1. TEMA: Integrales por sustitución trigonométrica trigonométrica
2. OBJETIVOS: 2.1. Objetivo General: Desarrollar la comprensión de los conocimientos del cálculo integral; para así
fortalecer su visión analítica, que pueda plantear y solucionar cualquier situación problema que se presente. 2.2. Objetivo Especíicos: Comprender los conceptos fundamentales del cálculo integral para la deducción de
ecuaciones Estudiar y aplicar el uso de los triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras. plicar las identidades trigonom!tricas para el desarrollo de los e"ercicios. !. I"T#O$%&&I'" #as matemáticas en general, contribuyen en el desarrollo del ingenio y la capacidad de análisis que todo futuro ingeniero necesita. Parte fundamental en la construcción del pensamiento matemático que todo ingeniero debe tener consiste en la comprensión conceptual del cálculo integral. El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se apro$imaba e$%austivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de &ntegral Definida. Definida. 'e llama integral integral definida definida de la función f($) * entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites límites de integración), integración), al área de la porción de plano limitada limitada por la gráfica de la función, el e"e + y las rectas paralelas $ a y $ b
(. )%"$AME"TO TE'#I&O I"TEG#A*ES Proceso que permite restituir una función que %a sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta. Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función 'i -($) f($), se representa
este grafo / se le llama símbolo de la integral y a la notación + , -, se le llama integral indefinida de f($) con respecto a $. #a función f($) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. l n0mero C se le llama
conste de integración esta surge por la
imposibilidad de la constante derivada. sí como d$ denota diferenciación son respecto a la variable $, lo cual indica la variable derivada. + , -, Esto se lee integral de f$ del diferencial de $
MTO$OS $E I"TEG#A&I'" #a integración tiene algunos m!todos, llamados t!cnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra. 1./ &a0bio -e Variable o Sstitcin Esta t!cnica no es otra cosa que la regla de la cadena de las integrales. #o cual sugiere que %ay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. 1ecordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral. /f(g$) g$ d$ -(g$) 2 C Inte3racin por partes
El m!todo de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación d(u.v) u dv 2 v du Por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si. /d(u.v) /u dv 2 /v du (se integra en ambos lados de la fórmula) (u.v) /u dv 2 /v du (resolviendo la integral) /u dv u v 3 /v du (despe"ando, queda la fórmula de la integración por partes) 'e llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una y otra -v. #a integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe reali4ar de la siguiente manera 1./ En la parte que corresponde a -v debe ser la función más fácil de integrar, 2./ En deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. #as funciones trigonom!tricas y e$ponenciales son más sencillas de traba"ar. 5na de las reglas para saber si el procedimiento reali4ado es correcto la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad. Inte3racin -e nciones tri3ono04tricas. 5na integral se denomina trigonom!trica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonom!tricas y constantes. 5na integral se denomina trigonom!trica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonom!tricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración. En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias6 7. 5sar una identidad trigonom!trica y simplificar , es 0til cuando se presentan funciones trigonom!tricas.
8. Eliminar una raí4 cuadrada, se presenta normalmente despu!s de completar un cuadrado o una sustitución trigonom!trica. 9. 1educir una fracción impropia. :. 'eparar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción. .
f($)g($)?=g($). @. Probar sustituir f($) por 7=(7=f($)). Inte3racin por 04to-o -e co0pletacion.
Este m!todo se utili4a para calcular integrales de la forma
En donde a, b, A1B Ʌ c ϵ 1 de acuerdo al siguiente procedimiento general6 a) 'e completa el cuadrado del trinomio dado, sumándole y retándole el cuadrado de la mitad del coeficiente del t!rmino del 7er grado, y se factori4a como el cuadrado de un binomio formado por las raíces del primer y tercer t!rmino, separado por el signo del segundo t!rmino. b) 'e calcula la nueva integral mediante un simple cambio de variable. Inte3rales #acionales o )raccin Si0ple &ntegrales que contienen funciones racionales, es decir polinomios tanto en el numerador como en el denominador /> P(x)/Q(x? d$ donde ($)* Para poder aplicar el artificio de fracción simple el grado del numerador debe ser menor que el del denominador y que !ste 0ltimo sea factori4able en factores lineales y=o cuadráticos. El denominador debe estar factori4ado. Inte3rales Irracionales
'on aquellas integrales que contienen funciones irracionales (raíces), la cantidad subradical lineal repetida o no. El artificio consiste en reali4ar un cambio de variable que permita simplificar las raíces presentes, esto se logra elevando la nueva variable al índice de la raí4 o el m cm de las raíces presentes. ('iempre que sean de la misma cantidad subradical). Inte3racin por sstitcin tri3ono04trica
#as sustituciones que involucran funciones trigonom!tricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una e$presión de la forma6
#a sustitución trigonom!trica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonom!tricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Inte3ral -eini-a 'ea f una función que está definida en el intervalo cerrado >a,b?. 'i se dice que f es
&ntegrable en >a,b?. demás, denominado integral definida de f desde a %asta b.
