Descripción: Un repaso a nuestras funciones trigonometricas, muy bueno
Descripción completa
INSTITUTO TECNICO RICALDONE. PROGRAMA PILET. ASIGNATURA: Matemática II. CICLO: 03 – 2012 PROFESOR: Lic. Carlos Mena. UNIDAD 2: TECNICAS DE INTEGRACION. ( PARTE 3 ). INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. TRIGONOMETRICAS. Cuand Cuando o la integ integral ral es una una poten potencia cia de una función función trigo trigonom nométr étrica ica o el produ producto cto de dos dos potencias, se hace necesario el saber combinar el uso hábil de identidades trigonométricas trigonométricas y el cambio de variable. Entonces, se tienen los siguientes tipos de integrales trigonométricas. Tipo 1: Potencias de seno y/o de coseno.
Son integrales de la forma:
∫
senn u du
∫
∫
cos n u du
senm u cosn u du
Tipo 2: Potencias de tangente o de cotangente.
Son integrales de la forma:
∫
tan n u du
∫
cot n u du
Tipo 3: Potencias de tangente – secante o de cotangente – cosecante.
Son integrales de la forma:
∫
tan m u sec n u du
∫
cot m u csc n u du
INTEGRACION DE POTENCIAS DE SENO Y/O COSENO. Las siguientes integrales son ejemplos de ilustración para este tema: 1. Cuando las integrales contienen exponente impar.
∫
sen 3 x dx
∫
cos 5 x dx
∫
sen 3 x cos 4 x dx
∫
sen 3 x cos 5 x dx
Para estos casos, se utiliza la identidad trigonométrica sen 2 x + cos 2 x = 1 , de donde se puede despejar sen2 x ó cos2 x, según la necesidad en un determinado momento. El proceso a realizar es el siguiente: a) Se saca aparte un factor sen2 x ( ó cos2 x )
∫
sen 3 x dx
=
∫
sen x sen 2 x dx
b) Se despeja el factor sacado aparte, aparte, para aplicarle aplicarle la identidad ya mencionada, mencionada, y luego reemplazar en la integral.
∫
sen x sen 2 x dx
= =
∫ ∫ ∫
sen x ( 1 − cos 2 x ) dx
=
( sen x
sen x cos 2 x ) dx
−
−
sen x dx
∫
sen x cos 2 x dx
c) Se hace u = cos x , quedando du = – sen x dx , y se sustituye en la integral.
∫
sen x sen 2 x dx
=
∫
sen x dx
= − cos x − = − cos x + cos 3 x 3
= − cos x +
−
∫
sen x cos 2 x dx
∫ ∫
u 2 ( − du ) u
2
du =
− cos x +
u3 3
+c
+c
2. Cuando las integrales contienen exponente par.
∫
∫
sen 2 x dx
∫
cos 4 x dx
sen 2 x cos 2 x dx
∫
sen 2 x cos 4 x dx
Para estos casos, se pueden utilizar las identidades trigonométricas:
sen 2 u
=
1 − cos 2u 2
cos 2 u
=
1 + cos 2u 2
Según sea la necesidad en un determinado momento. El proceso a realizar es el siguiente: a) Se buscan las expresiones de sen2 x ( ó cos2 x ) , y se reemplazan por la identidad respectiva.
∫
cos 4 x dx
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( cos 2 x ) 2 dx 2
2 1 + cos 2x ( 1 + cos 2x ) dx = dx = ( 2 )2 2 1 + 2 cos 2x + cos 2 2x 1 dx = ( 1 + 2 cos 2x + cos 2 =
4
=
1 4
dx
+
1 4
2 cos 2x dx
4
+
1 4
cos 2 2x dx
2x ) dx
=
1 x 4
+
1 sen 2x 2 2
=
+
???
1 4
∫
cos 2 2x dx
=
1 x 4
+
1 sen 2x 4
+
1 4
∫
1 + cos 4 x dx 2
PREGUNTA: ¿Por qué ahora el coseno es de 4x?
EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelva las siguientes integrales.
1. 5.
9.
12.
15.
18.
21.
24.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
cos 3 x dx sen 4 x dx
cos 4
∫ ∫ ∫
sen 6 x dx
2. 6.
x dx 4
10.
3.
cos 3 3x dx
7.
cos 5 x dx
11.
sen 4 3 x cos 3 x dx
13.
sen 2 2t cos 3 2t dt
16.
sen 3 2x cos 2 2x dx
19.
sen 2 x cos 2 x dx
22.
sen 3 x cos 2 x dx
25.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
sen 5 3x dx
∫ ∫
sen 4
x dx 5
8.
∫
cos 5
4.
∫
sen 2 5θ dθ
cos 5 x sen x dx
sen ax cos ax dx
14.
sen 4 x cos 5 x dx
17.
sen 5 y cos 4 y dy
20.
sen x cos 3 x dx
23.
∫ ∫ ∫ ∫
sen 3 x cos 3 x dx
cos 4 x sen3 x dx
sen 5 x cos 2 x dx
sen 5 x cos 2 x dx
sen 7 3 x cos 2 3 x dx
INTEGRACION DE POTENCIAS DE TANGENTE O COTANGENTE. Las siguientes integrales son ejemplos de ilustración para este tema..
∫
tan 3 x dx
∫
cot 5 x dx
∫
cot 4 x dx
∫
tan 6 x dx
Aquí es independiente de tener exponente par o impar. En estos casos, se puede hacer uso de las siguientes identidades trigonométricas:
tan2 x = sec2 x – 1
El proceso a realizar es el siguiente:
x dx 2
cot2 x = csc2 x – 1
a) Se toma aparte un factor tan2 x o cot2 x , para sustituir el factor tomado aparte, y luego se reemplaza en la integral.
∫
tan 4 x dx
= = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
tan 2 x tan 2 x dx
∫ ∫ ∫ ∫
tan 2 x ( sec 2 x
=
tan 2 x sec 2 x dx − tan 2 x sec 2 x dx −
−1)
dx
tan 2 x dx
( sec 2 x
=
tan 2 x sec 2 x dx
−
=
tan 2 x sec 2 x dx
−
− 1)
sec 2 x dx
tan x
−
+
dx
∫
dx
x
b) Se hace u = tan x , quedando du = sec2 x , y se sustituye en la integral.
∫
tan 4 x dx
= =
∫
u 2 du
−
tan x
+
x
=
u3 3
tan3 x 3
−
tan x
+
x
+
c
−
tan x
+
x
+
c
EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelva las siguientes integrales.
