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DECORANDO Y CONSTRUYENDO CON SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Para una fiesta infantil Susana realiza diferentes formas de envase para llenar los dulces, todos con el mismo laro ! el mismo contorno de la "ase# $e tal manera %ue uno de ellos de"e ser especial, por%ue entra m&s dulces ! los l os otros no#
1# 'Cu&l 'Cu&l es el nom"re nom"re de las formas formas de los los tres o"(etos) o"(etos) _______________________ ___________________________________ ________________________ _________________________ __________________ _____ *# 'Cu&l 'Cu&l de los tres tres o"(etos o"(etos tendr& tendr& menor menor capacida capacidad d para los los dulces) dulces) ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ ________________ ____ 3# 'Cu&l 'Cu&l de los tres o"(etos o"(etos tendr& tendr& ma!or ma!or capacidad capacidad para para los dulces dulces) ) ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ ________________ ____ +# Si la "ase circula circularr del primer ! seund seundo o envase envase tiene el mismo mismo tamao tamao ! la misma altura '-u. relaci/n tiene sus volmenes) ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ # 2n la tercera tercera ca(a, si tiene tiene dos caras caras cuadrada cuadradas s de cm de lado lado ! cuatro cuatro caras rectanulares de cm 4 1*cm# 'Cu&l es su volumen) ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____ ________________________ _____________________________________ _________________________ ________________________ _________________ _____
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APRENDEMOS: 5a situaci/n planteada involucra la utilidad de alunos s/lidos eom.tricos, por lo %ue ser& necesario conocerlos detenidamente, clasificaci/n, ! propiedades para una me(or comprensi/n de la situaci/n#
PRISMA 6n prisma es un poliedro %ue tiene dos caras conruentes ! paralelas entre s7 llamadas "ases ! las dem&s caras son paraleloramos ! se llaman caras laterales#
CLASIFICACIÓN: Por el nmero de lados de la "ase se clasifican en prisma trianular, prisma cuadranular, prisma pentaonal, as7 sucesivamente8 por e(emplo tenemos9
Sen sus caras laterales se clasifican en9
PRISMA RECTO: Son a%uellos cu!as caras laterales son rect&nulos o cuadrados, adem&s de ser perpendiculares con las "ases#
A su vez los prismas rectos se clasifican en reulares e irreulares, los primeros ser&n cuando las "ases son pol7onos reulares, ! ser&n irreulares cuando no lo son#
PRISMAS OBLICUOS: Son a%uellos cu!as caras laterales son paraleloramos %ue no son ni cuadrados ni rect&nulos, ! adem&s no son perpendiculares a las "ases#
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5os paralelep7pedos pueden ser rectos u o"licuos, estos son a%uellos prismas de caras las cuales son paralelos dos a dos, en el %ue todas las caras son paraleloramos#
$onde la fiura II es un paralelep7pedo llamado :;<:2$;:, llamado as7 por%ue cada cara forma un &nulo diedro de =0>#
¿Tendrán algna !r"!#edad l"$ !r#$%a$& A parte de cumplir con la f/rmula de 2uler, estos tienen las siuientes propiedades# 2n un prisma se cumple %ue el nmero de v.rtices es el do"le del nmero de caras laterales ! el nmero de aristas es el triple del nmero de caras laterales, es decir9 ?mero de caras n $onde n
∈ N
, n
?mero de v.rtices *n
?mero de aristas 3n
≥ 3 8 es ma!or o iual %ue tres por%ue es la m7nima cantidad de
caras laterales %ue puede tener un prisma, !a %ue la "ase es un pol7ono de iual nmero de lados %ue de caras laterales tiene el prisma#
