02 Razones Trigonometricas de Angulos Agudos Teoria-problemas

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS DEFINICIÓN

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS: Al comparar

las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios.

Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.

RAZON

CO-RAZON

Seno Tangente Secante

Coseno Cotangente Cosecante

Sen 25° = Cos 65° Tan 35° = Cot 55° Sec 10° = Csc 80° RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES

a y c = catetos; b = hipotenusa → b2 = a2 + c2  y ̂ = ∡s agudos;   = ∡ recto →   + ̂ = 90° 

Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo.

 tenemos: Para  a = cateto opuesto (CO) c = cateto adyacente (CA) b = hipotenusa (H)   =     CosA = =     TanA = =  

SenA =

  =     SecA = =     CotA = =  

CscA =

Sen “A CATETO MAYOR SE OPONE MAYOR ANGULO AGUDO”

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS RAZONES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS: AI comparar las seis razones

trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad.

Cos Tan

30°

37°

45°

53°

60°

  √   √  

           

√   √  

           

√    

Cot

√ 

Sec

√  

Csc

2

1 1

√  √ 

SenA.CscA = 1 CosA.SecA = 1 TanA.CotA = 1

http://preuniversitario-matematicas-ciencias.blogspot.pe/

√  √   2

√  

CÁLCULO DE LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO

Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.

SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO

La superficie (área) de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados. Superficie = Área = S

SABC =

 

h = asenC

 = tanB →  = a(tanB)   = cotB →  = b(cotB)   = cscB →  = b(cscB) 

 = cotA →  = a(cotA)   = senA →  = b(senA)   = secA →  = b(secA) 

 senC   SABC = senB   SABC = senA 

SABC =


PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un ∆rectángulo, sus lados están en

proporción aritmética. Hallar la tan del menor ángulo interno. Sol. Cateto menor = x - a Cateto mayor = x Hipotenusa = x + a

Sol. Por Razones trigonométricas reciprocas, ángulos son iguales

4. Sen (2x + 15º) = Cos3x Hallar x Sol. de

2x + 15 + 3x = 90° 5x = 75° → x = 15°

X + (x-a) = (x+a) X2 + X2 - 2Xa + a 2 = X2 + 2Xa + a 2 X2 = 4Xa → X = 4a

5. Desarrollar: M = tan 260° - sen45°.csc45° Sol.  M = (√ )2 – (√  )(√ ) → M = 3 – 1 = 2

“a cateto menor se le opone menor ángulo agudo”

6. Hallar tanβ:

X-a

2

2

2

   =  =   2. El perímetro de un ∆rectángulo es 90cm, si β es uno de los ángulos tal que Tanβ = 2,4.

Hallar la longitud de la hipotenusa. Sol. Tanβ = 2,4 →

Sol.  = 3k

   → →   

Hipotenusa = 13

90 = 13k + 12k + 5k → 90 = 30k → k = 3

los

3m + 10° + β = m + 70° + β 2m = 60° → m = 30°

“Razones trigonométricas complementarios”

X+a

X

3. Hallar “m”: Sec(3m+10°+β).Cos(m+70°+β) = 1

Tanβ =

  →  

Hipotenusa = 13k = 39cm


ángulos

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En un ∆rectángulo ABC se cumple: cotC + cotB = 8 Hallar: N = 64senBcosBsenBcosC a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

a) 1 d) 4

c) 3

2. Hallar el perímetro de un ∆rectángulo ABC

recto en B. tanC = a) 30u d) 60u

c) 50u

b) 15 e) 30

c) 3

b) 2 e) 5

c) 3

9. En un ∆rectángulo ABC, recto en C se

3. En un ∆rectángulo ABC recto en "C" se cumple que: 4SenA = 7SenB Hallar: E = 65Sen 2 A - 42TgB a) 10 d) 25

b) 2 e) 5

8. sen(x + 10°) = cos(x + 40°) Hallar: tan(x + 40°).cot3x a) 1 d) 4

 ;  -  = 7 

b) 40u e) 65u

7. En un ∆rectángulo si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Hallar la suma de las cotangentes de los ángulos agudos del triángulo.

cumple: senA.senB = 2/5 Hallar: 4(sec2 A + sec2B) a) 35 d) 20

b) 30 e) 15

c) 25

c) 20 10. Si M es punto medio de . Hallar tanθ.tanβ  

 

 

4. Hallar: X = 4tan( ) + 6sen( ) + 2cos( ) a) 9 d) 6

b) 8 e) 5

c) 7

5. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6. Hallar la longitud del mayor cateto. a) 40u d) 30u

b) 50u e) 20u

c) 60u

6. Hallar cotα.cotθ

a) 3/2 d) 4/3

b) 6 e) 2

c) 4

c) 2/3

11. Si θ + 20° y β + 5° son ángulos agudos, se

cumple: sen(θ + 20°) = √  [tan(β + 5°)] 2 = cot45° + csc 245° Hallar: √ sec(β – θ) – 4csc(β – θ) a) -8 d) 8

a) 8 d) 3

b) 1/4 e) 1/2

b) -6 e) 10

c) 6

12. Si θ° + β° son complementarios.   Senθ = y cosβ =    Hallar: √ (tan2θ +sec ) 


a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

 donde θ° + 20° es agudo.     Hallar: 5cos(70° – θ°) + 

17. sen(θ° + 20°) =

13.  =  = . Hallar el área del ∆ABC

a) 3 d) 2

b) 4 e) 1

c) 5

18. Si θ y β son complementarios.   tanθ = y cotβ =   Hallar: 25( )     c) (tanθ + 1)   e) (cotθ + √ ) 

a) (tanθ + √ )

   d) (cotθ + 

b) (cotθ + 1)

a) 8 d) 15

√ )

14. En el paralelogramo MNPQ, =82; =60  y cosα = . Hallar S∆CPQ 

a) 135 d) 200

b) 1,5 e) 1

c) 12

b) 25√ m e) 10√ m

c) 20√ m

20. Desde un punto de horizontal se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación θ°. Si se acerca una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de elevación es 37°. Hallar 3ctgθ

c) 175

15. Calcular: tan10°tan20°tan30°…….tan70°tan80° a) 2,5 d) 1/2

b) 9 e) 16

19. Una persona ve un poste bajo un ángulo de elevación de 60°, se aleja 30m y su nuevo ángulo de elevación mide 30° ¿Cuál es la altura del poste? a) 30√ m d) 15√ m

b) 150 e) 225



c) 2

16. ABCD es un cuadrado. M y N son puntos medios de  y . Hallar cotθ a) 2/3 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 1

a) 7 d) 5

b) 8 e) 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c) 9 e a d b c b d a c e

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b c d a e c e b d a


02 Razones Trigonometricas de Angulos Agudos Teoria-problemas

Recommend Documents