Convergencia en Probabilidad y Casi Segura (1)

Convergencia Carlos Pérez Olivia López Carlos González

Relación entre los distintos tipos de convergencia Error Medio Cuadrado

Probabilidad 1

Probabilidad

Distribución

Convergencia en probabilidad 1 o casi segura sucesión de variables aleatorias {X }, converge con • Una  probabilidad 1, o de forma casi segura, a una variable •

n

aleatoria X (que puede ser una constante C) cuando se cumple que: •

Por lo que se interpreta que cuando la probabilidad de que en el límite la sucesión de variables aleatorias y aquella a la que converge sean iguales, es uno.

Convergencia en probabilidad •

aquella que a medida que n o el tamaño de la muestra • Es  aumenta, la variable aleatoria va tomando valores cercanos •

• •

a una constante c con mayor probabilidad. Una sucesión de variables aleatorias Xn converge en probabilidad a una constante c si: Para cualquier , también escrito como . Ha de tenerse en cuenta en este caso que la sucesión sólo implica a la sucesión de las probabilidades de los sucesos y no a las variables en sentido matemático

Convergencia en media cuadrática

Una sucesión de variables aleatorias X1, X2,… converge en media cuadrática a una variable aleatoria X (que puede ser una constante K) cuando se cumple: 2

lim E[( xn  x) ]  0 n 

Se escribe Y lo interpretamos como: la dispersión de la sucesión de variables aleatorias, tomando como origen aquella variable a la que converge, es 0.

Convergencia en distribución • Una secuencia de variables aleatorias X1, X2,… se dice converge en distribución a la variable aleatoria X si

lim Fn(x)  F(x) n

x R

Fn y F son funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias Xn y X. Para esta convergencia solo se necesita conocer la distribución de probabilidad, no así sus variables aleatorias.

Convergencia en distribución • El teorema de limite central, es un teorema acerca de la convergencia en distribución. d

Xn  X d

Xn  LX

D

Xn  X

Xn  X

L

Xn  X

L  Xn   L  X

• Donde LX es la ley (distribución de probabilidad) de X. Por ejemplo, si X es estándar normal podemos escribir: d

Xn  N(0,1)

• La convergencia en media cuadrática implica la convergencia en probabilidad , no siendo cierto (generalmente) el     comportamiento inverso : •                        Luego            •   •             La convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad , no siendo cierto (generalmente) el  planteamiento inverso : •                       Luego                 •   •             La convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución , no siendo cierto (generalmente) el  planteamiento contrario : •                         Luego                    

Relación entre los distintos tipos de convergencia Esquemáticamente quedaría : Error Medio Cuadrado

Probabilidad 1

Probabilidad

Distribución