¿'( n#dade$ $er)#rán !ara %ed#r área$ * )"l%en& 5as unidades %ue usaremos va a depender del tamao del o"(eto ! de lo %ue se %uiera calcular, si @a"lamos de o"(etos mu! pe%ueos como el panal de las a"e(as se puede usar el mil7metro mmB, si son o"(etos medianos tales como un cu"o de @ielo usaremos el cent7metro, si tendr7amos %ue medir una piscina usaremos el metro mB, ! si nos referimos a alo m&s rande como por e(emplo nuestro planeta tendremos %ue usar el il/metro8 aun%ue sa"emos %ue la unidad principal es el metro, la cual todo lo podemos representar en esta unidad de medida# Si nos pidieran @allar las &reas, las unidades de"en ser cuadr&ticas, es decir mm *, cm*, m*, m*8 ! finalmente al pedirnos volumen como a@ora se refieren a 3 dimensiones las unidades ser&n c"icas, por e(emplo mm 3, cm3, m3, m3#
+REA Y ,OLUMEN DE PRISMAS Y CUERPOS DE RE,OLUCIÓN CON UNIDADES CON,ENCIONALES Y DESCOMPONIENDO A FORMAS CONOCIDAS¿C.%" $e !"drá /al/lar el área * )"l%en de n !r#$%a& 2n la fiura tenemos una ca(a %ue tiene la forma de un prisma pentaonal, la cual se encuentra antes de desarrollar el s/lido, %uedando de esa manera, como se o"serva las "ases son pent&onos, por lo %ue el prisma tiene cinco caras rectanulares iuales#
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;ecordando so"re el tema de &reas, sa"emos %ue el &rea de un rect&nulo est& dado por el producto entre la "ase ! la altura, en este caso se tendr7a %ue el &rea de cada rect&nulo estar7a dada por L× h , pero como son cinco rect&nulos iuales, el &rea lateral ser& iual a
5
( L. h ) , acomodando en forma conveniente ser7a
( 5 L) h , ! o"servamos %ue 5 es iual al per7metro de la "ase, entonces9 A L= P B .h
D si aumentamos las dos "ases del prisma, se tendr7a un &rea total de la siuiente forma9 A T = A L + 2 A B D adem&s el volumen del prisma est& dado por :
V A B . h =
CUERPO DE RE,OLUCIÓN: Se denomina cuerpo de revoluci/n a a%uellos %ue se oriinan al irar una fiura plana alrededor de un e(e# 5as caras de un cuerpo de revoluci/n son curvas# Alunos de estos son el cilindro, el cono ! la esfera#
¿C.%" $e generan e$0"$ /er!"$ de re)"l/#.n& 2l cilindro tiene dos "ases paralelas en forma de c7rculo ! su cara lateral es curva8 se enera al irar un rect&nulo alrededor de un e(e vertical#
2l cono tiene una sola "ase en forma circular ! su cara lateral tam"i.n es curva ! termina en un punto llamado v.rtice# 2l cono se enera irando un tri&nulo rect&nulo alrededor de un e(e por cual%uiera de los catetos, la eneratriz es la @ipotenusa del tri&nulo rect&nulo %ue va desde el v.rtice @asta cual%uier punto de la "ase circular#
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5a esfera no tiene "ase aluna, ! todos los puntos %ue pertenecen a la esfera se encuentran a una misma distancia del centro# 5a esfera se enera cuando se ira una semicircunferencia alrededor de un e(e por el di&metro#
¿C.%" !"dre%"$ /al/lar el área * )"l%en de n /#l#ndr"& Para formar el cilindro tenemos un rect&nulo de lonitudes 5 ! @, o"servamos %ue la lonitud del rect&nulo 5 envuelve al contorno del c7rculo, esto %uiere decir al per7metro de la circunferencia de radio Er, entonces L 2 πr , elrect&nulo es la parte lateral del =
cilindro por lo %ue el &rea lateral del cilindro es iual al &rea del rect&nulo, el cual se calcula multiplicando la "ase por la altura, es decir, A L= L . h , reemplazando el valor o e%uivalencia de 5, tendremos9 A L=2 πrh
D lueo para calcular el &rea total, de"emos arear las dos "ases las cuales son c7rculos de radio Er al &rea lateral, por lo %ue %uedar7a del siuiente modo9 A T = A L + 2 A B ,
reemplazando tendremos9 A T =2 πrh + 2 π r
2
=2 πr ( h + r )
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D el volumen est& dado por9
V = A B . h= π r h
2
¿C.%" !"dre%"$ /al/lar el área * )"l%en de n /"n"& 5o %ue acta como la parte lateral del cono es en realidad un sector circular de radio E# 2l &rea de un sector circular es iual a la mitad del producto de la lonitud del arco por el radio, es decir9 LR , por lo %ue el &rea lateral estar& dado por 2 A L
=
L . g 2
, pero esa lonitud de arco envuelve a la
"ase circular por el per7metro, ! sa"emos %ue el per7metro de la circunferencia est& dado por L=2 πr , por lo %ue reemplazando se tendr7a finalmente9 A L=
