PRESENTACIÓN Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible, sea acogido acogido por por los los est estudiant udiantes es de distint distintas as part partes es del del mund mundo. o. En este texto texto se podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la resolución de inecuaciones trigonométricas. Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es muy escasa la bibliografía a este respecto. El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible, porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la resolución de una inecuación trigonométrica. Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés, demuestren los dignos lectores.
Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa AUTOR
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CAPÍTULO 1
Objetivo formativo capítulo 1 Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 1: 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 1 CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser al caso en que resulte un cosx = 2, que que obviamen obviamentte se debe descart descartar, ar, pues pues el rango rango del del coseno coseno se limita limita al intervalo intervalo [-1, [-1, 1]. Tamb También, ién, se deb debee verificar verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución general de la ecuación trigonométrica, según corresponda.
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CAPÍTULO 1
Objetivo formativo capítulo 1 Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 1: 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 1 CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser al caso en que resulte un cosx = 2, que que obviamen obviamentte se debe descart descartar, ar, pues pues el rango rango del del coseno coseno se limita limita al intervalo intervalo [-1, [-1, 1]. Tamb También, ién, se deb debee verificar verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución general de la ecuación trigonométrica, según corresponda.
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Algunas fórmulas útiles de trigonometría
3
Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus funciones trigonométricas (Soluciones Generales) Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante ó x 180 º n (1) x x n (1) x n
n
p
p
Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante x
ó
360 º n x p
x 2 n x p
Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o Cotangente x
o
180 º n x p
x
n x p
Ejercicios Resueltos 1) Resolver:
4sen 2 x . tan x 4sen 2 x 3 tan x 3 0
Resolución
Como x=45º que resulta de Tanx 1 proviene de una función Tangente, entonces la primera solución general es: x 180 º n 45º
ó
x
n
4
3 proviene de una función Seno, entonces la Como x=60º que resulta de Senx 2 primera solución general es: x 180 º n (1) n 60º
ó
x
n (1) n
3
3 Como x=120º que resulta de Senx proviene de una función Seno, entonces la 2 primera solución general es: x 180 º n (1) n 120 º
ó
x
n (1) n
4
2 3
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es: 2 , n Z C .S . x R / x n x n (1) n x n (1) n 4 3 3
2) Resolver:
csc x cot x
3
Resolución
1 Como x=60º que resulta de Cosx proviene de una función Coseno, entonces la 2 solución general es: x
360 º n 60º
ó
x
2 n
3
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:
C .S . x R / x
2 n
3
, n Z
5
3) Resolver:
4 cos 2 x 3 cos x
1
Resolución
5 8 5 5 Como x arcCos que resulta de Cosx proviene de una función Coseno, 8 8 entonces la solución general es: 5 . arcCos 5 8 ó x 360 º n arcCos x 2 n 180 8 x arcCos
Como x=180º que resulta de Cosx 1 proviene de una función Coseno, entonces la solución general es: x 2 n 2 x 360 º n 180 º ó
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:
5 . arcCos 8 C .S . x R / x 2 n x 2 n 2 , n Z 180
6
CAPÍTULO 2
Objetivo formativo capítulo 2 Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de inecuaciones trigonométricas. Título Capítulo 2: Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 2 CAPÍTULO 2: EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) ¿ A qué funciones puede representar la expresión a b , si a b 0 ? b
a
Resolución Como
a
b0
a
()
a
y que
0
y
b
( )
b0
, es decir que:
----------------------------------------------(1)
en base a esto, se tiene: Si
ab
Si
ab
a b 1
1
, pero
a
b
, pero
b
a
b
a
es ( )
----------------------------(2)
es ( )
-----------------------------(3)
De (1), (2) y (3), se deduce que: a b
b a
1
----------------------------------------------------(4)
Analizando, se observa que las funciones trigonométricas que pueden tomar valores mayores que 1 son la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. Luego la respuesta es: la expresión
a b
b a
, si a b 0 puede representar a
las funciones trigonométricas Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. 7
2) ¿En qué cuadrantes se cumple que
Senx . Cosx
tgx
?
