SESIÓN 8
FICHA DE MATEMÁTICA LA RAMPA Y LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Una rampa nos permite vincular dos lugares que se encuentran a diferente altura, ofreciendo un camino descendente o ascendente para trasladarse de un espacio a otro a través de su superficie. Hoy en día, todos los centros públicos deben contar con accesos para el desplazamiento de las personas con discapacidad y/o adultos mayores. En este sentido, la construcción de rampas es obligatoria, siguiendo las especificaciones que indican que el ángulo de inclinación de las rampas debe de tener un rango de 10° a 15° respecto a la horizontal. Actualmente, en el hospital Nueva Esperanza están construyendo una rampa lineal, cuya altura será de 1,5m. al final de la rampa.
1. La Institución Educativa donde estudias dispone de rampas para el desplazamiento de los estudiantes. ¿Consideras que son importantes? _______________________________________________________________________ __________________________________ _____________________________________ _______________________________________________________________________ __________________________________ _____________________________________ 2. ¿Cómo se representa matemáticamente matemáticamente la longitud de la superficie de la rampa en función del ángulo especificado? _______________________________________________________________________ __________________________________ _____________________________________ _______________________________________________________________________ __________________________________ _____________________________________ 3. Completa la tabla. Ángulo ( )
5°
10°
15°
30°
45°
60°
Longitud de la superficie de la rampa
4. Con respecto a la información registrada registrada en la tabla, ¿qué ocurre con la longitud de la superficie de la rampa cuando la medida del ángulo de inclinación va aumentando?
La relación entre las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos, se llama razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Son relaciones que se establecen entre las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo. Si se elige uno de los ángulos agudos se establecen seis razones que quedan determinadas en forma única y son funciones del ángulo. El nombre de estas seis razones trigonométricas son: seno (sen), coseno (cos), tangente (tg), cotangente (ctg), secante (sec) y cosecante (csc). En el triángulo rectángulo ABC, deducimos las razones trigonométricas con respecto al ángulo . = = =
=
=
=
Razones Trigonométrica de Triángulos Notables A los ángulos de 30°, 60° y 45° se les da el nombre de ángulos notables, debido a que los valores de sus razones trigonométricas se pueden obtener a partir de construcciones geométricas específicas. Para determinar las razones trigonométricas de 30° y 60° consideramos un triángulo equilátero de lado (L=2), en él se traza la bisectriz de uno de sus ángulos al lado opuesto, quedando el triángulo equilátero, dividido en dos triángulos rectángulos congruentes, pues la bisectriz coincide con la mediana y la altura, como se muestra en la figura.
Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la medida de la bisectriz. Utilizando la definición de las R.T, completamos los valores correspondientes para cada ángulo. RT
30°
60°
RT
Sen
Ctg
Cos
Sec
tg
Csc
30°
60°
Para las razones trigonométricas de 45°, construimos un cuadrado de lado (L=1), trazando una diagonal se obtiene un triángulo rectángulo que además es isósceles como el de la figura mostrada, Con ayuda del teorema de Pitágoras encontraremos el valor de la hipotenusa y podemos calcular los valores de todas las R.T del ángulo de 45°.
45° =
45° =
45° =
45° =
45° =
45° =
Razones Trigonométricas de Triángulos Rectángulos Aproximados. A A
A 53°
25K
5K
7k
3k
8°
74°
5 2K
7k 16°
B
37°
B
4k
C
24k
C 82°
B
k
C
Ángulos Verticales Los ángulos verticales son aquellos que están ubicados en un plano vertical, y están formados por una línea visual y una línea horizontal. Estos ángulos pueden ser de 2 tipos: ● Ángulos de elevación. ● Ángulos de depresión.
Analizamos. 1. Una Empresa que ganó la licitación construyó un túnel que atraviesa un cerro, conectando dos distritos Limeños tal como se observa en el gráfico. Teniendo como información las medidas realizadas por los ingenieros, ayuda a determinar la longitud de la nueva carretera.
