Aprender un poco de la teoría de las series alternas y convergencia absoluta y su historia.
Poder ilustrar los teoremas de las series alternas y la convergencias absolutas
Evaluar y comprobar los teoremas Comprender y aplicar el concepto de serie numérica, para modelar y dar solución a problemas en distintos contextos.
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INTRODUCCION
Series alternas es el siguiente de los tipos de serie que veremos en la clase de Calculo Integral. Con ayuda de las series alternas podremos determinar cuándo una serie tiene convergencia absoluta o condicional. Tomaremos un breve marco teórico y los ejercicios para demostrarlo.
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MARCO TEORICO Definición (serie alternante) Una serie alternante es aquella en la cual los términos son positivos y negativos alternadamente.
∑ O de la forma
∑
, donde
>0, para toda n
Si las series alternas de la ecuación satisfacen estas 2 condiciones 1.
2.
≥
>0 para toda n y
Entonces las series infinitas convergen Ejemplo:
∑ = 1-
Es una serie alterna y al expandirla se puede verificar que n(2n+1)>(n+1)(2n-1), de donde se deduce que
Pero
De modo que en este ejemplo no sería convergente por series alternas, pero no significa que sea divergente. En este caso diverge por la prueba de divergencia del n-esimo termino visto en temas anteriores.
∑ ||
Suponiendo que la serie satisface las condiciones del teorema1 y por lo tanto converge. Sea S la suma de la serie. Denote por . El residuo tiene el mismo signo que el siguiente termino de la serie y
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La suma S de una serie alterna convergente esta entre cualquier par de sumas parciales consecutivas.
Si una serie de términos positivos converge se puede insertar signos menos al frente de cualquiera de los términos y la serie resultante también converge Si la serie converge, entonces la serie también converge.
∑||
∑
Definición Convergencia absoluta
∑ ∑|||||||||||| Se dice que la serie
converge de manera absoluta siempre que la serie converja.
Se dice que una serie que converge, pero no converge absolutamente, converge condicionalmente. En consecuencia los términos convergencia absoluta, convergencia condicional y divergencia al mismo tiempo incluyen todos los casos y son mutuamente excluyentes: una serie numérica dada pertenece exactamente a una de estas 3 clases.
Suponiendo que el limite
∑
Existe o es infinito. Entonces la serie infinita de términos diferentes de cero 1. Converge absolutamente si 2. Diverge si Si , la prueba de la razón no es concluyente
