MATEMÁTICA – 4º DE SECUNDARIA
FICHA 2
NÚMEROS IRRACIONALES EN MARTE MARTE Marte ha cautivado al hombre desde tiempos inmemoriales. Según los historiadores, el hombre conoce el planeta rojo desde hace 4.500 años, cuando los asirios registraron sus extraños movimientos en el cielo. La ilusin de encontrar vida o poblar marte ha llevado al hombre a conocer este plan planet eta. a. !n el "bse "bserv rvat ator orio io de #str #stro$ o$%s %sica ica de &sla &slas s cana canaria rias s han han enco encont ntrad rado o los los siguientes datos del planeta marte'
Tabla 1 Datos coma!at"#os Ma!t$ % T"$!!a Ma&'"t()$s (istancia media al sol (uracin del año (uracin del d%a -adio ecuatorial Masa (ensidad media 6ravedad super7cial 8elocidad de escape
T"$!!a
Ma!t$
)* #
),5 *#
) año 4 horas ) /12 3m ) 4,0 gcm +,2 ms )), 3ms
),+ años 5 horas 0,5 0,) 5.5 gcm ,1 ms 5,0 3ms
9uente' http':::.iac.escosmoeduca http'::: .iac.escosmoeducasistemasolarcharlasmartehtmind sistemasolarcharlasmartehtmindexvdcmnt.htm exvdcmnt.htm # partir de estos datos se pueden conocer otras medidas de este planeta vecino de la tierra, a continuacin responde las siguientes preguntas' ). ;
grande> !xplica. !xplica. ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? . planetas> ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????? )@A=gina
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????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5. !n el siguiente gr=7co se muestra las traBectorias de marte B la tierra alrededor del sol. La distancia media de la tierra al sol es ) *# *nidad #stronmica.
A!$')$mos RE*RESENTACI+N ,RÁFICA - SIM.+LICA DE NÚMEROS RACIONALES "bserva el gr=7co anterior, debido a Cue los planetas est=n en movimiento, las distancias entre Marte B la Dierra var%an, haB momentos en Cue sus distancias son m%nimas B en otras ocasiones son m=ximas.
(istancia
m=xima
9ig ) 9ig
π
4
2
;<mo se representan los números , B G),5 en la recta numErica>
•
@A=gina
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(ividimos entre 4 I 0,15 (ividimos J I ,)4 entre , aproximamos al centEsimo ),51 Luego, H),5 Ba es un decimal Cue puede expresarse como K),50. 9inalmente, ubicamos los números obtenidos en la recta numErica.
• • • •
H),50
a
0,15
H
H)
0
),51
)
O!)$' $' los N3m$!os R$al$s Se dice Cue un conjunto numErico es totalmente ordenado si en cualCuiera de sus subconjuntos no vac%os se puede determinar Cue existe un elemento O n” Cue es el primer elemento, B a partir de este se puede saber, cu=l es el segundo elemento, luego el tercero B as% sucesivamente.
Obs$!#a cmo se establece una relacin de orden del tipo , N o I con los 2
números
3
B
Sabemos Cue los números situados a la derecha son maBores Cue los situados a la iFCuierda. #dem=s,
2
3
I ),4)4 B
I ),1,
Luego al ubicar en la recta numErica tenemos ),1 ),4)4 3
2
9inalmente, tenemos al generaliFarlo para dos números reales a B b, decimos Cue a N b si b est= m=s a la derecha Cue a en la recta numErica.
Coml$ta los asos a!a $stabl$c$! la !$lac"/' )$ o!)$' 2
5/2
I ),4)4 B
9inalmente,
I),))2, luego al ubicar en la recta numErica tenemos ),))2 N ????. 5/2 2 ?? .
D$sa0o Siguiendo el ejemplo anterior, $sc!"b$ la relacin de orden para los números π
/2
B
2 2
.
@A=gina
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A!o"mac"/' )$ N3m$!os R$al$s Caso 1 #proximacin por de$ecto, en este caso, se ubica el número de ci$ras reCuerido B las dem=s se descartan.
