Tema n° 08
SERIE DE TAYLOR Y MACLAURIN DIAZ SOLANO, Jimmi
+∞
+∞ (0)
!
! =
=
Lima, agosto del 2018
Ejes troncales
Vínculo con los componentes del diploma ¿Bajo qué circunstancias se puede afirmar qué el valor de algunas expresiones trascendentes
TDC han influido en descubrimientos de impacto social? El trabajo en equipo, de los estudiantes, promoverá en ellos la creatividad para organizarse y CAS la necesidad de apoyarse entre todos los miembros del grupo. Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita, pero luego lo consideraría imposible, como consecuencia se darían las paradojas de Zenón. Más adelante, Aristóteles le Mentalidad dio una solución filosófica; aunque el contenido matemático de esta no quedó resuelto, Internacional después lo resolverían Demócrito y después Arquímedes, aunque actualmente se reduce a un problema que está al alcance de cualquier estudiante de secundaria.
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OBJETIVO:
Los estudiantes estiman el valor numérico de expresiones trascendentes, mediante el uso de la serie de Taylor y la serie de Maclaurin.
Situación problemática:
y con reglas de correspondencia sen Modele la función mediante la serie de Maclaurin alrededor de 0.
A partir de las funciones a) b)
y
()
Utilice el resultado del ítem (a) para evaluar con tres cifras significativas la expresión:
sen .
(Utilice su CPG)
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CONOCIMIENTOS PREVIOS: 1. Series aritméticas y geométricas (infinitas).
3 5 7 9 11 ⋯ 2. Sumatorias.
+∞
2 1
=
3. Derivadas. Derivadas de orden superior.
27 9 3 1 13 ⋯ +∞
3−
=
′′′ 4 9 10 18 10 3 5 2 ⇒ ′′′ 12 24 18 ⋮
PROCESO
Introducción: 1. Se denomina serie a la suma de los términos de una sucesión (aritmética o geométrica).
a una serie infinita de la forma: ⋯ ⋯
2. Se conoce como serie de potencias en (o alrededor de)
Se puede utilizar la notación de sumatoria para representar la serie:
+∞
=
3. Se denomina serie convergente si la suma de la serie es el límite de las sumas parciales.
2 1 ,⋯ , la suma de la serie es 4, el cual es el límite de las sumas parciales (2, 3, 3.5, 3.75, 3.875, … ). Por ejemplo, en la serie:
PROCESO
SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MACLAURIN •
Algunas funciones racionales como algunas funciones trascendentes pueden ser expresadas como una serie de potencias, por ejemplo
•
•
.
Supongamos que es una función definida mediante una serie de potencias en
⋯ ⋯
; esto es,
Si realizamos la derivación de manera consecutiva (primera, segunda, …) a la función
′ 2 3 4 5 ⋯ − ⋯ ′′ 2 2 ∙3 3 ∙ 4 4 ∙5 ⋯ ( 1)− ⋯ ′′′ 2 ∙ 3 2 ∙3 ∙4 3 ∙ 4 ∙ 5 ⋯ ( 2)( 1) − ⋯ () 2 ∙ 3 ∙ 4 2 ∙3∙ 4∙5 ⋯ ( 3)( 2)( 1) − ⋯ Y así de manera consecutiva, observemos que si reemplazamos 0 se obtiene: 0 ; ′ 0 ; ′′ 0 2! ; ′′′ 3! ; 0 4! ; …
, obtendremos:
PROCESO
0 ; ′ 0 ; ! ; ! ; ! () ; … () para cualquier número entero positivo incluyendo al cero. En general: ! Entonces la serie de potencias de en puede escribirse como: +∞ (0) ′′ 0 ′′′ 0 0 ′ ! 0 0 2! 3! ⋯ ! ⋯ Así se tendrá:
“ ”,
•
=
•
(Serie de Maclaurin)
como una serie de potencias en , es decir: +∞ ⋯ ⋯
En un sentido más general, considere la función
=
PROCESO
, de manera similar al proceso seguido anteriormente, se tendrá: () ′ ; ; ! ; ! ; ! ; … () para cualquier número entero positivo incluyendo al cero. En general: ! Entonces la serie de potencias de en puede escribirse como: +∞ ′′ ′ ! ( ) 2! ( ) ⋯ ! ( )⋯ = Si se considera ahora
“ ”,
•
(Serie de Taylor)
NOTA: Observe que en la serie de Taylor, un caso especial (cuando Maclaurin.
0), se denomina serie de
EJERCICIOS Ejercicio 1 Dada una función a) b)
, cuya regla de correspondencia es () .
mediante el uso de la serie de Maclaurin. Estime el valor de con el uso de la derivada de orden 5, utilice su CPG.
Modele
PROCESO
+∞ (0)
! =
PROCESO
EJERCICIOS
cuya regla de correspondencia está dada por sen. Modele mediante el uso de la serie de Taylor alrededor de . Utilice el modelo del ítem (a) para mostrar el desarrollo explícito de sen con la serie de Taylor
Ejercicio 2 Dada la función a) b)
alrededor de
.
+∞
! =
SALIDA
Preguntas finales para los estudiantes:
1. ¿Qué temas debo conocer previamente al desarrollo de la serie de Taylor y la serie de Maclaurin? 2. ¿Qué semejanza y qué diferencia hay entre la serie de Taylor y la serie de Maclaurin? 3. ¿En qué situaciones de contexto real es aplicable la serie de Taylor y la serie de Maclaurin? (Temas de monografía) Para ampliar los conocimientos sobre el tema, puede consultar: Leithold, L. (1998). El cálculo (7ª ed.). México: Oxford university press. Hasser, N., La Salle, J. y Sullivan, J. (2ª ed.) México: Editorial Trillas.
