MATEMÁTICA – 1º DE SECUNDARIA
FICHA 2
SELECCIONANDO LA DELEGACIÓN DE DEPORTISTAS EN LA DISCIPLINA DE NATACIÓN
La entre entrena nado dora ra de nata nataci ción ón debe debe sele selecc ccio iona narr a sus sus dos dos mejo mejore res s depo deporti rtist stas as que que repr represe esenta ntarán rán a la Instit Instituci ución ón Educat Educativa iva en los juegos juegos deport deportivo ivos s escola escolares res 2015 2015 cate catego gor ra a dama damas! s! para para ello ello regis egistr tra a el tiem tiempo po que que real reali" i"a a cada cada una una de las las cuat cuatro ro deportistas que tiene a su cargo en las # pruebas de 50 metros libres$ Deportista Sandra Gabriela Sofia Sheyla
Tiempo en segundos
%1 %2 %2 '&
%& %' %) %2
'' %% %2 %2
%1 %2 %) %%
'( %% %2 %2
%5 %1 %5 %2
%) %2 %2 %2
'% %2 %2 %%
Responde las siguientes preguntas: 1. ¿De qué manera manera crees crees que la entrenado entrenadora ra de natacin natacin seleccio seleccionar! nar! a las dos me"ores me"ores deportistas# $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ %. ¿&u!l es el tiempo promedio de la marca marca de cada cada una de de las nadadoras# nadadoras# $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$ '. ¿(ué medidas medidas de tendenci tendencia a central conoces#¿ conoces#¿ &u!les &u!les son#¿Sabes son#¿Sabes calcularlas calcularlas# # $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$ $$ ). Determina Determina la media* media* mediana y la moda moda de los tiempos de de cada deportist deportista. a. 1 a n i g á P
media mediana moda
Sandra
Gabriela
Sofia
Sheyla
1 a n i g á P
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+. ¿ ,-isten diferencias entre las medias* medianas y modas entre las cuatro deportistas# ¿or qué# $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ /. Si t0 fueras el entrenadora2* ¿a quiénes selecciorar3as y por qué#. ,-plica el proceso que seguirias para seleccionar a las deportistas que integrar!n el equipo. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
APRENDEMOS Respecto a la situacin planteada 4Seleccionando a la me"or delegacin de deportistas en la disciplina de natacin5* ser3a deseable tener un solo 6alor que represente al con"unto de 6alores presentados* as3 como un n0mero intermedio o una medida de tendencia central* siendo la media la m!s aplicada y m!s conocida como promedio7 adem!s hay otras medidas de tendencia central tales como la mediana y la moda.
También es necesario conocer: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son par!metros estad3sticos que indican 6alores cuyo ob"eti6o es resumir la informacin para un con"unto de datos. 8as medidas de tendencia central m!s conocidas son: la media* la mediana y la moda.
MEDIA (
x ´
2
8a media de un con"unto de datos se obtiene sumando todos los datos y di6idiendo luego la suma entre el n0mero de datos. 8a mayor3a de las personas conocen la media con el nombre de 4promedio52. ,l s3mbolo de la media es 4
x ´
5.
,n general: Sean los datos: - 17-%7 -'797-n. 8a media de ese con"unto se calcula mediante la siguiente frmula:
2
2
a ,"emplos: n i 1. 8os tiempos en segundos que estu6o entrenando arla en la disciplina de natacin g á P fueron: '%7 '+7 '/7 '%7 ')7 '%7 ''7 '). ¿&u!l es su promedio de tiempo#
Resolución. x´ =
32+ 35+ 36 + 32 + 34 + 32+ 33 + 34 268 = =33,5 8 8
a n i g á P
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,l promedio de tiempo de arla es de ''*+ segundos. %. ,l docente de matem!tica de primer grado tiene que sacar el promedio de notas de un estudiante que se 6a a trasladar de colegio por moti6o de 6i6ienda. Sus notas las tiene organi;adas en un cuadro porque 6arias de ellas se repiten. notas
1>%>'?=2 x´ =
12.3+ 15.1+ 16.2 + 19.3 36 + 15 + 32+ 57 140 = = =15,56 9 9 9
Redondeando* el promedio final del estudiante en mencin es de 1/.
MEDIANA (Me). ,s el 6alor que di6ide al con"unto ordenado de datos* en dos subcon"untos con la misma cantidad de elementos. 8a mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad son mayores. @mportante: Si el n0mero de datos es impar* la mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista ordenada. Si el n0mero de datos es par* la mediana es la media de los dos datos que se encuentra a la mitad de la lista ordenada. ,"emplos: 1. Aallar la mediana del n0mero de hi"os de un con"unto de = familias: '7 %7 17 17 %7 %7 )7 %7 1. •
•
Resolución. Brdenando los datos: 1 3 a n i g á P
1
1
%
%
%
%
'
)
mediana
3
valore !"#er!ore
valore $%er!ore
8a respuesta a este problema* es que el +C de familias tiene menos de % hi"os* mientras que el otro +C tiene m!s de % hi"os. %. Aallar la mediana del n0mero de hi"os de un con"unto de 1C familias: +7 )7 )7 )7 %7 )7 %7 %7 17 %.