Caso 2 #proximacin por exceso, en este caso, se ubica el número de ci$ras reCuerido B a Este d%gito se aumenta su valor en una unidad.
E5$mlo Obs$!#a cmo se aproxima el número ),45/ al dEcimo, centEsimo B milEsimo por de$ecto B por exceso. <&9-#S (!<&M#L!S A"- (!9!
D6c"mo
C$'t6s" mo
M"l6s"m o
), ),4
),4 ),5
),45 ),4/
π
Coml$ta las aproximaciones del número milEsimo por de$ecto B por exceso. <&9-#S (!<&M#L!S A"- (!9!
I,)4)5+Q, al dEcimo, centEsimo B
D6c"mo
C$'t6s" mo
M"l6s"m o
,)4 ,,
,)4
&mportante' Las seis aproximaciones de cada uno de los números citados en los ejemplos anteriores son correctas, el uso de cualCuiera de ellas va a depender de la precisin Cue se reCuiera. Lo Cue no se debe olvidar es Cue, “a más cifras π
”
I't$!#alos $'
-
!l conjunto de números reales es completamente ordenado B denso. (ada la recta real, se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados previamente' OaR B ObR Cue se denominan extremos del intervalo.
!l conjunto de números reales es completamente ordenado B denso. (ada la recta real, se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados previamente' OaR B ObR Cue se denominan extremos del intervalo.
Notac"/' Los intervalos se representan utiliFando la de7nicin de conjunto.
] a, b[ ; { x ∈ S
/a<
x < b}
T se lee, el intervalo Oa, bR est= $ormado por todos los elementos x Cue pertenecen a tal Cue a N x N b.
-
,
4@A=gina
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,!78ca )$ (' "'t$!#alo Se gra7can utiliFando la recta numErica. a
H
b
H)
0
)
Se lee, el intervalo Oa, bR est= $ormado por todos los números reales desde H) hasta .
CLASES DE INTER9ALOS
NOTACI+N
,RÁFICA
I't$!#alo Ab"$!to !s aCuel en el Cue los extremos no $orman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos $orman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
I = ] a; b[
] a; b[
=
{ x∈S
a
/ a < x < b}
b
-
I't$!#alo C$!!a)o !s aCuel en el Cue los extremos si $orman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos Estos, $orman parte del intervalo.
I't$!#alo S$m"ab"$!to o! la )$!$c:a o s$m"c$!!a)o o! la ";<("$!)a !l extremo superior no $orma parte del intervalo, pero el in$erior si.
S$m"ab"$!to o! la ";<("$!)a o s$m"c$!!a)o o! la )$!$c:a !l extremo in$erior no $orma parte del intervalo, pero el superior si.
O$!ac"o'$s co' "'t$!#alos $'
I = [ a; b]
[ a; b] = { x ∈ S
/a ≤ x
a
}
≤b
-
I = [ a; b[
[ a; b[ = { x ∈ S
]
/ a ≤ x < b}
I = a; b
] a; b ] = { x ∈ S
a
b
-
]
/ a < x ≤ b}
b
a
b
-
-
Obs$!#a las operaciones Cue se pueden realiFar dados los dos intervalos siguientes'
[
I 1 = −2;6
]
I 2 =
[ 1;8]
e
Notac"/'
[
] {
}
I1 = −2;6 = x ∈ S / − 2 ≤ x ≤ 6
5@A=gina b
a
H
aH)
0
)
b
MATEMÁTICA – 4º DE SECUNDARIA [ 1;8] = { x ∈ S
I 2 =
FICHA 2
/1 ≤ x ≤ 8}
R$!$s$'tac"/' &!78ca I 1
=2 =1 > 1 2 ? 4 @ B I 2 I 1
∪
I 2
Siguiendo el ejemplo anterior, hallar ∴
I 1
∪
I 2
I ∪
I UHT /V
U)T 2V I UHT 2V
R$!$s$'tac"/' &!78ca a
b
=2 =1 > 1 2 ? 4 @ B
I 1
∩
I 2
Wallar I 2
I 1
∩
I 2
I ∩
I H
I
R$!$s$'tac"/' &!78ca a
b
=2 =1 > 1 2 ? 4 @ B
ANALIAMOS C/mo s$ !$presenta en la recta numErica los siguientes números> 1
2 5
0,25, H5 B .
