Criterios de Convergencia
de términos no negativos, es decir, tales que
De momento consideraremos sucesiones a
n
0.
Si es así, las sumas parciales
a
n
Sn
a
1
a
2
a
3
..... an
de una serie infinita son
naturalmente no decrecientes. Esta observación conduce a uno de los primeros criterios.
1. Criterio de Acotación. La serie
n
a
es convergente si y sólo si la sucesión de sumas
n
1
S n es acotada. Este criterio, en si mismo no es muy útil, ya que si el conjunto S n es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer.
parciales
2. Condición del Resto. Si una serie
n
a
n
es convergente entonces
1
lim lim a n
n
0.
3. Corolario. Si
lim lim a n
n
0,
entonces la serie
n
n
4. Si
2n 3
5
Por ejemplo, dada la serie
n
1
1
,
lim n
a
n
diverge.
1
2n 3
2
5n 1
5
entonces la serie dada dada diverge.
an
b n son series infinitas tales que
y
n1
ai
bi
para todo
i
k ,
donde k es es
n 1
un entero positivo, entonces ambas series convergen o ambas divergen. 5. Criterio de la Integral.- Si una función f función f es es continua y decreciente y toma valores positivos para x 1 , entonces la serie infinita
f (1) f (2) f (3) ..... f (n) .....
a)
converge si
b)
diverge si
1 f ( x)dx converge. 1 f ( x)dx diverge.
Ejemplo 1. Dada la serie
n
1
1
u
1
1 3n
2
1
1
dx u 1 3x 2 1
dx = lim
, entonces 1
lim (arctg 3u arcatg 3 )
3 u 6 3 3 x 1 integral converge y por lo tanto la serie dada también es convergente. 2
Ejemplo 2. Dada la serie Ln x
1
dx
u L x n
1
= lim
L n n
n1 n
dx
1
, entonces
lim ( Lnu) 2 , entonces la integral diverge y por lo
2 u tanto la serie dada también diverge. x
u
x
, entonces la
1
n p
6. La serie – p
converge si p 1 y diverge cuando p 1 . Este resultado se
n 1
obtiene analizando la integral
1
1
p dx .
x
Ejemplo 1.
3
Dada la serie
n
1
1 n
4
n
la serie es convergente ya que en este caso
1 n
4
p
1
, puede expresar como
3
, entonces
4/3
1
.
Ejemplo 2.
5
Dada la serie
n
1
1 3
, se puede expresar como
n
n
la serie es divergente ya que en este caso p
7. Criterio de Comparación.- Sean
n
a
3
, entonces
3/5
1 n
1.
5
b n dos series de términos
y
n
1
1
n 1
positivos.
a)
Si
bn
converge y
an bn
n Z
an
, entonces
n 1
b)
Si
converge.
n 1
diverge y
bn
an bn
n Z
an
, entonces
n 1
diverge.
n 1
Ejemplo 1.
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
n
Es claro que
3
n
3
n
4
para
n Z
1 3
1 n 4
, de donde
1 3
n
De acuerdo con el criterio a), como la serie
n
la serie
n
1 3
1 n 4
1 3
1
4
3
para
n Z
.
n
es convergente(serie – p ), entones
1 n
es también convergente.
Ejemplo 2.
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
.
n
1
1 n 2
n
.
Como
n
2
n
1
n
2 n n2
n2
n
1
n
para
2
n
1
1 n 2
n
1
y como la serie
n Z
n
convergente(serie- p), entonces la serie
1
n
es
2
es también convergente.
Ejemplo 3.
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
n
Como
1 2
1
n
2
n
para
n
2
n
1
y la serie
n
entonces la serie
n Z
n
n
2
1
.
n
1
es divergente(serie- p),
n
n
es también divergente.
n
1
Ejemplo 4.
n 1 n
Como
1
n
n
1
n
Dada la serie
2
2
, investigar su convergencia o divergencia.
1
1
n
2
n
1 n
n
divergente la serie
n
1 n
1
2
1
n n
2
1
para
n Z
y como la serie
1
n
1
1
es
n
es también divergente.
8. Criterio de Comparación mediante el límite del Cociente.- Sean
n
dos series de términos positivos. Si
lim
an
n b n
L
0 .,
a
1
n
y
b n
n 1
entonces ambas series convergen
o ambas divergen. Ejemplo 1.
