INDICE
Defnición de razones trigonométricas-----------trigonométricas ------------------------------------------------------------6 --6 Razones trigonométricas de ángulos agudos notables -----------------7 Propiedades de las razones trigonométricas------------------------------8 •
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Razones trigonométricas reciprocas Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Identidades trigonométricas----------------------------------------9 •
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Identidades undamentales Suma dierencia de ángulos !ngulo doble "ransorm "ransormaciones aciones de sumas sumas en productos productos "ransorm "ransormaciones aciones de productos productos en en sumas
Relaciones de triángulos oblicuángulos ----------------------------------------------------------## ---------## • • •
"eo "eore rema ma d el s eno en o "eorema "eorema de cosenos "eorema "eorema de tangentes tangentes
$unciones trigonométricas in%ersas--------------------------in%ersas---------------------------------------------------#& -#& • •
$unción arcoseno $unción arcocoseno 16
• • • •
$unción arcotangente $unción arcocotangente $unción arcosecante $unción arcocosecante
D'DI()"*RI) +uiero dedicarle este traba,o ) Dios ue me .a dado la %ida ortaleza para terminar este proecto de in%estigación/ ) mis 0adres por estar a.1 cuando más los necesité2 en especial a mi madre por su auda constante cooperación
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E)Fo de la Di%ersifcación 0roducti%a G
R)3*4'S "RI5*4*'"RI()S ' I4'RS)S (8RS* (alculo I
D*('4"' :ic;
S''S"R' 0rimero
):84* +8IS0' =8)R)()::*
imo
=8)4()?* @ 0'RA BC#
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Introducción
'n la construcción de carreteras/ puentes/ canales edifcaciones/ obser%amos ue los topógraos manipulan instrumentos como el teodolito/ el metro las reglas graduadas con el ob,eto de medir ángulos distancias generalmente en triángulos/ a ue la triangulación es mu empleada para traba,os; 'n el presente cap1tulo analizaremos los triángulos rectángulos; :as propiedades ue se e>ponen tendrán su utilidad en e,ercicios en ángulos %erticales .orizontales; (omo una de las aplicaciones/ podemos indicar el cálculo del diámetro de la tierra la distancia del sol a la tierra; )demás se sabe ue/ en sus inicios/ la trigonometr1a se basa en la astronom1a ue en la antigHedad desarrolla =iparco ue/ posteriormente/ 5alileo 5alilei utiliza para analizar el desplazamiento de los planetas; )l calcular la media del diámetro de la tierra desde un satélite se obser%a ue la bisectriz del ángulo as1 detger6minada seFala al centro de la tierra; 'l uso de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo generado nos permite obtener auella distancia
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*b,eti%os
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Introducción al concepto de razón trigonométrica y sus definiciones
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Cálculo de razones trigonométricas de ángulos agudos
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Aproximación a las relaciones entre razones trigonométricas
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Introducción a la resolución de triángulos rectángulos
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D'$I4I(I*4 D' R)3*4'S "RI5*4*'"RI()S Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectangulo asociado a sus ángulos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se arte de un triángulo rectángulo arbitrario !ue contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo !ue se usará en los sucesivo será:
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La "iotenusa #h$ es el lado ouesto al ángulo recto, o lado de ma%or longitud del triángulo rectángulo. El cateto ouesto #a$ es el lado ouesto al ángulo !ue !ueremos determinar. El cateto ad%acente #b$ es el lado ad%acente al ángulo del !ue !ueremos determinar. &odos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, or lo !ue la suma de sus ángulos internos es igual a ' radianes #o ()*+$. En consecuencia, en cual!uier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre * % '- radianes. Las definiciones !ue se dan a continuacin definen estrictamente las funciones trigonométricas ara angulos de este rango
($ El seno de un ángulo es la relacin entre la longitud del cateto ouesto % la longitud de la "iotenusa:
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El valor de esta relacin no deende del tama/o del triángulo rectángulo !ue eli0amos, siemre !ue tenga el mismo ángulo α, en cu%o caso se trata de triángulos seme0antes.