RESOLUCIÓN Se construye el gráfico que represente la situación problemática y se ubica los datos. B
74° 53° 1050m
A
37°
16°
C
H a
Trazamos la altura BH para formar triángulos rectángulos. En el
AHB, calcula “a”:
16° =
1 050
b
En el AHB, calcula la altura (h):
16° =
ℎ 1 050
7 ℎ = 25 1 050
24 = 25 1 050
25h = 7 350
25 a = 25 200
h = 294
En el
BHC, calcula “b”:
37° =
ℎ
3 294 = 4 3b = 1 176 b = 392
a = 1 008 La longitud de la carretera es (a + b): 1 008 + 392 = 1 400 m. 2. Coñuz y Colán son dos playas situadas a la orilla de la Bahía de Sechura, dentro del departamento de Piura. Una agencia turística promociona deportes de aventura desde la playa Colán a la playa Coñuz, informando que para el traslado de los turistas cuenta con dos rutas a elegir, por mar o tierra. En la ruta por tierra el tramo comprendido entre la
estación 1 y 2 es paralela a la ruta por mar, como se muestra en la figura. ¿Cuál será la distancia que se tiene que recorrer por el mar para unir estas dos playas? Playa Colán 2km 127°
Estación 1
5,8km
Playa Coñuz
135° Estación 2
RESOLUCIÓN Se construye el gráfico que represente la situación problemática y ubicamos los datos. B
5,8km
37°
C 135°
127°
45°
2km
A
45°
53°
D
Q
P y
x
z
Trazamos las alturas BP y CQ hacia AD. En el
APB, calcula “x”:
53° = 3 = 5 2 x = 1,2
2
En el APB, calcula la altura BP (h):
53° =
ℎ 2
4 ℎ = 5 2 h = 1,6 Del gráfico se observa que: y = 5,8
En el
CQD, calcula “z”:
45° = 1=
1,6
z = 1,6
ℎ
La distancia de la Playa Colán a la Playa Coñuz es (x + y + z): 1,2 + 5,8 + 1,6 = 8,60 km. 3. En una agencia bancaria por la seguridad de su personal y clientes, se instalará una cámara de video en un soporte de pared de modo que brinde una vista buena de sus cajeros y clientes. ¿Cuál es el ángulo de depresión que debe forma la lente con la horizontal?
RESOLUCIÓN Ubicamos los datos en el gráfico.
Determinamos la razón trigonométrica que relaciona los lados del triángulo con el ángulo de depresión: 2,24 7 = → = = 7,68 24 Entonces se deduce que la medida de ángulo es 16°, teniendo en cuenta el triángulo rectángulo aproximado de 16° y 74°. 4. Ante el crecimiento demográfico en la ciudad de Lima, los cerros están siendo utilizados por los pobladores como un lugar destinado para la construcción de sus casas exponiéndose a muchos peligros. Debido a ello, la Municipalidad de Lima ha construido escaleras en diferentes asentamientos humanos ubicados en los cerros, considerándolos caminos necesarios para que estos pobladores tengan el acceso a sus casas con menos dificultad. Una de aquellas escaleras tiene la forma y las dimensiones de la figura. ¿A qué altura se encuentra el final de la escalera?
RESOLUCIÓN Ubicamos los datos en el gráfico. F a P
10 30°
E 2
D 10
b
37°
C
B
2
Q 10
c
45°
R
H
En el
FPE , calcula “a”:
30° =
10
En el
DQC, calcula “b”:
37° =
10
A
En el
BRA, calcula “c”:
45° =
10
1 = 2 10
3 = 5 10
√ 2 = 2 10
a=5
b=6
c= 5√ 2
La altura de la escalera es (a + b + c): 5 +6 + 5(1,41) = 18,5 m.
Practicamos 1. Para aproximar el ancho de un pantano, los topógrafos Raúl y David se ubican en el punto B, desde ese punto, ambos topógrafos caminan 130 metros al punto C. Raúl gira 53° y camina 200 metros al punto A, David continúa caminando en línea recta, ubicándose perpendicularmente a Raúl que se encuentra en el punto C. Utilizando esta estrategia los topógrafos, podrían determinar aproximadamente el ancho del pantano entre los puntos A y B. Realiza tu procedimiento. 2. Por temporada de verano, Jairo con su familia acuden al centro de esparcimiento de Chosica. Jairo se sube a un tobogán y desde allí observa un árbol. Para ver la base del mismo necesita bajar la vista 37° respecto a la horizontal, y para ver la punta de la copa del árbol debe levantar su mirada 45°respecto a la horizontal. El tobogán está ubicado a 8m del árbol. Con esta información será posible calcular la altura del árbol. Realiza tu procedimiento.
h
8m
3. Un faro es una torre de señalización luminosa situada cerca de la costa, se ubican en los lugares donde transcurren las rutas de navegación de los barcos, y disponen en su parte superior de una lámpara potente, cuya luz se utiliza como guía. Juan el encargado del faro Salaverry, en Barranca, que tiene una altura de 70m. D esde el balcón observa dos barcos situados al oeste del faro con ángulos de depresión de 60° y 45°. Según la información dada, Juan puede lograr hallar la distancia que separa a los barcos.
4. Los estudiantes de quinto año de secundaria realizan un proyecto sobre medidas de distancias inaccesibles en su localidad. Carlos y Alfredo deciden obtener la medida del ancho de un río. Inician su proyecto dirigiéndose al río, Carlos se ubica en el punto A de la ribera del río, mientras que Alfredo en el punto B de la ribera opuesta paralela y observa a Alfredo con un ángulo de 30°, luego Carlos camina por la orilla hacia un punto D, que se encuentra al frente del punto donde se ubica Alfredo, cuando ha caminado 200m dirigiéndose a D observó que el ángulo aumentó a 60°. ¿Cuánto mide el ancho del río?