L . g 2
=
( 2 πr ) g 2
= πrg
2l &rea total se o"tiene al sumar el &rea lateral ! el de la "ase la cual es un c7rculo, por lo %ue estar& dada por9 A T = A L + A B A T = πrg+ π r
2
A T = πr ( g + r )
D el volumen est& dado por9 V =
A B . h 3
2
=
πr h 3
¿C.%" !"dre%"$ /al/lar la $!er1#/#e * el )"l%en de na e$1era& Para poder calcular la superficie ! volumen de la esfera se necesitar& la a!uda de la matem&tica superior, estas son9
5a superficie est& dada por : D su volumen est& dado por :
S E = 4 π r V =
4 3
2
πr
3
¿Cán0" !"drán )ar#ar el área * )"l%en de !r#$%a$ * /er!"$ de re)"l/#.n al /a%2#ar algna l"ng#0d& Página | 6
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Al aumentar o disminuir aluna lonitud !a sea de un prisma o cuerpo de revoluci/n, las &reas !Go volumen del s/lido cam"iar&n# 2n un prisma si la "ase var7a En veces en la medida de sus lados, el &rea de la "ase ser& n* veces el &rea oriinal, el &rea lateral ser& n veces el &rea lateral oriinal ! adem&s el volumen ser& n* veces el volumen del prisma oriinal# Pero si el %ue var7a es la altura en Em veces el prisma oriinal el &rea lateral ! el volumen tam"i.n variar&n Em veces el prisma oriinal# Por lo %ue si var7an los dos a la vez es decir la el lado de la "ase en En veces ! la altura en Em entonces el &rea lateral ser& En*#m veces el oriinal ! el volumen tam"i.n cam"iar& a En*#m veces el oriinal# $e iual manera sucede con el cilindro, adem&s de eso, var7a de iual manera %ue el prisma cuando el radio ! la altura var7an#
ANALI3AMOS: PREGUNTA 4: 6n fa"ricante de fluorescente se olvid/ cuanto de as de ar/n de"e poner dentro de un fluorescente esf.rico ! s/lo sa"e %ue tiene 2 144 π cm de superficie de vidrio# '-u. de"er7a @acer)
RESOLUCIÓN: Para poder calcular el volumen de as %ue de"e introducir en el foco, de"e conocer el radio# Como s/lo sa"emos la superficie de vidrio utilizado, eso ser& suficiente para poder @allar el radio ! lueo el volumen de as de ar/n# 2
Como la superficie de vidrio del fluorescente es ______ cm = S E= 4 π r
2
, desarrollando la
ecuaci/n se o"tiene %ue el radio es ______cm, esto nos servir& para utilizarlo en la
f/rmula de volumen
¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 =¿ cm ¿ 4 4 3 V = π r = π ¿ 3 3
de as de ar/n a utilizar
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PREGUNTA 5: 2nri%ue compr/ para sus @i(os una piscina port&til en forma de prisma, ! al crecer sus @i(os decide comprar una piscina %ue sea * veces m&s rande los lados de la "ase ! 1, veces m&s rande la altura con respecto al anterior# Si con la primera piscina %ue compr/ 2nri%ue esta"a paando por el aua consumida, nuevos soles# 'Cu&nto paar& por esta nueva piscina)
RESOLUCIÓN: Al ser una piscina mu! parecida al anterior, tendremos %ue sa"er %ue el pao es por el consumo de aua en metros c"icos si la "ase es * veces m&s ! la altura 1, veces m&s de la %ue compr/ por primera vez, entonces el volumen aumentar& En *#m veces el oriinal, donde En es la variaci/n con respecto a los lados esto es En * ! Em la variaci/n con respecto a la altura, esto es Em 1,# 2ntonces el volumen de la nueva piscina ser& E* *#1, veces el anterior, esto es _______ veces el volumen anterior por lo %ue el costo %ue tendr& %ue paar tam"i.n ser& veces, %uiere decir %ue por la nueva piscina paar& _____ veces _____ nuevos soles, %ue ser7a iual a _____ nuevos soles#
PREGUNTA 6: 2n el siuiente r&fico se o"serva una (arra ! un vaso con la misma altura ! la a"ertura de cada recipiente de las mismas medidas, Juan se encuentra en una (uuer7a, en el %ue le dan una (arra ! un vaso para %ue el mismo se sirva, ! se dispone compartir con dos amios, pero no sa"e si le alcanzar& para el seundo amio, ! sa"e %ue ser7a in(usto servirle a uno de ellos menos cantidad %ue a los dem&s 'Podr& invitar a dos de sus amios vasos llenos iual %ue a .l)
