Convergencia acelerada, m´ etodo ∆2 de Aitken y m´ etodo eto do de Steffensen Steffens en Objetivos. Sabemos Sab emos que el e l m´etodo etodo de iteraci´ i teraci´on on de punto fijo converge linealmente bajo ciertas condiciones (cuando g es bastante suave y g ( p) = 0 ). Resulta que en el caso de convergencia lineal existen m´etodos etod os para pa ra acelerar ac elerar la convergencia. co nvergencia. Vamos a considerar consider ar los lo s m´etodos etodo s de Aitken y de Steffensen.
Requisitos. M´etodo eto do de iteraci´ iter aci´on on de punto fijo.
Diferencias progresivas de primer y segundo ´ordenes de una sucesi´ on on Necesitamos unos conceptos auxiliares para esciribir en forma breve la f´ormula ormula de Aitken. on {xn }n=0 , la 1. Definici´ Definici´ on (diferencias progresivas de primer orden). Dada la sucesi´on on diferencia progresiva ∆xn est´ a definida por ∞
(∆x)n = x n+1 − xn
(n
≥ 0).
on {xn }n=0 , la 2. Definici´ on (diferencias progresivas de segundo orden). Dada la sucesi´on on 2 diferencia progresiva de segundo orden (∆ x)n se define como (∆(∆x))n : ∞
(∆2 x)n = (∆x)n+1 − (∆x)n .
Es f´acil acil ver que (∆2 x)n = x n+2 − 2xn+1 + xn .
on ∆xn o ∆(xn). La notaci´on on 3. Nota acerca de la notaci´ on. on. En muchos libros se usa la notaci´on (∆x)n es m´ as correcta porque el valor de (∆x)n depende no s´olo as olo de un elemento xn , sino de la sucesi´ on on entera x = { xn }n=0 . Uno puede usar tambi´ en en la notaci´on on ∆xn pero tiene que recordar que la prioridad priorid ad del s´ımbolo ∆ es mayor que del ´ındice n. ∞
on x n = n 2 . 4. Ejemplo. Calculemos las diferencias progresivas (∆x)n y (∆2 x)n para la sucesi´on (∆x)n = x n+1 − xn = (n + 1)2 − n2 = 2n + 1, (∆2 x)n = (∆x)n+1 − (∆x)n = 2(n + 1) + 1 − 2n + 1 = 2.
on xn = 5. Ejercicio. Calcule las diferencias (∆x)n y (∆2 x)n para la sucesi´on
p´agina agina 1 de 3
1 n
(n
∈ N).
M´ etodo de Aitken 6. Deducci´ o n de la f´ ormula de Aitken. Si {xn }n=0 es una sucesi´on linealmente convergente al punto p y las diferencias x n − p tienen el mismo signo, entonces para valores suficientemente grandes de n tenemos ∞
xn+1 − p xn − p
n+2 − p
≈ xx
n+1 − p
.
Vamos a despejar p de esta igualdad aproximada. x2n+1 − 2pxn+1 + p2 p(xn+2 p(xn+2
2
≈ x x − px − px + p , − 2x + x ) ≈ x x − x , − 2x + x ) ≈ (x x − 2x x + x ) − (x p(∆ x) ≈ x (∆ x) − (∆x) . n+1
n
n+1
n
2
n
n+2 n
n+2
2 n+1
n+2 n
n n+2
n
2 n
n n+1
2 n+1 − 2xn xn+1 + xn ) ,
2
2
n
De aqu´ı p
n
≈
n
((∆x)n )2 xn − . (∆2 x)n
7. Teorema sobre la convergencia del m´ etodo de Aitken (sin demostraci´ on). Supongamos que {xn }n=0 es una sucesi´on que converge linealmente al l´ımite p y que, para todos los valores suficientemente grandes de n, tenemos (xn − p )(xn+1 − p ) > 0. Entonces, la sucesi´on ^n }n=0 , definida por: {x ∞
∞
((∆x)n )2 ^n := x n − x , (∆2 x)n
converge a p con mayor rapidez que {xn }n=0 en el sentido de que ∞
l´ım
n→∞
^n − p x = 0. xn − p
p´agina 2 de 3
M´ etodo de Steffensen 8. M´ etodo de Steffensen. El m´etodo de Steffensen se puede considerar como una combinaci´on del m´etodo de punto fijo y del m´ etodo de Aitken. Para construir la sucesi´o n de las aproximaciones {xn }, en todo tercer paso se usa la f´ormula de Aitken, y en los dem´as pasos se aplica la f´ormula xn := g (xn−1 ): x0 ,
x1 := g (x0 ),
x2 := g (x1 ),
(∆x)20 x3 := x 0 − , (∆2 x)0
x 4 := g (x3 ),
x5 := g (x 4 ),
(∆x)23 x6 := x 3 − , (∆2 x)3
x7 := g (x5 ),
x8 := g (x6 ),
...
9. Teorema sobre la convergencia del m´ etodo de Steffensen (sin demostraci´ on). Supongamos que x = g(x) tiene la soluci´on p con g ( p) = 1, y existe δ > 0 tal que g C3 [ p − δ, p + δ ]. Entonces el m´ etodo de Steffensen converge cuadr´aticamente para cualquier x0 [ p − δ, p + δ ].
∈
∈
√ 3
10. Ejemplo para el m´etodo de Steffensen. Para la funci´on g (x) = x + 1 y la aproximaci´on inicial x0 = 1 calcular {xn}5n=0 usando el m´etodo de iteraci´on de punto fijo. Luego calcular {xn }5n=0 usando el m´etodo de Steffensen. En ambos casos, calcular la diferencia |x5 − x 4 | y comparar los resultados. Indicaci´on: hacer todos los c´alculos con no menos que 6 d´ıgitos decimales despu´es del punto flotante. 11. Tarea optativa: programar el m´ etodo de Steffensen. Escribir una funci´on con argumentos g, x0, xtol, pmax, que realice el m´etodo de Steffensen. La funci´on tiene que regresar el par cuya primera componente x es la u ´ ltima aproximaci´on al punto fijo y la segunda componente n muestra cuantas veces se calcularon los valores de la funci´on g.
p´agina 3 de 3