Resolución. Brdenando los datos: 1
%
%
%
%
)
)
)
)
+
a n i g á P
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valore !"#er!ore
valore
$%er!ore Ee ?
2+ 4 =3 2
8a respuesta a este problema* es que el +C de familias tiene menos de ' hi"os* mientras que el otro +C tiene m!s de ' hi"os.
MDA (Mo) ,s el 6alor que aparece con mayor frecuencia de un con"unto de datos. uede ocurrir que un con"unto de datos tenga m!s de una moda o no la haya. Si no hay moda se le llama amodal* si tiene dos datos que se repite en la misma cantidad se le llama bimodal. ,"emplos: Del e"emplo* anterior en donde se hace una encuesta a = familias por el n0mero de hi"os* la moda es %. ,ntonces podemos decir que la mayor3a de las familias tiene % hi"os. Del e"emplo de las 1C familias la moda son % y )* por lo tanto es bimodal. Respondemos que la mayor3a de familias tienen entre dos a cuatro hi"os.
ANALI'AMOS !. Del problema inicial 4Seleccionando la delegacin de deportistas en la disciplina de natacin5* la entrenadora slo toma en cuenta las 0ltimas / pruebas para escoger a las dos deportistas que conformar3a la delegacin para la disciplina de natacin. Si se sabe que Sandra por su me"or tiempo promedio de marca 6a como me"or deportista. ¿(ué medida de tendencia central le ayudar3a escoger a la segunda me"or deportista# ,-plique por qué le ayud dicha medida. ruebas Deportista Sandra Gabriela Sofia Sheyla
1
%1 %2 %2 '&
%
%& %' %) %2
'
'' %% %2 %2
) + / Tiempo en segundos
%1 %2 %) %%
'( %% %2 %2
%5 %1 %5 %2
F
%) %2 %2 %2
'% %2 %2 %%
Resolución. & a n i g á P
Determinando su media* mediana y moda de cada una de las deportistas y lo escribimos en la tabla. Sandra
Gabriela
Sofia
Sheyla
media mediana moda
Gabriela* Sofia y Sheyla tienen igual $$$$$$$$$$$ y $$$$$$$$$* lo cual $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.
& a n i g á P
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,l me"or $$$$$$$$$$$$$ la tiene $$$$$$$$$$$$$$$$$* lo cual $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.
Respuesta:$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$. %. Se reali; una encuesta a %C estudiantes de primer grado sobre el n0mero de horas que est!n en las redes sociales como el
Resolución. Determinando la media* mediana y moda: &omo se ha dado una tabla con los datos* primero completamos la columna de 4K i.f i5 para calcular la media y la columna de 4frecuencia acumulada5 para hallar la mediana.
20
@nterpretacin: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ Determinando su mediana: ( total 20 a = =10 n i &alculamos: * luego nos 6amos a la tabla en la columna de frecuencia 2 2 g á P
acumulada y consideramos al primer 6alor que est! antes de 1C. 8a respuesta es el n0mero de horas que le corresponde7 por lo cual la mediana es %. @nterpretacin: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ Determinando su moda:
Eo ?
( a n i g á P
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@nterpretacin: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 8a medida de tendencia central m!s representati6a es $$$$$$$$$$$$$$$$$$$* porque $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$. '. &arlos ol6id una de sus ocho notas de matem!tica del bimestre anterior. Sin embargo* recuerda las otras siete notas* que son: CF7 1%7 1+7 1/7 1)7 1C7 1+. Ldem!s sabe que su promedio fue 1'. &arlos necesita saber esa nota* porque asegur a su amigo Eiguel que le ganaba en notas aprobadas* quien obtu6o un total de + notas aprobatorias. ¿(ué medida de tendencia central utili;ar! para a6eriguar la nota ol6idada y cu!l de las siguientes afirmaciones es 6erdadera# @. Eedia7 la nota ol6idada es 1C* por lo tanto &arlos no le gan a su amigo Eiguel. @@. Eediana7 la nota ol6idada es 1C* por lo tanto ninguno gan* empataron. @@@. Eedia7 la nota ol6idada es 1+* por lo tanto &arlos gan a su amigo Eiguel.
