Razones Trigonometricas

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Elmo Jaime SALAS YAÑEZ

 Se denomina razón trigonométrica a la relación que se establece entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos.

En el

ABC:

c

Sen =

Cos

Cos =

C.O HIP

C.A HIP C.O Tg= C.A

Tan ó Tg

Los valores de las razones trigonométricas (R.T) de los ángulos agudos no dependen de la longitud de los lados que la forman, sino de la medida del ángulo definido por ellos. Propuesto por el filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos, el cual establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Del gráfico:

Sen

Ctg =

Cot ó Ctg

C.A C.O

HIP C.A HIP Csc = C.O

Sec =

Sec Csc

Son recíprocos entre si Seno y Cosecante

Senθ Cscθ = 1

Coseno y Secante

Cosθ Secθ = 1

Tangente y Cotangente

Tgθ Ctgθ = 1

a b

Dónde:   

: Cateto Opuesto : Cateto Adyacente : Hipotenusa :

Seno Secante Tangente

Coseno Cosecante Cotangente

En general: Sen = Cos Sec = Csc Tg = Ctg

El valor de una razón trigonométrica solo depende de la medida del ángulo de referencia.

m

10 37/2 °

15°

3

6   2 54°

4

5

36°

53/2°

2

5   1 En el triángulo sombreado prolongaremos el cateto , agregándole una longitud igual a la hipotenusa   obteniéndose y obtendremos un triángulo isósceles en el cual se puede identificar el ángulo α , en base al mayor triángulo rectángulo podemos determinar las funciones del nuevo ángulo α .

Cot

α

2 α

2

 Cscα  Cotα

α

2

137

4

11

17

25

3

10 76°

1

4

67

°

5

°

12

61

69°

50

°

44

74° 21°

5 40

°

117 11 7

16°

37°

13

4

7

7

23

c

53°

55°

35°

125 12 5

6

24

34 45

°

2

149

14°

2

b

5

70°

20°

a

b

 Cscα  Cotα α

1

10  2 5

n

Tan Tan

1

6  2

a m Tan Tan θ   b n b

a

75°

4

60

°

2

1

1 45

°

625 62 5

59°

58°

336 33 6

3 32°

31°

527 52 7

5

30

°

1

3

2

2- 2 4

72°

18°

10  2 5

5   1

5 2 8°

7

82°

1

45°/2

2 2

3125

85

°

237 23 7 5

°

3116

3) Calcula : “Tan” del gráfico :

1) Calcula : “Tan” 4 7  4

 

9



H

4 4

7

90- 90-

9

4 En la figura:

90-

Tan =

  



H 9

..... (I)

Tan =

4 H

.... (II)

(I) x (II):

Tan = 4/7

2) En un triángulo rectángulo ABC (  A =90 ), reduce:

Tan2 =

ˆ

 E = (a + b) 2 –  2bc  2bc 1 SenB

1  SenB

H 4  x 9 H  Tan =

2 3

4) Si se sabe que: Sen(x + Senx) = Cos(y + Cosy)

E = (a + b) 2 –  2bc  2bc E = (a + b) 2 –  2bc  2bc

ba ab

 A que es igual: M=

b  a  a  b  a  b  a  b  2

E = (a + b) 2 – 2bc 2bc

a  b  a2  b2

Por raz. complementarias:  x + Senx + y + Cosy = 90 Entonces en (M): M=

Pitágoras: a2 –  b  b2 = c2 E = (a +

E = a2 + 2ab + b 2 – 2ab 2ab –  2b  2b2

Cos(Senx  Cosy) Cos(Senx  Cosy)  M

(a  b) b) 2 –  2bc  2bc c

Sen(x  y) Cos(Senx  Cosy)

=1

5) Si:

4Tan = 8 Calcula: E = Sec + Csc

E = a2 –  b  b2 

E = c2

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

 x

En el dato:

3

Del gráfico calcular “x”. Si:



2

22Tan = 23

 Tan

3 2 B

b) 2

= 3/2

4x + 2

c) 3 d) 4

 x = 13

13 13  2 3 13  E = 5 6

°

6) En un ABC (B=90 ) se traza la bisectriz interior  AE de modo que BE = 3 y CE = 4, halla “Cos2”

C 2

a) 10

b) 12

d) 18

e) 20

4

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

E

Del gráfico hallar:

 

B 3/4

°

m 2m 

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se





°

Si:

cumple que: 2tgA = cscC Calcular: E  2senA  3tgC

Ctgα 2

a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 3 e) 15

°

c) 14

E  3 (Tgθ  Tgβ )

3

 Cos2 =

C

7x + 1

 APLICA  APLI CACI CIÓ ÓN Si: Secx  7 Calcular: E  Tg2 x  42 Senx

E=

3

 A

e) 5

En (E):

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N

TgB 

a) 1

Pitágoras: x2 = 32 + 22

 A

°

tgα tgα

tg αsec60º tg α

45 º  sec 2 45º

Calcular:

E  6sen sen α  sec sec 2 α a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3 a) 0 d) 2

b) 1 e) -2

c) -1

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

 APLI  AP LICA CACI CIÓN ÓN

°

Calcular: sen sen 1º  sen sen 2º  sen sen 3º    sen sen 89º E= cos 1º  cos 2º  cos 3º    cos 89º a) 1

b) 2

d) 3

e) 3 /3

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N

c) 3

°

Si: CosA= 3x  2   3x  1

1 .  x  2

SenB=  x

Determinar el valor de TgA, si A y B son complementarios. a) 5

b) 2 6

d) 6 /8

e) 3/4

c) 2 5

°

Reducir: E = (3sen40  + 4cos50 ) csc40 º

a) 1 d) 4

º

b) 2 e) 7

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N º

c) 3

°

Si: Tg(2y  –  3  3 )Sen(93  - 2y) = Cos(4x + y). º

º

Calcular: E=

Sec 4x  C sc 3(y  1º ) Sen 6x

°

Calcular: sec sec 1º  sec sec 2º  sec sec 3º    sec sec 89º E= csc 1º  csc 2º  csc 3º    csc 89º a) 1 d) 3

b) -1 e) 2 /2

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N

c) 2

a) 2 d) 1

b) 2 3 e) 0

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

Si: Sen(3x + 10 ) = Cos(6x –  10  10 ). º

Tg

E=  m 

Calcular:  x  y     x  y    .Ctg     2m     3m  

E = Tg   a) 3 /3

b) 3

d) 1

e) 2 3

 APLI  AP LICA CACI CIÓ ÓN

c) 1/2

Si: Sen(7x –  20  20 ) = Cos (3x + 10 ) Tg(2y –  30  30 ).Ctg (30  - y) = 1 Calcular: E = 2Sen (x + y) + Sec3y º

º

º

b) 2 e) 5

a) 1/2 d) 9/4

c) 3

9x  Sec (3x  7º ) 2

b) 1 e) 3/2

 APLIC  AP LICAC ACIÓ IÓN N

c) 1/12

°

Calcular: E=

°

º

º

Calcular:

°

 m 

c) 6

°

 x  y  Se sabe que: Tg     = Ctg    

a) 1 d) 4

y

Tg x Tg 2x Tg 3x  Tg 8x Sen 3x  Cos 6x

Siendo: Tg(3x –  10  10 ) = Cos(100  - 3x).Csc7x º

a) 1 d) 3 /2

b) 2 e) 3 /3

º

c) 1/2