Resolución Para visualizar objetivamente, se trazan las gráficas por cuadrantes:
8
En el Cuadrante I se observa que tgx equivale (decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1) (decimal ()) , de modo
a que el producto Senx . Cosx es (+) pero más pequeño que tgx que también es (+) debido al criterio de comparación de números decimales positivos. Senx . Cosx
Conclusión: No se cumple
Senx . Cosx
tgx
En el Cuadrante II se observa que equivale a (decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1) (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Senx . Cosx
tgx
Conclusión: Se cumple
Senx . Cosx
tgx
En el Cuadrante III se observa que equivale a (decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1) (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (-) y tgx es (+). Senx . Cosx
tgx
Conclusión: No se cumple
Senx . Cosx
tgx
En el Cuadrante IV se observa que equivale a (decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1) (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Senx . Cosx
tgx
Conclusión: Se cumple
Senx . Cosx
tgx
La respuesta es: La expresión
Senx . Cosx
tgx
se cumple en los cuadrantes II y IV. 9
Cos x 1
3) Resolver:
tg x
0,
si
x 0 , 2
Resolución Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico. Cos x 1 tg x
0
Es decir que: Nótese que
Cos x 1 0
Cos x 1 () Cos x 1 ()
tg x
0
y que tg x () si Cos x () ¶ 2
¶
¶
¶
Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que: Cos x () y tg x () el cuadrante II, es decir cuando
x
2
,
Además, también se observa que Cos x 1 () , es decir que Cos x () pero Cos x 1 (por extensión del coseno) y que tg x () precisamente en el cuadrante IV. Es decir cuando Luego el conjunto solución es:
x
3 2
C .S. x R /
10
, 2
2
x
x 2 2
3
CAPÍTULO 3
Objetivo formativo capítulo 3 Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 3: Resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 3
CAPÍTULO 3: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS A manera de establecer un criterio claro para el proceso de resolución de cualquier inecuación trigonométrica, el autor considera lo siguiente: 1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y graficables manualmente. 2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema coordenado cartesiano. 3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas. Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya comprende la solución principal de dicha ecuación). 4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es) que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1). Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es) de la inecuación propuesta. 5) A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en cuenta el período de la función trigonométrica presente en la última inecuación indicada en el criterio 1) se indica la solución general de la inecuación original (también puede utilizarse el conjunto solución general de todos los arcos que contienen a dicha función trigonométrica). 11
Ejercicios Resueltos 1) Resolver:
1
Senx
2
0
Resolución Senx
1 2
1
0 Senx
Considérese:
y1
2
--------------------------------------------(1)
Senx
Gráfica conjunta de
y1
y2
con
1 2
y2
fig.(*) ¶ ¶
6 / ¶ 1 1 -
(pa r a K = -1 )
6 / ¶ 7 -
Para intersecar Senx
1
x
¶
6 / ¶
y1
con
y2 ,
(pa r a K = 2 )
(pa r a K = 1 )
6 / ¶ 5
6 / ¶ 3 1
6 / ¶ 7 1
se tiene:
--------------------------------------------------------------(2)
2
6
--------------------------------------------------------------(3)
La expresión (3) es la solución principal de la ecuación dada en (2). La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: 12
6 / ¶ 5 2
x n (1)
Haciendo x
n
6
n 1
---------------------------------------------------------(4) en (4), se obtiene:
5 (1) (1)1 6 6 6
x
5 6
---------------------------(5)
La expresión (5) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*). De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en (4) y (5), se establece que la solución principal de la inecuación Senx 1 es 2
6
x
5 6
---------------------------------------------(6)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Senx 1 , o lo que es lo mismo, de la inecuación Senx 1 0 2
2
se obtiene sumando el período generalizado, así: 6
2 k x
5 6
2 k , k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
C .S . x R /
6
2 k , k 0, 1, 2, 3, 6
2 k x
5
2 k x
5
O también:
C .S . x R /
2)Resolver:
Cosx
6
1 3
2 k , k Z 6
0
Resolución 13
Cosx
1 3
0 Cosx
Considérese:
y1
1
--------------------------------------------(1)
