Convergencia y Divergencia de Sucesiones

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SUCESIONES:

Una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales se dice sucesión. sucesión.

∈

∈

Si f Si f : N → R es una sucesión y f  y f (n) = an , n N, representamos la sucesión por {a { an}n N o simplemente {a {an} y an se llama termino general (o n- ésimo ) de la sucesión. Una sucesión {a {an} es convergente cuando existe y es finito . Si dicho límite

→lim  ∞

es infinito, la sucesión es divergente, divergente, y si no existe, la sucesión es oscilante. oscilante. Las propiedades de los límites de funciones se aplican a sucesiones en forma directa. Por tanto, para estudiar la convergencia de una sucesión son válidos los mismos métodos utilizados en el cálculo de límites de funciones. Ejemplo: Estudiar la convergencia de la sucesión:

 = +

Resolución:

l→im  = →lim 532 1 2.  l→im  = →lim (53)1 l→im  = →lim 5 2 3 l→im  = 25 ∞

∞

∞

∞

∞

En consecuencia {

}

∞

∞

 es  es convergente convergente

Teoremas de converge c onvergencia: ncia:

1. 2. 3. 4.

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Una sucesión no puede converger en 2 límites diferentes. Si una sucesión es convergente entonces es acotada. Toda sucesión monótona y no acotada es divergente. divergente.

Sin embargo existen otros criterios específicos para las sucesiones que enunciamos a continuación: continuación:

 lim→  = 

1) Criterio de la razón: Sea razón: Sea {an}n≥1 una sucesión tal que:

∞

Se cumple:

a) Si r<1: la sucesión converge a 0. b) Si r=1: no se puede afirmar. c) Si r>1: la sucesión diverge. Ejemplo: Dado:

{!

n≥1

Resolución:

+ 2 lim→|+ | = lim (1)! 2→ !  lim |→2 1| = 0 ∞

∞

∞

0<1

La sucesión es convergente. convergente.

2) Criterio de Stolz – Cezaro: Sea {a n}n≥1 y {bn}n≥1 tal que: {bn} es monótona y además: 

→lliimm  == →lim∞ = 0 → ∞



o,

∞

∞

Entonces:

l→im  = →lim ++ −−  ∞

Ejemplo:

∞

Determine el valor de convergencia de la siguiente sucesión:

Resolución: Sean an={n2} n≥1 : 

    1  2  3 ⋯  =   1  2 l3im ⋯  = lim  =  ∞

bn={n3} n≥1 Creciente y

Entonces:

→  → ∞

∞

 →lim 1  2  3  ⋯  (  1) − (1  2  3 ⋯) = →lim (1) −    ( )   1  1 l→im 3 31 = →lim 321 = 31 3   ∞

∞

∞

Luego:

∞

converge a

 l→im  =l→i m  ⋯  l→im  =l→i m √ … l→im  . 4 . 7 .  … . ++   l→im  = →lim 5  103 1  (  3)( )   →lim  = →lim (5 10)(1) 3 1  l→im  = →lim 5  10 l→im  = 15

3) Media aritmética: Sea {an}n≥1, sucesión convergente. convergente. Entonces:

∞

∞

4) Media geométrica: Sea {an}n≥1, sucesión convergente. convergente. Entonces: ∞

Ejemplo: Calcular:

∞

Resolución:

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

Luego: converge a

