n n=1 4 ⋅ n n=1 4n a = 1y por lo tanto, diverge. ∞
(−4)n−1 1 ∞ (−1)n−1 b) En x = −4, la serie es: ∑ n . La serie en valor absoluto es: = ∑ 4 n=1 n n=1 4 ⋅ n ∞ 1 que es divergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema ∑ n=1 n de Leibnitz y por lo tanto, es condicionalmente convergente. El campo de convergencia de la serie es : [-4,4) ∞
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6.- Obtener la suma de la serie potencial (para aquellos valores que la hagan convergente: x5 x9 x4n−3 x+ + + + + 5 9 4n − 3 …
Solución: S(x) =
…
1 F 1+ xI 1 LG ,) J + arctgx ∀x ∈(−11 4 H 1− xK 2
En primer lugar, vamos a estudiar el campo de convergencia de esta serie: x4n+1 4n − 3 4 4 x = x . Si | x |4< 1⇒| x|< 1⇒ x∈ (−1,1) la serie es lim 4n4n+−31 = lim n→∞ x n→∞ 4n + 1 4n − 3 absolutamente convergente. En los extremos tendremos: ∞ 1 1 1 a) x = 1. La serie es: ∑ . Pero y ésta última tiene el mismo carácter 4n − 3 4n n=1 4n − 3 que la armónica, es decir, divergente. ∞ (−1)4n−3 b) En x = −1, la serie es: ∑ , que es una serie quetiene todos sustérminmos n 4 3 − n=1 negativos y por lo tanto, tiene el mismo carácter que la anterior. Por lo tanto, también en x = −1 la serie no converge. En resumen, el campo de convergencia de la serie es: (−1,1) ∼
Para obtener su suma, vamos a derivarla término a término: 1+ x4 + x8 +
…
+ x4n−4 +
…
Esta serie tiene el mismo radio de convergencia que la anterior y por lo tanto, tiene suma finita al menos en (−1,1) . Es sencillo sumarla porque es una serie geométrica de razón x4 . Su suma será, además, derivada dela suma: 1 S′(x) = 1− x4 dx Entonces, S(x) = ∫ S′(x)dx = ∫ 1− x4 Para resolver esta integral, descomponemos en factores: A B Cx + D 1 ; Igualando coeficientes, se obtiene: = + + 1− x4 1+ x 1− x 1+ x2
1 1 A = B = ; C = 0; D = 4 2 Por lo tanto:
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dx 1 dx 1 dx 1 dx = + + = 1− x4 4 ∫ 1+ x 4 ∫ 1− x 2 ∫ 1+ x2 1 1 1 = L |1+ x | − L |1− x | + arctan x + k 4 4 2 1 1 1 Pero S(0) = L1− L1+ arctan0+ k = 0 ⇒ k = 0 4 4 2 1 1+ x 1 1+ x 1 + arctan x+ 0 = 4 L + arctan x, ∀x∈ (−1,1) Por lo tanto: S(x) = L 4 1− x 2 1− x 2 S(x) = ∫ S′(x)dx = ∫
7.- Estudiar la convergencia y hallar la suma de las series: ∞
a)
xn ∑ n=1 n
,) Solución: S(x) = -L(1- x) ∀x ∈[−11
∞
b)
∑ n⋅ xn−1
Solución: S(x) =
n=1
1 ,) ∀x ∈(−11 (1− x)2
xn+1 f (x) n a) lim n+1 | x |=| x | Si | x|< 1⇒ ∀∈ (−1,1) ⇒ R = 1 la = lim n +n1 = lim n→∞ f ( x) n→∞ n→∞ n + 1 x n n serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
a.1) En x = 1 la serie es:
1 ∑ n que es la armónica y por lo tanto, divergente.