5. Un puente es una construcción que permite salvar un accidente geográfico como un río, un cañón, un valle, una carretera, un camino, una vía férrea, un barranco o cualquier otro obstáculo físico. Dos pueblos de la Sierra central están separados por un barranco y los pobladores quieren construir un puente para acortar la distancia, trasladándose de una manera rápida y segura. El barranco tiene 25 m de profundidad y desde cada extremo del barranco se ve la misma piedra ubicada en el fondo, bajo ángulos de 45º y 30º respectivamente. ¿Cuál sería la longitud del puente que se va construir? a) b) c) d)
50m 68,25m 60,25m 86,50m
6. El sistema de posicionamiento global (GPS) es un sistema que permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto (una persona, un vehículo). Un equipo de estudiantes quieren averiguar la distancia de su colegio a las Ruinas de Pachacamac y haciendo uso del GPG obtienen dos rutas para dicho lugar. La primera ruta utiliza la carretera principal (el cual describe una línea recta), mientras que la segunda realiza algunos desvíos en su trayectoria antes de llegar a su parada final. ¿En cuánto excede la segunda ruta a la primera?
a) 2,13km
b) 26,60km
c) 55,33km d) 0,90km
Las Escaleras mecánicas La escaleras mecánicas se usan para transportar con comodidad y rápidamente un gran número de personas entre los pisos de un edificio, especialmente en centros comerciales, aeropuertos, transporte público, etc. Para la construcción de un nuevo centro comercial se están acondicionando dos escaleras mecánicas (subida y bajada), el centro comercial tiene dos niveles, siendo la altura de cada nivel 6m. El ingeniero encargado de obra sugiere que las escaleras mecánica debe tener una pendiente (m= 1/√ 3 ) como máximo.
Con esta información responde la pregunta 8 y 9 7. ¿Cuál será la longitud de la escalera eléctrica? a) 6√ 3m
b)8m
c) 10m
d)12m
8. Si la altura de cada peldaño es de 300mm. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera mecánica? a) 25 peldaños peldaños
c) 24 peldaños
c) 20 peldaños
d) 18
Los puentes peatonales en Lima De acuerdo con las estadísticas, los atropellos son la segunda causa de accidentes y entre sus causas figuran el cruce indebido por parte del peatón . Una de las soluciones frecuentemente planteadas para mejorar la seguridad de los peatones es la colocación de Puentes Peatonales, especialmente en vías de tránsito rápido. Se construyó un puente de 56m de altura, para lo cual se ha acondicionado rampas cuyas inclinaciones son y (<), si se sabe que el sen = 0,28 y sen = 0,5.
Con esta información responde la pregunta 10 y 11. 9. ¿Cuáles son los ángulos de inclinación de las rampas mostradas en la figura? a) 60° y 74° b) 16° y 30° c) 30° y 30° 74° y 30°
d)
10. ¿Cuál es la longitud total de las rampas dadas? a) 156m b) 152m 144,40m
d)
c) 128m
Anuncio Publicitario Una empresa dedicada a la publicidad ha iniciado una campaña para la introducción de una marca de refresco. Para ello, emprende un viaje de promoción en una avioneta entre las playas más concurridas de Lima. Dos salvavidas Carla y Miguel están ubicados en una misma línea recta y en la misma dirección, separados por 153m de distancia, en un determinado momento ambos observan la avioneta que sobrevuela a una altura constante, con ángulos de elevación de 82° y 53°, respectivamente. Diez segundos más tarde, Carla observa el avión con un ángulo de elevación 106°.
Con la información dada responde la pregunta 12 y 13 11. ¿A qué altura aproximadamente vuela la avioneta? a)36m 288m
b) b)144m
c) 252m
d)
12. ¿Cuál es la velocidad con la que sobrevuela la avioneta por la zona? a)7,35m/s b)10,95m/s c)3,75m/s d)18,90m/s 13. Un Poste es uno de los elementos que se utiliza para la construcción de tendidos eléctricos y telefónicos, televisión por cable, para iluminar calles, plazas, etc. Se observa que dos postes de luz de 360cm de altura ubicados a una distancia de 600cm, iluminan una calle como lo muestra la figura. Determina la longitud del segmento que queda iluminado por los dos postes.
a) b) c) d)
1,2m 2,4m 3,6m 4,8m
14. La Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio, más conocida como NASA (National Aeronautics and Space Administration) que es la agencia del gobierno estadounidense responsable del programa espacial civil, así como también de la investigación aeronáutica y aeroespacial, está a punto de lanzar un cohete para poner en órbita un satélite. ¿Cuál será la inclinación para iniciar su despegue? Observe la figura. a)31° b)37° c)53° d)58°