3
Cosx
Gráfica conjunta de
y1
y2
con
1 3
y2
fig.(**) ¶ ) 3 / 1 ( s o C c r a + ¶ 2 -
) 3 / 1 ( s o C c r a ¶ 2 -
¶
(para K= -1)
¶
) 3 / 1 ( s o C c r a -
(para K= -1)
) 3 / 1 ( s o C c r a ¶ 2
) /3 1 ( s o C c r a
¶
Cosx
1
y1
con
y2 ,
) 3 / 1 ( s o C c r a + ¶ 2
(para K=1) ¶
Para intersecar
(para K=1)
(para K=2)
se tiene:
-------------------------------------------------------------------(2)
3
1 x arcCos ( ) 3
-----------------------------------------------------------(3)
O también, como Coseno es función par, se tiene que: x
1
arcCos ( ) 3
----------------------------------------------------------------(4)
La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (2).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: 14
) /3 1 ( s o C c r a ¶ 4
x
1 2 n arcCos 3
----------------------------------------------------------(5)
De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación Cosx 1 y que se ha identificado en la gráfica dada en la fig. (**) es:
3
1 1 arcCos x arcCos 3 3
---------------------------------------------(6)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Cosx 1 , o lo que es lo mismo, de la inecuación 3
Cosx
1 3
0
se obtiene sumando el período generalizado, así:
1 1 arcCos 2 k x arcCos 2 k , 3 3
k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
1 1 2 k x arcCos 2 k , k 0, 1, 2, 3, 3 3
C .S . x R / arcCos
O también:
1 1 2 k x arcCos 2 k , k Z 3 3
C .S . x R / arcCos
15
3) Resolver la inecuación:
8 tgx
1 0
Resolución 8 tgx
Pero
1 0
tgx
1
tg x
1
---------------------------------------------(1)
8
implica
8
Considérese:
y1
1
1
8
8
tgx
tgx
Gráfica conjunta de
y2
y1
con
---------------------------------(2)
1 8
y2
fig.(α)
¶ ¶ para k= -1
-3¶/2 ) 8 / 1 ( g t c r a + ¶ 2 -
¶ para k=1
) 8 / 1 ( g t c r a + ¶ -
¶
Para intersecar
y1
) 8 / 1 ( g t c r a -
) /8 1 ( g t c r a
¶ para k= -1
con
y2 ,
) 8 / 1 ( g t c r a ¶
) 8 / 1 ( g t c r a + ¶
¶ para k=1
para k= -2
¶
se tiene: 16
5¶/2
3¶/2
¶/2
-¶/2 ) 8 / 1 ( g t c r a ¶ -
para k=2
para k=2
) 8 / 1 ( g t c r a ¶ 2
) 8 / 1 ( g t c r a + ¶ 2
tgx
1
----------------------------------------------------------------(3)
8
1 x arctg ( ) 8
----------------------------------------------------------(4)
La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (3). La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión tangente, es: 1 8
x n arctg
------------------------------------------------------------(5)
Nótese que el signo en la expresión (5) se debe al valor absoluto presente en la ecuación dada en (3), es decir, éste implica dos soluciones. De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación tgx 1 y que se ha identificado en la gráfica dada en la 8
fig. (α) es: 1 x arctg 1 8 8
arctg
-----------------------------------------------(6)
O También como la función arcotangente es impar entonces la expresión dada en (6) es equivalente a: 1 1 arctg x arctg 8 8
---------------------------------------------(7)
Como el período de la función Tangente es generalizado será k donde k 0, 1, 2, 3, 17
, entonces el período
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación tgx 1 , o lo que es lo mismo, de la inecuación 8 tgx 1 0 8
se obtiene sumando el período generalizado, así:
1 1 arctg k x arctg k , 8 8
k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
1 1 k x arctg k , k 0, 1, 2, 3, 8 8
C .S . x R / arctg
O también:
1 1 k x arctg k , k Z 8 8
C .S . x R / arctg
4) Resolver la inecuación:
Senx Cosx
Resolución
Senx Cosx
Como Cos
4
Sea
Sen
4
Senx Cosx 0
Senx Sen
q
x
Sen q
4
0
4
1
Cosx
0
Cos
4
2
1 2
Senx
1 2
Cosx
1 0 2
------(1)
, entonces la expresión (1) queda así:
Sen x
0
4
-----------------------(2)
, entonces la inecuación (2) queda así: ---------------------------------------------------------(3)
18
Considérese:
Sen q
y1
Gráfica conjunta de
y1
y2
con
0
y2
fig.(β) ¶ ¶
(pa r a K = -1 )
-2¶
¶
¶
Para intersecar Sen q
0 q
0
(pa r a K = 1)
0
-¶
y1
2¶
¶
(pa r a K = -1)
con
(pa r a K = 2)
y2 ,
¶
3¶
(pa r a K = 1)
se tiene:
-----------------------------------------------------------(4) -----------------------------------------------------------(5)
La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (4). La solución general para la ecuación (4), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:
q n (1) n 0
Haciendo q
(1)
n 1
q n
----------------------------------------(6)
en (4), se obtiene: q
----------------------------------------(7)
La expresión (7) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. ( β).