5ISTO#IA $E *A I"TEG#A&I'" #a integración se puede tra4ar en el pasado %asta el antiguo Egipto circa 7** a. C., con el papiro de
A6*I&A&IO"ES En la ingeniería civil se utili4an las integrales para calcular estructuras y =o áreas. 'e utili4a en la administración cuando traba"an con los costos de una empresa, al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la fórmula de costo total a trav!s de integrales.
En el campo de la ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga entre otras. En ecología y medio ambiente se emplea para el conteo de organismos y cálculo de crecimiento e$ponencial de bacterias y especies; así como, en modelos ecológicos tales como6 el cálculo de crecimiento poblacional. En el área de química se utili4a el cálculo integral para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo. En los campos de informática y computación se utili4a en fabricación de c%ips; miniaturi4ación de componentes internos; administración de las compuertas de los circuitos integrados, compresión y digitali4ación de imágenes, sonidos y videos. 'e utili4an en la %idráulica, para calcular áreas y vol0menes de líquido, para calcular su fuer4a y presión. En la estadística para la propagación de incertidumbres, algoritmos, probabilidades financieras. El cálculo integral lo utili4a la medicina para encontrar el ángulo de ramificación optimo en los vasos sanguíneos para ma$imi4ar el flu"o. EJE#&I&IOS
∫
dv
√ a − v 2
2
Senθ =
v a
v =aSenθ
v
a
dv = a cos θdθ
θ= arcsen
() v a
√ a − v 2
2
∫ aaCosθdθ −( aSenθ ) √
∫
2
aCosθdθ
√ a −a Sen θdθ 2
2
Cosθ
a
∫
a
∫
a
Cosθ ∫ Cosθ a
√ a −√ −Sen θ + 1 θ 2
2
Cosθ
√ cos θ √ a 2
√
2
a
dθ ∫ C Cosθ osθ a
a
∫ a dθ
a
2
2
dθ
dθ
dθ
1
1
a
∫ dθ
v θ= arcsen + C a
∫
dv
√ v ± a 2
2
v θ Man a
v θ rcMan a
vaMan θ
=
=
∫
∫
aSec ² θdθ
√ a
2
tan ² ± a
2
=
∫
Sec ² θdθ
√ a √ t an ² ± a 2
2
=
dva'ecN θ d θ
aSec ² θdθ
√ a (Tan ± 1 ) 2
∫
2
Sec ² θdθ a √ Sec ² θ
=
a Sec ² θ ∫ dθ a Secθ
=
∫ secθdθ
ln(sec θ 2Man θ )2C ln ( √ 1+ tan ² θ 2 Man θ )2C ln (
ln (
√
v
v +( ) ² 2 ( a ) )2C a
1
√ a ² ± v ² a
v
2 ( a ) )2C
√ a ² ± v ² + v ln ( ) 2C a
ln ( √ a ² ± v ² + v ) O ln a 2 C ln ( √ a ² ± v ² + v )2C
&O"&*%SIO"ES En este traba"o podemos concluir que para la integración trigonom!trica e$isten
reglas generales que tienen funciones trigonom!tricas elevadas a e$ponentes. 'olo con la práctica sistemática, se podrá llevar a entender y resolver los e"ercicios de integrales trigonom!tricas. El estudio de las integrales trigonom!tricas es importante en el estudio de la economía. #E&OME"$A&IO"ES
nali4ar si es una integral trigonom!trica. Kalorar las posibles transformaciones por medio de las funciones trigonom!tricas. 5tili4ar las funciones trigonom!tricas para la resolución de los e"ercicios. Para la utili4ación de las funciones trigonom!tricas usar bien las e$presiones algebraicas.
BIB*IOG#A)7A Curso programado de cálculo: Aplicaciones y técnicas de integración, olumen !"
(7F9). 1everte.
'teven E. 1igdon, D. E. (8**F). Calculo" Pearson Educación. M%omas, Q. I. (s.f.). Cálculo: una #aria$le" 8**6 Pearson Educación. Ernesto Ravier Espinosa Gerrera, &. C. (8**). Cálculo di%erencial" Pro$lemas resueltos" 1everte. 1íos, . C. (8*78). Cálculo &i%erencial" Ediciones Dia4 de 'antos.