RESL"CI#N: Mtili;amos la estrategia heur3stica planteo de ecuaciones2 para resol6er el problema de &arlos. Sea 4-5 la nota ol6idada* entonces: sumadelas notasque recuerda + x 321 + x =¿ * ? * entonces: 8 8
f inalmente: - ? Res$ues%a: &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& ). 8os punta"es obtenidos por 1C estudiantes en un e-amen de 1CC puntos como m!-imo fueron: +F* '* ++* /C* +F* +/*1CC* * /C* +. Si antes del e-amen se acord que slo aprobar3an aquellos estudiantes* cuyos punta"es fueran al menos un punto mayor que la mediana o la media aritmética* ¿cu!ntos aprobaron el e-amen#
Resolución. Determinamos la media:
x´ =
57 + 38 + 55 + 60 + 57 + 56 + 100 + 88 + 60 + 58 268 = =¿ 10 10
8a regla indica que aprueban aquellos que tienen a lo menos un punto m!s. ,sto es* sobre $$$$$$ puntos. Aay $$$$$ estudiantes que est!n sobre punta"e. ) a Determinamos la mediana: se ordena los datos: n i g $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ á P
8uego la mediana: Ee ? 8os estudiantes que est!n sobre el punta"e y con un punto de diferencia esto es* a partir de $$$$ > 1 ?$$$$$ puntos2 son $$$$$ estudiantes.
Res$ues%a: &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
) a n i g á P
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+. Mn docente desea a6eriguar la edad representati6a de sus estudiantes de un aula de primer grado* para ello cuenta con un gr!fico de barras. ,-plica el proceso a seguir para determinar la media de las edades de los estudiantes de un aula de primer grado.
*+mero de
Resolución.
edades
ara determinar la media* tenemos que hallar el total de estudiantes* del grafico podemos decir que hay un total de $$$$$$ estudiantes. +¿ = =¿ ❑ ❑ x ´ =¿
11.11+ 12.14 +
Res$ues%a: &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 'RACTICAMS 1. Del siguiente gr!fico* e-plica el proceso a seguir para determinar la cantidad promedio representati6a de integrantes en la familia nuclear peruana y calcula otras medidas de tendencia central.
* a n i g á P
Respuesta: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
* a n i g á P
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%. Si tenemos las siguientes notas de un estudiante de primer grado: 1%* 1+* 1)* 1C* 1+* 1)* 1'* 1%* 11* 1+* 1'. Relaciona con flechas o colores las medidas de tendencia central con su 6alor correspondiente y responde qué medida de tendencia central le con6iene m!s al estudiante en este caso y por qué.
Ee
1'*C=
Eo
1)
´ X
1'
1+ Respuesta: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '. ,l gerente de una empresa de confecciones de ropa deporti6a toma una muestra de + sueldos de sus traba"adores y afirma que el sueldo promedio de sus traba"adores es de SN. 1'CC mensuales* que la mediana es de SN.11CC y que la moda es de SN. 1CC y que ningun traba"ador gana menos de 1CCC soles. ¿,s posible que la afirmacin del gerente sea 6erdadera#. Oustifica tu respuesta. Respuesta: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
). 8os datos siguientes corresponden al tiempo en minutos que Llberto debe esperar su medio de transporte para ir a su traba"o* durante 1+ d3as. + a)C* +* /* * /* /* * /* +* /* * /* +* /* F n i ¿&u!l de las medidas de tendencia central tomar! en cuenta para estimar el tiempo que g á Pdebe esperar su transporte# ¿or qué# Respuesta: $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
+ a n i g á P
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+. ,l profesor de matem!tica inform en una de sus clases 4la nota que m!s se repiti en la prueba fue 1)5. Si quisieramos interpretar los datos estadisticamente podriamos decir que la nota e-presada por el profesor es: a2 romedio b2 Eediana c2 romedio ponderado d2 Eoda /. Ll con"unto de datos: )7 7 +7 '7 ) se le agrega dos datos m!s* siendo después su mediana igual a +* su promedio / y su moda ). ¿&u!l de las afirmaciones cumplen con estas condiciones# @. Se le agreg F y 11 @@. Se le agreg ) y 1) @@@. Se le agreg y 1C a2 Slo @ b2 Slo @@ c2 Slo @@@ d2 @ y @@@ F. ,l gr!fico representa los 6alores del @& 3ndice de precios al consumidor2* el cual refle"a el porcenta"e de aumento en el costo de 6ida de la poblacin* correspondiente a los meses de enero a setiembre del aPo %C1+. ¿&u!l de las siguientes medidas ser3a una cantidad apro-imada a la media del @& de esos meses# %$#1, %!1(,