19
4¶
De la gráfica dada en la fig. ( β) y de lo que se ha obtenido en (5) y (7), se establece que la solución principal de la inecuación Sen q 0 es -------------------------------------------(8)
0 q
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Sen q 0 se obtiene sumando el período generalizado, así: 0 2 k q 2 k , k 0, 1, 2, 3,
2 k q 2 k , k 0, 1, 2, 3,
Reemplazando 2 k x
4
2 k
2 k
4
4
x
q
4
-----------------------------(9)
, hecho anteriormente, en (9):
2 k , k 0, 1, 2, 3, x
x
5
4
4
4
4
2 k , k 0, 1, 2, 3,
2 k , k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
C .S . x R / 2 k
4
2 k , k 0, 1, 2, 3, 4
x
5
x
5
O también:
C .S . x R / 2 k
4
2 k , k Z 4
20
Senx Cosx
5) Resolver:
5 2Cos2 x 3 2Senx 1
Resolución Como
Cos2 x
entonces la inecuación propuesta queda así:
1 2Sen 2 x
5 2(1 2Sen2 x) 3 2Senx 1
Sea:
q
Senx ,
7 4q 2
q
a) Para
1 2 1 2
---------------(1)
entonces la expresión (1) queda así: ---------------------------------------------------(2)
3 2q 1
Hallando punto crítico: para
7 4Sen2 x 3 2Senx 1
1
2
2q
1 0
q
1 2
, luego debe analizarse
q
q 0 2q 1
2q 1
2q 1
--------------------(3)
reemplazando (3) en (2), se tiene: 7 4q 2
32q 1 7 4q 2 6q 3 0 4q 2 6q 10
0 2q 2 3q 5
q
5 2
1 q
0 (2q 5)(q 1) ,
entonces:
---------------------------------------------------(4)
21
Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la condición a), se tiene: q 5 1 q 1 q 2 2
b) Para
q
1 2
S1 q [ 1 ,
--------------------(5)
--------------------(6)
2q 1 0
2q 1
1 2q
reemplazando (6) en (2), se tiene: 7 4q 2
31 2q 7 4q 2 3 6q 0 4q 2 6q 4
0 2q 2 3q 2
q
1 2
2q
0 (2q 1)(q 2)
------------------------------------------------(7)
Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la condición a), se tiene: q 1 2 q q 1 2 2
S2
q ,
1 2
----------------(8)
Luego, el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8), es: C . S . q
,
1 2
[1,
q
1 2
1 q
----------------------(9)
De este conjunto solución obtenido en (9), analizamos cada componente. 22
i) Para q 1
2
Como antes de la expresión (2) se hizo q
1
2
Senx
Considérese:
y1
Senx ,
se tiene:
1 2
Senx
Gráfica conjunta de
q
y1
y2
con
1 2
y2
fig.(¥) ¶ ¶
6 / ¶ 7 1 -
(pa r a K = -1 )
6 / ¶ 3 1 -
¶
6 / ¶ 5 -
(pa r a K = 2 )
(pa r a K = 1 )
6 / ¶ 7
6 / ¶ -
/6 ¶ 1 1
6 / ¶ 9 1
0
¶
(pa r a K = -1 )
¶
(pa r a K = 1 ) ¶
Para intersecar Senx
1
x
2
y1
con
y2 ,
(pa r a K = 2 )
se tiene:
-------------------------------------------------------------(10) 6
-----------------------------------------------------------(11)
La expresión (11) es la solución principal de la ecuación dada en (10). 23
6 / ¶ 3 2
La solución general para la ecuación (10), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: x
n (1) n 6
Haciendo x
n 1
----------------------------------------------------------(12) en (4), se obtiene:
5 (1) (1)1 6 6 6
x
5 6
---------------------(13)
La expresión (13) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (¥). De la gráfica dada en la fig. (¥) y de lo que se ha obtenido en (11) y (13), se establece que la solución principal de la inecuación Senx 1 2
es:
5 6
x
6
---------------------------------------------(14)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Senx 1 , se obtiene sumando el período generalizado, así: 2
5 6
2 k x
6
2 k , k 0, 1, 2, 3,
lego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx 1 es: 2
C .S . x R /
5 6