(−1)n a.2) En x = −1, la serie es: ∑ . La serie formada por los valores absolutos de n 1 los términos de la serie es ∑ , que ya hemos visto que es divergente. Por lo tanto, no n es absolutamente convergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema de Leibnitz, ya que su término general en valor absoluto es una sucesión que tiende a cero y es decreciente. Por lo tanto, en este punto es condicionalmente convergente. En resumen, el campo de convergencia de esta serie es [− 1,1) a.3) Estaserie tiene, en esteintervalo [− 1,1) una suma finita: x2 x3 xn x + + + ... + + ... = S(x) Y se cumplirá que, en (−1,1) , n 2 3
1+ x + x2 + x3 + ... + xn−1 + ... = S′(x) ⇒ S′(x) =
dx 1 ⇒ S(x) = ∫ S′(x)dx =∫ = 1− x 1− x
= − L |1− x| +k Para determinar el valor de k, sumamos la serie en el punto x = 0 : S(0) = 0 = − L1+ k = k ⇒ k = 0 ⇒ S(x) == − L |1− x | ∀x∈[−1,1)
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fn+1(x) (n + 1) ⋅ xn b) lim = lim =| x |. Si | x |< 1⇒ ∀∈ (−1,1) ⇒ R = 1 la serie es n−1 n→∞ f (x) n→∞ n x ⋅ n absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
a.1) En x = 1 la serie es: ∑ n cuyo término general no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto diverge. a.2) En x = −1, la serie es: ∑ (−1)n−1n . La serie formada por los valores absolutos no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto, no converge. En resumen, el campo de convergencia de esta serie es (− 1,1) a.3) Estaserie tiene, en esteintervalo (− 1,1) una suma finita: 1+ 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn−1 + ... = S(x) ∀x∈ (−1,1) . La integral de la serie es la serie de las integrales en el campo mde convergencia (− 1,1)y podremos escribir: k + x + x2 + x3 + ... + xn + ... = ∫ S(x)dx ∀x ∈ (−1,1) ⇒ k +
x = S(x)dx 1− x ∫
Derivando término a término, obtenemos: 1− x − x(−1) 1 S x S x = ( ) ⇒ ( ) = ∀x∈ (−1,1) (1− x)2 (1− x)2
8.- Hallar la suma de la serie: x3 x7 x4n−1 S(x) = + + + + 3 7 4n − 1 …
…
para x = 1/ 2
En primer lugar debemos hallar el campo de convergencia de la serie: x4n+3 ∞ ∞ x4n−1 f (x) 4n − 1 4 fn (x) =∑ | x | =| x |4 ⇒ lim n+1 = lim 4n4n+−13 = lim ∑ n n n →∞ →∞ →∞ x fn (x) 4n + 3 n=1 n=1 4n − 1 4n − 1
Si | x |4 < 1⇒| x |< 1 ∀∈ (−1,1) ⇒ R = 1 la serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos: a.1) x = 1La serie es:
1
∑ 4n− 1 que tiene el mismo carácter que la armónica y por lo
tanto, diverge. a.2) x = −1. La serie es:
−1
∑ 4n− 1 , que es negativa y tendrá el mismo carácter que la
anterior, es decir, divergente. En resumen, la serie converge en (− 1,1) . En todos los puntos de este intervalo tendrá suma finita.
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1 , la sumaremos en primer lugar en un punto 2 cualquiera del intervalo y posteriormente lo particularizaremos para ese punto pedido. a.3) Para sumarla en el punto x =
x3 x7 + + 3 7
…
x4n−1 + + 4n − 1
…
= S(x) ∀x(−1,1) ⇒
x2 x2 S′(x) = x + x + x + ... + x + ... = dx ⇒ ∫ S′(x)dx = S(x) =∫ 4 1− x 1− x4 Para resolver esta integral, descomponemos en factores: 2
6
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4n− 4
x2 A B Cx + D = + + ; Igualando coeficientes, se obtiene: 1− x4 1+ x 1− x 1+ x2
1 1 A = B = ; C = 0; D = − 4 2 Por lo tanto: dx 1 dx 1 dx 1 dx S(x) = ∫ = + − = 1− x4 4 ∫ 1+ x 4 ∫ 1− x 2 ∫ 1+ x2 1 1 1 = L |1+ x | − L |1− x | − arctan x + k 4 4 2 1 1 1 Pero S(0) = L1− L1− arctan0+ k = 0 ⇒ k = 0 4 4 2 1 1+ x 1 Por lo tanto: S(x) = L − arctan x ∀x∈ (−1,1) 4 1− x 2 1 1 + ⎛ 1⎞ 1 2 − 1 arctan 1 = 1 L3− 1 arctan 1 Entonces, S ⎜ ⎟ = L 2 4 2 2 ⎝ 2⎠ 4 1− 1 2 2 Solución: S(1/ 2) =
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1 1 1 L3- arctg 4 2 2