-$ El coseno de un ángulo la relacin entre la longitud del cateto ad%acente % la longitud de la "iotenusa:
1$ La tangente de un es la relacin entre la longitud del cateto ouesto % la del ad%acente:
2$ La cotangente de un ángulo es la relacin entre la longitud del cateto ad%acente % la del ouesto:
3$ La secante de un ángulo es la relacin entre la longitud de la "iotenusa % la longitud del cateto ad%acente:
4$ La cosecante de un ángulo es la relacin entre la longitud de la "iotenusa % la longitud del cateto ouesto:
Razones trigonométricas de angulos agudos notables
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Propiedades de las razones trigonométricas a Razones trigonométricas reciprocas Las razones seno, coseno % tangente son las razones trigonométricas fundamentales5 sin embargo, también se definen los valores rec6rocos de ellas como las razones trigonométricas rec6rocas. Estas son:
Cosecante de α →
Secante de α →
Cotangente de α →
b Razones trigonométricas de ángulos complementarios Se dice ue dos ángulos son complementarios cuando su suma es 9CJ; Dados ) K tales ue )LKM9CJ; 's decir/ KM9CJ - ) se cumple sen) M cos K/ es decir/ sen ) M cosN9CJ-) cos) M sen K / es decir/ cos)MsenN9CJ-) de las dos igualdades anteriores se deduce ue tg) M cotgK
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Identidades trigonométricas a Identidades undamentales cosO P L senO P M # secO P M # L tgO P cosecO P M # L cotgO P
b Suma dierencia de ángulos
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c !ngulo doble
d !ngulo mitad
e "ransormaciones de sumas en productos
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"ransormaciones de productos en sumas
Relaciones de triángulos oblicuángulos 8n problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en .allar tres de sus elementos/ lados o ángulos/ cuando se conocen los otros tres Nuno de los cuales .a de ser un lado; NQ *blicuángulo se contrapone a rectángulo/ en sentido estricto; 0ero cuando se .abla de triángulos oblicuángulos no se pretende e>cluir al triángulo rectángulo en el estudio/ ue ueda asumido como caso particular; 4o obstante cuando el triángulo es rectángulo/ porue se dice e>presamente ue lo es/ el problema se reduce/ tiene un tratamiento particular no se aplican las técnicas generales de resolución ue %amos a %er seguidamente ;
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Teoremas trigonométricos
1.
"eorema del seno
'n un triángulo cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto;
B; "eorema de cosenos 'n un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo ue orman;
&; "eorema de tangentes
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$84(I*4'S "RI5*4*"RI()S I4'RS)S Son unciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados/ aparecen con recuencia en la solución de ecuaciones dierenciales; Sin embargo/ ninguna de las 6 unciones trigonométricas básicas tiene in%ersa debido a ue son unciones periódicas por lo tanto no son inecti%as/ pero restringiendo su dominio se puede .allar la in%ersa;
a $unción arcoseno 'l arcoseno es la unción in%ersa o reciproca del seno; M arcsen > es el arco cuo seno es el nmero >; (omo el arcoseno el seno son unciones in%ersas/ su composición es la unción identidad; arcsen Nsen > M >; 'l arcoseno también se puede e>presar como sen# o sin-# en las calculadoras; N> M arcsen > Dominio T-#/ #U
Recorrido (ontinua N-#/ # Decreciente N-#/ #
b $unción arcocoseno 16
> M sen
'l arcocoseno es la unción in%ersa o reciproca del coseno; M arccos > cos
>M
es el arco cuo coseno es el nmero >; (omo el arcocoseno el coseno son unciones in%ersas/ su composición es la unción identidad; arccos Ncos > M >; 'l arcocoseno también se puede e>presar como cos-#; N> M arccosen > Dominio T-#/ #U Recorrido (ontinua N-#/ # Decreciente N-#/ #
c $unción arcotangente 'l arcotangente es la unción in%ersa o reciproca de la tangente; M arctg > > M tg es el arco cua tangente es el nmero >; (omo el arcotangente la tangente son unciones in%ersas/ su composición es la unción identidad; arctg Ntg > M >; 'l arcotangente también se puede e>presar como tg-# o tan# en las calculadoras; N> M arctg >
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Dominio
Recorrido (ontinua en (reciente en
d $unción arcocotangente
's la unción in%ersa de la cotangente de un ángulo dentro inter%alo ; Se simboliza o su signifcado geométrico es el ángulo cua cotangente es ala;
de un
?/ teniendo en cuenta la relación entre la cotangente la tangente/ podemos establecer ue
0or tanto/ por la propia defnición de la unción/ su %alor práctico más inmediato es el de despe,ar la longitud de un ángulo cuando conocemos la cotangente de éste;
e $unción arcosecante 's la unción in%ersa de la secante de un ángulo; Se simboliza signifcado geométrico es el ángulo cua secante es ala;
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su
De esta defnición/ por tanto/ podemos deducir e>presiones eui%alentes
'l dominio de defnición de la unción arcosecante está comprendido entre
presenta una as1ntota .orizontal en e>presión
o entre
; :a unción
/ tal como se deduce de la
$unción arcocosecante 's la unción in%ersa de la cosecante de un ángulo; Se simboliza ó su signifcado geométrico es el ángulo cua cosecante es ala;
De esta defnición/ por tanto/ podemos deducir e>presiones eui%alentes
'l dominio de defnición de la unción arcocosecante está comprendido entre o entre ;
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