2 k x
2 k , k 0, 1, 2, 3, 6
O también: C .S .(1)
5 x R / 2 k x 2 k , k Z ---------------------------(15) 6 6
24
ii) Para 1 q Como antes de la expresión (2) se hizo 1 q
q
Senx ,
se tiene:
1 Senx
Es decir que del proceso de resolución resulta : Del rango de la función seno se tiene:
1 Senx
1 Senx 1
----(*)
------------(**)
De modo que intersecando (*) y (**) resulta:
Senx 1
-------------------------------------------------(16)
La expresión (16) es una ecuación, cuya solución principal es: x
2
La solución general para la ecuación (16), a fin de que se acople al conjunto solución obtenido en (15) se obtendrá sumando el período generalizado de la función Seno, así:
x
2
2 k
,
k 0, 1, 2, 3,
Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en (16) es C .S .( 2)
x R / x 2 k , k 0, 1, 2, 3, 2
O lo que es lo mismo: C .S .( 2)
x R / x 2 k , k Z 2
-----------------------------------(17)
25
Finalmente,
conjunto solución de la inecuación 5 2Cos2 x 3 2Senx 1 , será la reunión de los resultados obtenidos en (15) y (17), así: C .S. C .S.(1)
el
5 C .S.( 2) x R / 2 k x 2 k , k Z x R / x 2 k , k Z 6 6 2
es decir:
C .S . x R /
5 6
6) Resolver:
2 k x
6
2 k x R / x
2 k , k Z 2
2Cos2 x 2Senx 1 0
Resolución 2Cos2 x 2Senx 1 0
2(1 2Sen2 x) 2Senx 1 0
2 4Sen2 x 2Senx 1 0
4Sen2 x 2Senx 1 0
Sea:
4Sen2 x 2Senx 1 0
--------------------------------------------(1) ---------------------------------------------(2)
Senx q
Reemplazando (2) en (1), se tiene: 4q 2
----------------------------------------------(3)
2q 1 0
Los puntos críticos de la inecuación dada en (3) son:
q
2 2 2 4(4)(1) 2(4)
1 5 4
26
de lo que resulta que:
q
5 1
5 1
4
4
Revirtiendo el cambio hecho en (2):
q
--------------------(4)
Senx q
Entonces, (4) queda así: Senx
5 1
4
i) Resolviendo
Senx
Considérese:
y1
5
1
4
-----------------------(5)
Senx
5 1
Senx
4 y2
27
5 4
1
Gráfica conjunta de
y1
con
y2
fig.( Ω) ¶ ¶
¶
(pa r a K = -1 )
¶
0 /1 ¶ 1 1 -
0 /1 ¶ 9 1 -
(pa r a K = 1 )
¶
(pa r a K = -1 )
0 /1 ¶ 3 -
0 /1 ¶ 9
0 1 / ¶
¶
¶
(para K= -1)
¶
(pa r a K = -1 )
Para intersecar
5 1
0 1 / ¶ 1 2
0 /1 ¶ 9 2
0 /1 ¶ 3 3
¶
(pa r a K = 1 )
3 10
y1
con
y2 ,
(pa r a K = 2 )
se tiene:
-------------------------------------------------------(6)
4
x
0 /1 ¶ 7 1
0 1 / ¶ 3 1
(para K=1)
¶
Senx
(pa r a K = 1 )
0
0 1 / ¶ 3 2 -
0 1 / ¶ 7 2 -
0 /1 ¶ 7 -
(pa r a K = 2 )
-----------------------------------------------------------(7)
La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (6). La solución general para la ecuación (6), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: x
3 n (1) n 10
Haciendo x
n 1
------------------------------------------------------(8) en (4), se obtiene:
3 7 3 (1) (1) 1 10 10 10
x
7 10
---------------(9)
La expresión (9) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. ( Ω). 28
/6 ¶ 3 2
0 1 / ¶ 1 4
De la gráfica dada en la fig. ( Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y (9), se establece que la solución principal de la inecuación 5 1 es: Senx 4
7
10
x
3 10
-------------------------------------(10)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Senx 5 1 , se obtiene sumando el período generalizado, 4
así: 2 k
7 10
x 2 k
3 10
, k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación C .S .(1)
Senx
5 1 4
es:
7 3 x R / 2 k x 2 k , k 0, 1, 2, 3, 10 10
O también: C .S .(1)
7 3 x R / 2 k x 2 k , k Z 10 10
5 1
