M..C. Jesús Martínez
CNyN-UNAM
16 de Septiembre de 2013
Clase de Series y criterios de convergencia con MatLab
Una serie es la suma de los términos de una sucesión
.
Se representa una serie con términos an como
donde i es el índice inicial y n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1, 2, 3, 4,…. Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si
no existe o si tiende a infinito; y converge si
para algún
.
Algunos tipos de series
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo:
En general, una serie geométrica, de razón z , es convergente sólo si z |z | < 1 a:
La serie armónica es la serie
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La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:
En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes.
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Problema 1
Se consideran las series armónicas para los valores de
y, fijado un valor de p, la sucesión de sumas parciales:
(a) Rellenar la siguiente tabla:
Valor de
p
S100
S300
S1000
0.5
0.9
1
1.1
2
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(a) Puedes utilizar el siguiente código para representar y calcular la suma parcial enésima de una sucesión. Código en MatLab
%Términos a calcular numTerminos=10^3; n=1:1:numTerminos; %Término general de la serie p=2; an=1./(n.^p); %Cálculo de la sumas parciales for k=1:numTerminos sn(k)=sum(an(1:k)); end %Representación de an y Sn hold on format long %Mostramos los valores de n para representar y para escribir valores=1:10; plot(valores),an(valores);'or'; plot(valores),sn(valores),'og'; hold off %Mostramos los valores de n, an y sn disp([' n Sucesión an Sucesión Sn']) disp([valores' an(valores)' sn(valores)'])
Nota: Archivo adjunto llamado Suma_parciial.m
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Para calcular el valor exacto de una serie, se tendrían que usar los comandos syms y symsum, como en el ejemplo siguiente: Problema 2
a) Calcular la suma de los primeros k números naturales y comprobar que:
b) Calcular la suma de los primeros k números naturales y comprobar que:
c) Comprobar que
Código en MatLab syms k %Apartado a symsum(k,1,k) %Apartado b symsum(k^2,1,k) %Apartado c symsum(1/(2^k),1,Inf)
symsum(1/k^2,1,Inf) symsum(1/k,1,Inf) double(symsum(1/(k^(1.1)),1,Inf))
Nota: Archivo adjunto llamado Suma_exacta.m
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Problema 3
Un trabajador entra en una empresa que paga $0.01 el primer día, $0.02 el segundo día, $0.04 el tercero, etc. Si el salario se mantiene así, doblándose cada día ¿cuánto habrá cobrado en total si trabaja a) 29 días, b) 30 días, y c) 31 días? Solución del problema
El día 1 de trabajo se ha ganado: 0.01 El día 2: 0.01(2) El día 3: 0.01(2)2 El día 4: 0.01(2)3; y así sucesivamente.
Expresándolo como una sumatoria, la ganancia está dada por:
a) En 29 días la ganancia será:
b) En 30 días la ganancia será:
c) En 31 días la ganancia será:
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Código en MatLab
%Declaración de la variable syms n %Suma de una constante y una sumatoria en un intervalo dado, en este caso 29 % a) s1 = 0.01 + symsum(0.01+(2^n-1),29,29) % b) s2 = 0.01 + symsum(0.01+(2^n-1),30,30) % c) s3 = 0.01 + symsum(0.01+(2^n-1),31,31) Nota: Archivo adjunto llamado Solucion_probrema_1.m
Problema 4
Se consideran las siguientes series:
a) Comprobar si cumplen la condición necesaria de convergencia. b) Aplicar el criterio del cociente a las series anteriores para determinar su carácter.
Criterio del cociente: Se considera la serie de términos positivos
entonces Si L<1 la serie es convergente. Si L>1 la serie es divergente.
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cumpliendo:
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Solución: (a) Se puede utilizar el siguiente código para ver si el termino general de una serie tiende a cero, la cual es la condición necesaria para la convergencia. Código MatLab
syms n an=(n+1)*(5^n)/(n*3^(2*n)); limit(an,n,Inf) Nota: Archivo adjunto llamado Condicion_convergencia.m
La serie del apartado (1) cumple la condición necearía de convergencia pero la de (2) no. Esto significa, al ser una serie de términos positivos, que la serie del apartado (2) es divergente, mientras que la serie del apartado (1) la condición no aporta información sobre su convergencia o divergencia.
(b) Código MatLab syms n an=(n+1)*(5^n)/(n*3^(2*n)); an1=subs(an,n,n+1); L=limit(an1/an,n,Inf) %Un valor aproximado de la suma puede ser sumaaprox=double(symsum(an,1,inf)) Nota: Archivo adjunto llamado Criterio.cociente.m
Observamos que el criterio del cociente da información sobre la convergencia de la seria del apartado (1) y que permite concluir también que la serie del aparatado (2) es divergente.
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Tareas: 1.- Obtenga la suma parcial de las siguientes series:
2.- Obtenga la suma exacta de las siguientes series:
Comparar los resultados de a) de la tarea 1 y 2. 3.- Dadas las siguientes series:
a) Determinar si se cumplen o no la condición necesaria de convergencia. b) Obtener los términos S10 y S300 siendo Sn la sucesión de sumas parciales.
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