• • •
/@A=gina
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•
2
7
5
5
a decimal,
=
),4T $inalmente, ubicamos los números en la recta
H0,/
H
H)
FICHA 2
0,25
0
),4
)
D$sa0o Siguiendo los ejemplos anteriores a!o"ma al dEcimo, centEsimo B milEsimo, por de$ecto B por exceso el número 0,5/145. C$'t6s" <&9-#S D6c"mo mo (!<&M#L!S A"- (!9!
M"l6s"m o
D$sa0o Siendo,
[
] {
}
I1 = −2;6 = x ∈ S / − 2 ≤ x ≤ 6
I 2 =
[ 1;8] = { x ∈ S
/1 ≤ x ≤ 8}
I 1 I 2
Wallar H Xotacin' ∴
I 1 I 2
H I IUHT /V H U)T 2V I UHT )U
R$!$s$'tac"/' &!78ca a
=2
b
=1
>
1
2
?
*!act"camos 1 *bica en la recta numErica real los siguientes números reales' 2
T H)4T 0,5 B determina la relacin ONR. -elacin de orden' ????????????????????
2 #proxima por de$ecto B por exceso'
1@A=gina
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3
I ),1050Q #proximac in Aor de$ecto Aor exceso
(Ecim o
MilEsi mo
?
aG
3
π RT
π
bG
8
π
( R )
( R )
T
cG
4
)G
2 π RT
T
3
4 aG ),+ meses bG ),+ meses cG ,2 meses )G ,2 meses
@ Dres pacientes llegaron con 7ebre a un hospital. (avid 2,2 Y<, -obert 2,0Y B 9rancis 2, 41Y. "rdena de menor a maBor los pacientes según la 7ebre Cue ten%an.
aG bG cG )G
-obert, 9rancis, (avid. -obert, (avid, 9rancis. (avid, 9rancis, -obert. (avid, -obert, 9rancis.
Zuan desea colocar piso de cer=mico a su dormitorio, el mismo Cue tiene $orma cuadrada B mide ,5 m de lado.
B !n una empresa se aplic una encuesta para determinar el nivel de lideraFgo en los trabajadores, obteniEndose los siguientes puntajes' 4,45 G /, 5 G )4, 2 G )1,) G +,21
2@A=gina
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G )+,++ H )0,0 G )5,) G )2,5 G )0,0) G )/,0. *bica los puntajes en el nivel respectivo B luego señala ;cu=l es el nivel predominante de lideraFgo en dicha empresa>
N"#$l$s )$ l")$!a;&o [ajo Medio #lto a b c d
*('ta5$s
U4 G )0U U)0 G )5U U)5 H 0V
[ajo Medio #lto Xinguno
Las medidas de los neum=ticos se regulan por est=ndares internacionales Cue 7jan las tolerancias de dichas medidas Ba sea por de$ectos del $abricante, el uso o las condiciones ambientales. !n la siguiente tabla se muestran las tolerancias para el ancho B el di=metro de los neum=ticos del Dractor #gr%cola' Dabla ) L%mites de tolerancia en las medidas de neum=ticos para Dractor #gr%cola Ancho
- 2 % hasta +4 %
#ncho
Diámetro
- 1 % hasta +1,5 % (i=metro
(ados los l%mites anteriores, calcula el intervalo de tolerancia del ancho B del di=metro para el neum=tico Cue se muestra en la 7gura adjunta, cuBas medidas de $abricacin son' #ncho' 44,00 mm (i=metro' )54,00 mm a b c d
#ncho' U44.+2 H 44.04VT (i=metro' U)/5.++ H )/54.0V #ncho' U44,)4 G 4/0,1VT (i=metro' U)/1,4/ G )/12,2)V #ncho' U44).00 H 441.00VT (i=metro' U)/5.++ H )/54.0V #ncho' U42.51 H 44.40VT (i=metro' U)/5.00 H )/55.50V