ii) Resolviendo Considérese:
4
y1
Senx
Senx
y3
Obsérvese la gráfica conjunta de
y1
fig.(Ω)
Para intersecar
y1
--------------------------(11)
con
y3 ,
se tiene: 29
5 1 4
con
y3
en la pág. Anterior de la
5 1
Senx
-------------------------------------------------------(12)
4 x
10
-----------------------------------------------------------(13)
La expresión (13) es la solución principal de la ecuación dada en (12). La solución general para la ecuación (12), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: x
n (1) n 10
Haciendo x
------------------------------------------------------(14) en (14), se obtiene:
n 1
9 (1) (1)1 10 10 10
x
9 10
--------------------(15)
La expresión (15) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω). De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (13) y
(15), se establece que la solución principal de la inecuación 5 1 Senx es: 4
10
x
9 10
-------------------------------------(16)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación 5 1 Senx , se obtiene sumando el período generalizado, 4
así: 2 k
10
x 2 k
9 10
, k 0, 1, 2, 3,
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación 30
5
1
4
Senx
es:
9 x R / 2 k x 2 k , k 0, 1, 2, 3, 10 10
C .S .( 2 )
O también: 9 x R / 2 k x 2 k , k Z 10 10
C .S .( 2 )
--------------------------(17)
El conjunto solución de la inecuación 2Cos2 x 2Senx 1 0 , se obtiene de reunir los resultados obtenidos en (11) y (17), así: C .S. C .S. (1)
7 3 C .S . ( 2) x R / 2 k x 2 k 10 10
2 k
10
x 2 k
9 10
, k Z
Es decir que el conjunto solución buscado es:
C .S. x R / 2 k
7) Resolver:
7 10
x 2 k
3 10
2 k
10
x 2 k
9 10
, k Z
Log 2Cosx 1 2Cos 2 x 1 3
Resolución Log 2Cosx 1 2Cos 2 x 1
--------------------------------------------------------(1)
3
pero
Cos2 x
2Cos 2 x 1 ,
Log 2Cosx 1 2(2Cos 2 x 1) 1 3
entonces la inecuación (1) se convierte en:
Log 2Cosx
4Cos 2 x 1 1
-------------------(2)
3
En la inecuación (2) hágase el reemplazo
Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 31
Cosx
q
-------------------(3)
------------------------------------------------(4)
1 1
4q 2
Log 2 q 3
Se procede a encontrar el universo de la inecuación: Condición dela raíz:
4q 2
Condición del logaritmo
---------------------------------------------(5)
1 0 4q 2
1 0 -------------------------------------------------------(6)
De intersecar (5) y (6) resulta: 4q 2
1 0
q
1
q2
1
0
4
1
2
2
4q 2
1 0
1 1 q q 0 2 2
q
------------------------------------------(7)
Condición de la base del logaritmo:
y que :
0
2q
2q
1
3
3
----------------------------------(8)
0q
q
3
-----------------------------------(9)
2
de intersecar (8) y (9) se tiene: 0q
3 2
3 2
q
-----------------------------------(10)
32
Intersecando (7) con (10) se tiene que el universo de la inecuación es: 1 2
3
q
3
2
2
-----------------------------------(11)
q
La inecuación dada en (4) se resolverá en de acuerdo al universo obtenido en (11): 1
i) Para 1 2 1 2
2 3
q
2 3
q
2
1
Si
3
3
q
2q
2
0
1
1
3
----------------------------------------------------------(A) 4q 2
3
2q 3
1 2
1
, es decir que la base del logaritmo es menor que 1, y
que 0 4q 1 2 , es decir que esta expresión es mayor que 0, entonces se tendrá que: 2
Log 2 q
4q 2
1 1
4q
2
1
3
Como
q
0
4q
2
1
2q 3
2q 3
2q 4q 1 3 2
Hallando la intersección de (A) parcial para q: 1 2
q
S1
3 2
q
6 4
6 4
2
q
6 4
--------(B)