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
n
Sea
a
n
n
1
3/2
1
n
lim
an
n
bn
y
lim
n
1/2
n
bn
(n 1)
3/2
n
1
1
1/2
n
n
1
3/2
1 n
1
.
el n – ésimo de otra serie, entonces
1 . Entonces, como la serie
n
1 1/2
es divergente(serie – p)
1 n
la serie dada también es divergente. Ejemplo 2.
Analizar la convergencia o divergencia de la serie
n
Sea
a
n
1
3 n
n
4
y 1
bn
1
n
7/3
1 n
1 3 n
4
. 1
el n – ésimo de otra serie, entonces
an
lim
n
lim
4/3
(n4 1)1/3 la serie dada también es convergente. n b n
n
1
1 . Luego, como la serie
n
1 n
7/3
es convergente(serie – p)
9. Criterio de la Razón o Criterio de D`Alambert.
Sea
n
a
an 1
una serie de términos positivos y lim
n
n a n
1
L , entonces
a) Si
L
la serie
1
a
converge.
n
1
n
b) Si
L
la serie
1
n
a
n
diverge.
1
c)
Si
L
1
la convergencia de la serie
n
a
queda sin esclarecer.
n
1
Ejemplo 1.
Dada la serie
n
Sea
2 a
n
1
2
n
n!
investigar su convergencia o divergencia. 2n1
n
entonces
a
1
n
n
(n 1)! concluímos, la serie dada es convergente. n!
a
. Luego, lim n
1
2
lim n
a
n
n 1
0 1 , de donde
Ejemplo 2.
Dada la serie
n
1
n
3
investigar su convergencia o divergencia.
n n1
n
Sea
3 a
n
entonces
n
3 a
n1
n 1
. Luego,
lim
a
n 1
n
a
3n
lim n
n
3
1
n 1
, de donde
concluímos, la serie dada es divergente. El caso L 1 del citado criterio impica la necesidad de analizar el problema mediante otros criterios para determinar la convergencia o divergencia de la serie dada.
Así por ejemplo, en la serie
n
lim
an 1
n a n
lim
n n
n
2
1
1 n( n 1)
,
a
n
1 ( 1)
n n
y
1 , pero la serie es convergente ya que
vió en un ejemplo inicial.
1
, y n1 (n 1)(n 2)
a
1
( 1) n1 n n
1 como se
Lo mismo sucede en otros casos como en la serie
n
pero,
a
n 1
lim n
a
n
lim
1
n 1
n
n
1
1
, que sabemos es divergente
n
.
10. Criterio de la Raiz .
Sea
n
a
n
una serie de términos positivos y
1
lim n an
n
L,
entonces
a)
Si
L 1
la serie
a
a
n
converge.
n1
b)
Si
L
1
la serie
n
n
diverge.
1
c)
Si
L
1
, la convergencia de la
n
a
n
queda sin esclarecer.
1
Ejemplo 1.
n
n Analizar la convergencia o divergencia de la serie . n 3 1 1 n
n
Aplicando el criterio
lim
n
a
n
n
n 1 n lim 1 , entonces la lim 3n 1 3n 1 3 n
n
n
serie es convergente. Ejemplo 2.
9n 1 Analizar la convergencia o divergencia de la serie 1 4n 1
n /2
.
n
Aplicando el criterio
lim
n
n
a
n
entonces la serie es divergente.
9n 1 lim 4n 1 n
n
n /2
1/2
9n 1 lim 4 n 1 n
3 2
1,
EJERCICIOS DE APLICACION
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
1.
1 n
2
n
2.
( 1
n
3.
2
3n
n1 n
2
1
n 1
6.
n
3
n n
3
4 5
1
( 2 2)1/3
8.
n
9.
10.
3
(2/5)n n
1
n
12.
1 4n 2
n
1
2
n
1
1 n
n
15.
n
1
1
2n
1 n
4
1
ne
n2
1
n
3 n
n
2
3
n n
2
n
16.
1
11.
n
n
1 n
2
13.
n
1
14.
3
n
6
3 (7)
n
) n
(n 1)2
Cos
5.
4
1
n 1 n
1
4n 1
3
n
5n 6
7.
2n 1
4.
1
17.
2
4
n
2
2 n 2
n
18.
4
1
(
n 2 n Ln n
)3
n!
Sugerencia: Los pasos dados en los ejemplos anteriores pueden ser útiles para resolver los ejercicios de aplicación.