RESOLUCIÓN: Se trata de sa"er si el (uo %ue se encuentra en la (arra ser& suficiente para 3 personas ! %ue todos tenan la misma cantidad# Se o"serva %ue el vaso ! la (arra tienen el mismo tamao en la a"ertura ! la altura#, la (arra tiene forma de _________________ ! el vaso tiene forma de _______________ invertido# C/mo se desea sa"er la cantidad de (uo, se est& refiriendo a volumen# Sen las f/rmulas de volumen, el cilindro ! el cono tienen una cierta relaci/n, esta es de ___ a ___# Por lo %ue podemos decir %ue en la (arra contiene e4actamente 3 vasos llenos#
PRACTICAMOS 1# 'Cu&l de los siuientes s/lidos eom.tricos no se pueden realizar con papel) aB Prisma @e4aonal "B Cono cB Cilindro
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dB 2sfera *# Apro4imadamente '-u. volumen de aua e4iste en nuestro planeta sa"iendo %ue tiene un radio medio de 3K0m), se dice %ue el K0L de nuestro planeta es aua# aB K 00 000 000 m3 "B KK 00 000 000 m3 cB 3*3 00 000 000 m3 dB +*3 00 000 000 m3 3# 2n la fiura se o"serva una pelota de pla!a, de +0cm de di&metro '-u. &rea tendr& cada uno de los seis paos, donde cada pao es cada pedazo de material %ue sirve para armar la pelota)
aB "B cB dB
1cm* *cm* 3cm* +cm*
+# Se tiene el siuiente envase de dulces de un prorama infantil de altura 0cm, donde la "ase tiene un di&metro de 30cm# 'Cu&nto es el &rea de papel de realo %ue se utiliz/ para envolverlo)
aB "B cB dB
330cm* +*10cm* 3*0cm* *=10cm*
# Se desea pintar la parte e4terior del siuiente cofre, cu!as aristas son iuales a cm# '-u. &rea en cm* tendr& %ue pintar)
aB "B cB dB
1Kcm* *1cm* 310cm* +10cm*
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# Por el intenso calor, una familia opt/ por tener aire acondicionado# Su casa es de m de altura ! el terreno de m 4 1m# 'Cu&nto de aire llenar& la casa)
aB "B cB dB
10m3 30m3 +0m3 K*0m3
K# Si las "ases de una piscina aumentan en un +0L# '2n cu&nto aumentar& la capacidad de aua) _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ # Si el radio de un pozo cil7ndrico de aua aumentara en un *0L, o si aumentara en *0L su altura# '5a capacidad del pozo seuir7a iual) _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ =# Al (untar pedazos de cartulina en forma de rect&nulos de iuales dimensiones por el lado m&s laro de 1*cm, se o"tiene un prisma# Si el &rea de cada "ase del prisma es *=,cm*# 'Cu&l es el &rea lateral del prisma apro4imadamente) aB 00cm* "B 0cm* cB K*0cm* dB +0cm* 10#Se %uiere @acer una ma%ueta de una ilesia cu!a "ase tiene *0 lados con palitos de c@upete# 'Cu&ntas uniones @a"r& ! cuantos palitos de c@upete se usar&n en total) aB *0 uniones ! 0 palitos de c@upete "B +0 uniones ! 0 palitos de c@upete cB 0 uniones ! +0 palitos de c@upete dB 0 uniones ! 0 palitos de c@upete 11# Se tiene un "al, donde se %uiere pintar todo el e4terior de un solo color, sa"iendo %ue el anc@o ! la altura es de 0cm ! el laro es de 1m 'Cu&nto es la superficie a pintar a e4cepci/n de la "ase)
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aB "B cB dB
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1**+cm* 13=*cm* *1+cm* 3+0=*cm*
1*# Si con el mismo material de la vela mostrada se %uisiera @acer una vela de "ase cuadrada con la misma altura# '2n cuanto variar7a el per7metro de la "ase)
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
13#Marca las fiuras %ue no tienen par aluno#
1+# 6n fa"ricante de fluorescente se olvid/ cuanto de as de ar/n de"e poner dentro de 2 un fluorescente esf.rico ! s/lo sa"e %ue tiene 256 π cm de superficie de vidrio# '-u. cantidad de as de"e contener el foco)
aB 1*cm3 "B *1++cm3
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cB **cm3 dB **Kcm3 1#6n fluorescente tiene 1m de laro ! contiene **cm 3 de as dentro de el# 'Cu&nto es la superficie del vidrio utilizado) aB 1+cm* "B 1+13cm* cB 11cm* d) =+*cm*
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