2!&2, %$0(,
2!&#,
%$1#,
%$2&,
%$)0,
%$%2,
http:NNIII.inei.gob.peNmediaNEenuRecursi6oNindices$tematicosNipcQnacional$%+.-ls , a n i g á P
a '*%F
b2 '*1
c2 '*/
d2 '%*F
. 8a edad promedio de cinco amigos es de 1F*) aPos. Si se incorpora al grupo un amigo de 1 aPos* ¿cu!l es la edad promedio de los seis amigos# a2 1F* ) aPos b2 1F*+ aPos c2 1 aPos d2 %1 aPos
, a n i g á P
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=. ¿&u!les2 de las afirmaciones siguientes son 6erdaderas# @. 8a media es siempre menor que la moda. @@. Si ordenamos los datos* siempre encontraremos en el centro a la moda. @@@. uede haber m!s de una moda en un grupo de datos. a2 Slo @ b2 Slo @@ c2 Slo @@@ d2 @ y @@@ 1C. Mna compaP3a procesadora de alimentos que empaca en6ases indi6iduales de sopa instantanea desea conocer cu!l es la cantidad m!s con6eniente de en6ases para incluir en un paquete. Reali;a una encuesta a %% de sus clientes* se encontr con la siguiente informacin: cuatro prefieren un paquete de 1 en6ase* cinco prefieren un paquete de %* seis prefieren una paquete de '* cuatro prefieren un paquete de )* y tres prefieren un paquete de /.¿&u!l o cu!les de las medidas centrales le ayudar! a tomar una decisin sobre la cantidad de en6ases que tenga cada paquete y satisfacer el gusto del cliente# a2 Slo la moda b2 Slo la mediana c2 Slo la media d2 &ualquiera de las tres medidas de tendencia central. 11. 8as siguientes notas corresponde a 1+ estudiantes al a;ar de un aula de clases de primer grado en un concurso de matem!tica. C* 1* '* 1)* 1)* 1+* 1/* 1/* 1F* 1F* 1* 1* 1* 1=* %C ¿&u!l de las medidas de tendencia central es la m!s representati6a de las notas de los 1+ estudiantes# a2 media
b2 moda*
c2 mediana
d2 bimodal
1%. Mn gran"ero tiene ocho cerdos cuyos pesos en Hilogramos son: 1F%* 1FF* 1F* 1F'* 1FF* 1F)* 1F/* 1F'. ,l gran"ero se dio cuenta que gana igual 6enderlo por Hilogramos que por unidades de cerdos. ¿&u!l o cu!les de las medidas centrales le sir6io al gran"ero para colocar el precio por unidad y ganar igual si lo 6endiera por Hilogramos# a2 8a media y la mediana7 siendo el peso referencial de cada cerdo 1F+ Hilogramos. b2 8a moda7 siendo el peso referencial de cada cerdo 1F' o 1FF Hilogramos. c2 Solamente la mediana7 siendo el peso referencial de cada cerdo 1F+ Hilogramos. d2 Solamente la media7 siendo el peso referencial de cada cerdo 1F+ Hilogramos. 1
a,l siguiente gr!fico muestra la 6enta de autos en el er0 en los 0ltimos aPos. Ouan quiere 1'. n i g in6ertir en la 6enta de autos y para ello quiere saber el promedio de 6enta de autos en los á P cuatro aPos presentados en un informe que le lleg a su despacho. ¿&u!l es el la media de la cantidad de autos 6endidos#
1 a n i g á P
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FICHA 2 1#%
1'5
1%' 100
a2 1)C CCC
b2 1)C +CC
c2 1' CCC
d2 1 )C+ CCC
A@STBR@L8 E,DL88,RB D, 8LS B8@E@LDLS D,8 JM,B E@8,J@B ,l siguiente cuadro muestra los pa3ses que m!s medallas de oro ganaron en las 0ltimas cuatro olimpiadas.
'ASES
SDNE *+++
ATENAS *++,
'E-IN *++
LNDRES *+!*
,stados unidos &hina Reino Mnido Rusia &orea del Sur Llemania
'/ % 11 '% 1'
'/ '% = %F = 1'
'/ +1 1= %' 1' 1/
)/ ' %= %) 1' 11
Responde las siguientes preguntas teniendo en cuenta el cuadro anterior. 1). &ompleta el cuadro con las medidas de tendencia central* teniendo en cuenta los datos 1 del cuadro anterior. 1
a n i g á P
Medidas de %endencia cen%ral media mediana moda
Es%ados unidos
C/ina
Reino "nido
Rusia
Corea del Sur
Alemania
1 1 a n i g á P
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FICHA 2
¿&u!l de los pa3ses del cuadro de honor tienen me"or promedio en medallas de oro y sea el fa6orito de ganar la mayor cantidad de medallas de oro en la pr-ima olimpiada# a2 &hina
b2 ,stados unidos c2 Rusia
d2 Llemania
1+. ¿(ué pa3s est! segundo* comparando su media y cu!ntas medallas m!s debi ganar en la 0ltima olimpiada para empatar al primero# a2 Rusia 7 ) medallas m!s. b2 &hina7 1 medalla m!s. c2 &hina7 + medallas m!s. d &hina7 )/ medallas m!s.
2 1 a n i g á P
2 1 a n i g á P