!n relacin a los neum=ticos, desde Cue est=n nuevos, la dilatacin media estiramiento del di=metro B el ancho del neum=tico posterior de un tractor agr%cola es de 0,5\ cada 2 meses, esto se debe al trabajo regular Cue realiFa Bo las condiciones ambientales. ;!stima cu=nto tiempo de vida útil aproximadamente tiene dicho neum=tico antes de exceder los l%mites de tolerancia establecidos en el problema anterior para el ancho> a años b años B medio c años B 2 meses ) 9uente' Domado de -evista Agro Técnica, MarFo, 0)0, 8ersin digital disponible en http':::.magrama.gob.esesministerioserviciosin$ormacionneumaticos?tcm1H0)5/.pd$
+@A=gina
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d años
1>
*n parCue hexagonal est= con$ormado por seis =reas en $orma de tri=ngulo eCuil=tero, tal como se muestra en la 7gura siguiente. Las tres =reas sombreadas con l%neas ser=n para juegos B las otras tres ser=n jardines, sabiendo Cue el lado de cada tri=ngulo eCuil=tero es de 2 m. ;!n cu=l de los siguientes intervalos se encuentra el =rea total de los jardines aproximadamente>
a. b. c. d.
U/,5 G 2,5V U10,/ G 14,/V U20,) G 2/,)V U)00, G )05,V
11
La capacidad de almacenamiento de los discos duros de las computadoras se mide en 6iba bites 6b. Se sabe Cue una computadora tiene dos discos duros de 2/, 6b B 4/0,4 6b aproximadamente. !n cu=l de los intervalos siguientes se encuentra la capacidad total de almacenamiento Cue tiene dicha computadora si se sabe Cue el espacio total de ambos discos tiene un error de ]0,)1 6b> a. b. c. d.
U)1,+0 U2/,)/ U4/0, U14/,5/
G )14,4V G 2/,50V G 4/0,51V G 14/,+0V
12
Se sabe Cue la gravedad en la super7cie de Marte es ,1 ms aproximadamente, adem=s, el peso OpR de una persona se calcula con la $rmula p Img m' masa B g' gravedad, si una persona tiene una masa de 1,5 3g. ;!n CuE intervalo se encuentra el peso de dicha persona con la gravedad de Marte> a b c d
U). G ).V U+).1 G +).2V U)0),1 G )0).2V U1/.4 G 1/.5V
1?
!n la $=brica de l=cteos O!l 6ranjeroR, est=n buscando un envase cil%ndrico para la nueva presentacin de Leche chocolatada. Aara ello tienen tres propuestas de envases de las cu=les se muestra a continuacin las respectivas medidas de sus radios B alturas.
*!o($sta s
Ra)"o
Alt(!a
)0 @ A = g i n a
MATEMÁTICA – 4º DE SECUNDARIA # [ <
4, cm ,5 cm ,1 cm
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5 cm / cm + cm
Se sabe Cue el envase buscado debe contener aproximadamente 5 ml. ; ) ml I ) cm a !nvase #. b !nvase [. c !nvase <.
14
!l tiempo promedio de espera para llamadas a un operador desde un telE$ono celular es de 50 segundos con un intervalo de ] )2 segundos. Se hicieron tres llamadas al operador B los tiempos de espera $ueron de' )era llamada' ) min B 5 seg, da llamada' 5 seg ra llamada' 10 segundos !n relacin los tiempos de espera, es correcto a7rmar lo siguiente' a Los tres tiempos de espera est=n dentro del intervalo. b Slo dos tiempos de espera est=n dentro del intervalo. c *n tiempo de espera est= dentro del intervalo. d Xingún tiempo de espera est= dentro del intervalo.
1@
Se sabe Cue la distancia media de Marte al sol es ),5 *#. ; a J *# b 1,5 *# c ) J *# d J *#
)) @ A = g i n a
