Resumo Testes de Convergencia

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II +∞

SÉRIE GEOMÉTRICA:

1)

∑ ar

n

= a + ar + ar 2 + ar3 + ... =

n =0

2) SÉRIE-P:

+∞ 1

∑ np

a

se e só se | r | < 1.

1− r

converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1

n =1

+∞

3) CRITÉRIO DO TERMO GERAL (CTG): 4)TESTE

n→+∞

é convergente se e só se

DA COMPARAÇÃO : Suponha que, a partir de um certo n, verifica-se que 0 ≤ a n ≤ bn .

+∞

∑b

6)TESTE

∑  f (n) é convergente. n=0

1

n=0

é divergente.

+∞

∫  f ( x)dx

Então

a) Se

n=0

n

positiva e decrescente em [ 1 , + ∞ ]. DA INTEGRAL : Seja f: [ 1 , + ∞ ] → ℜ , função contínua, positiva +∞

5)TESTE

∑a

Se lim a n ≠ 0 , então

n

+∞

∑a

é convergente, então

n=0

+∞

é convergente. b) Se

n

∑a n =0

DA COMPARAÇÃO POR LIMITE : Se a n ≥ 0, bn ≥ 0 e +∞

a)Se L > 0, então então

+∞

∑b e ∑a n=0

n

n=0

+∞

n

são convergentes ou

∑b n=0

n

+∞

n

n=0

é convergente, então

n →+∞

bn

é divergente.

=  L , então

+∞

e

∑a n=0

∑b n=0

∑a n=0

+∞

c)Se L=+ ∞ então temos que: Se

an

n

n

são divergentes.

+∞

∑b

b)Se L=o então temos que: Se

∑b n =0

lim

+∞

n

é divergente, então

n

n

é convergente.

+∞

é divergente, então

∑a n=0

n

é divergente. +∞

7) TESTE

DE LEIBNIZ PARA SÉRIES ALTERNADAS: Seja a série alternada ∑ (−1) n a n . n =1

Se 8)

lim an = 0 e an ≥ an+1, então a série converge.

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL: Se

+∞

∑| a

n

|

∑a

n

=

a1 + a 2 + a 3 + ....

converge,

n =0

+∞

diz-se que a série

∑a

+∞

n

é absolutamente convergente. Caso contrário, a série

n =0

é condicionalmente 

n =0

convergente. 9) TESTE

DA RAZÃO : Sejam

+∞

∑a

n

uma série infinita, com a n ≠ 0, tal que

n =0

+∞

a)Se L < 1, então a série

∑a

n

é absolutamente convergente.

n =0

b)Se L > 1 ou L = + ∞ , então a série

+∞

∑a n =0

c) Se L = 1, nada se pode pode afirmar.

n

é divergente.

lim

n →+∞

a n +1 an

=L.