con (B), se obtiene la solución
q
6 3 6 3 q q q R / = 4 2 4 2
33
3 2
-------------------------------------------(C)
3
ii) Para 3 2 3 2
Si
2
q
q
1
2q
3
q
2
1
4
-----------------------------------------(D)
q2
4q 2 1 2q 3
, es decir que la base del logaritmo es mayor que 1, y
3
que 2 4q 1 , es decir que esta expresión es mayor que 0 e inclusive mayor que 1, entonces se tendrá que: 2
4q 2
Log 2 q
2q
1 1
3
3
Como
q
0
4q 2 1 2
2q 4q 1 4q 2 1 3 3
2q
2
q2
3 8
--------(E)
Intersecando (D) con (E) se tiene que: 3 4
q2
S2
q
2
3
8
Luego el conjunto solución para q será la reunión de las soluciones parciales S con S , así: 1
2
c.s.( q )
6 3 S1 S 2 q R / q 4 2
c.s.( q )
6 3 6 3 q q q R / -----------------------------------------(F) = 4 2 4 2
Reemplazando (3) en (F), es decir revirtiendo el cambio
q
Cosx
se tiene: 6 4
q
3 2
6 4
Cosx
3 2
6 4
34
Cosx
Cosx
3 2
------(G)
Sea:
y1
6
y2
4
Gráfica conjunta de
y1
Cosx
con
y2
y3
y con
3 2
y3
fig. (µ) ¶
(pa r a K = -1 ) ¶
) 4 / 6 / 6 ¶ 3 ( 1 s o C c r a ¶ 2 -
/6 ¶ 1 1 -
¶
(pa r a K = -1 )
) 4 /
) 4 / 6 / 6 ¶ ( s o C c r a -
6 ( s o C c r a + ¶ 2 -
¶
¶
0
¶
6 ( s o C c r a
¶ ¶
Cos x
6 4
y1
con
y2 ,
6 / ¶ 3 1
) 4 /
) 4 /
6 ( s o C c r a + ¶ 2
6 ( s o C c r a ¶ 4
(pa r a K = 1 ) (pa r a K = 1) ¶
Para intersecar
(pa r a K = 1 )
) 4 / 6 / 6 ¶ 1 ( 1 s o C c r a ¶ 2
) 4 /
6 / ¶
(pa r a K = -1 ) (pa r a K = -1 )
(pa r a K = 1 )
(pa r a K = 2 )
se tiene:
---------------------------------------------------------------(a) 6 4
x arcCos
-----------------------------------------------------(b)
La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a). La solución general para la ecuación (a), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: 35
x
6 2 n arcCos 4
Haciendo x
----------------------------------------------------(c)
en (c), se obtiene:
n0
6 6 2 (0) arcCos arcCos 4 4
x
6 arcCos 4
---------(d)
La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (a).
Para intersecar Cos x
3
x
con
y3 ,
se tiene:
---------------------------------------------------------------(e)
2
y2
---------------------------------------------------------------(f)
6
La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e). La solución general para la ecuación (e), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: x 2 n
--------------------------------------------------------------(g)
6
Haciendo x 2 (0)
en (g), se obtiene:
n0
6
6
x
6
--------------------------------------(h)
La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (e).
36
De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y (h), se establece que las soluciones principales correspondientes a la inecuación 6 Cosx 3 son: 4
2
6 arcCos x 6 4
-------------------------------(*)
6 x arcCos 6 4
-------------------------------(**)
Como el período de la función Coseno es 2 , entonces el período generalizado será 2 k donde k 0, 1, 2, 3, Observando la gráfica dada en la fig. (µ), es obvio que la solución general para la inecuación 6 Cosx 3 se obtiene sumando el 4
2
período generalizado, así: 6 x 2 k 6 4
2 k arcCos
,
k 0, 1, 2, 3,
----------------------(*)
6 2 k x arcCos 2 k 6 4
,
k 0, 1, 2, 3, ----------------------(**)
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
C .S . x R / 2 k arcCos
6 4
x 2 k 2 k x arcCos 6 6
2 k , k 0, 1, 2, 3,
6 4
O también:
C .S . x R / 2 k arcCos
6 4
x 2 k 2 k x arcCos 6 6
37
2 k , k Z
6 4
