MATEMÁTICAS Funciones Trigonométricas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA El estudio de la trigonometría se puede realizar por medio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, o por medio de la circunferencia. Existen seis funciones trigonométricas que son: seno ( ), coseno (), tangente (), cotangente (), secante () y cosecante ( ).
sin sin =
cos =
cot =
,
≠0
sec sec = = , ≠ 0
Si el segmento es perpendicular al , entonces se forma el triángulo rectángulo ⊿, donde es la hipotenusa, es el cateto adyacente y cateto opuesto.
= =
tan = = , ≠ 0
Razones trigonométricas Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo se definen así: sea ( ) = (,) el punto sobre la circunferencia determinado por el ángulo θ (ángulo teta) en el primer cuadrante.
= =
csc = = , ≠ 0 Ejemplo: 1. Determinar las razones trigonométricas para el ángulo del triángulo rectángulo que aparece en la figura.
Sol/
sin sin =
cos =
sec sec =
cot = Si la longitud de la circunferencia es 1 y las longitudes de y son y respectivamente, las relaciones se definen de la siguiente manera.
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA
tan tan =
csc csc =
MATEMÁTICAS Funciones Trigonométricas 2. Determinar los valores de tan ∝ y tan en el siguiente triangulo rectángulo.
= 16 16 − 9 = 7 = √ 7 Es el cateto adyacente √
cos ∝ =
tan tan ∝ =
√
4. Encontrar los valores de las razones trigonométricas trigonométricas para el del triangulo .
tan ∝ = = = tan ∝ = = = 3. Hallar el valor de cos ∝, tan ∝, si sen ∝ = .
Como sin ∝ =
entonces, = , entonces,
3 es el valor del cateto opuesto y 4 el de la hipotenusa por tanto la figura quedaría así:
Primero encontramos el valor de la hipotenusa.
() = () + ( () ) () = (6) +(8) = √ 36 3 6 + 64 = √ 100 100 = 10 Por tanto, hallamos la longitud de b
+
=
Luego, calculamos las razones para el ángulo
3 + = 4
sin sin =
9 + = 16
cot =
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cos = sec sec =
tan tan = csc csc =
MATEMÁTICAS Funciones Trigonométricas 3. Calcula la medida de y de
Ejercicios 1. Halla el valor de todas las funciones trigonométricas para el ángulo ∝, en cada triangulo.
̅ , teniendo en cuenta 4. Halla la medida de que el ⊿ es semejante ⊿.
5. Calcula el área del siguiente trapecio isósceles.
2. Observa el siguiente triangulo. Luego, responde.
6. Encuentra las medidas que faltan en cada figura.
a. Si = 15 y ∢ = 60°, ¿Cuál es la ̅ ? medida de b. Si = 13 y ∢ = 26°, ¿Cuál es la medida de ?
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MATEMÁTICAS Funciones Trigonométricas 7. Calcula la altura de la torre de acuerdo con la siguiente gráfica.
8. Encuentra la altura de Andrés de acuerdo con la gráfica.
9. A que distancia se encuentra el pie de la escalera de la pared y cuanto mide el ángulo que forma la escalera con el suelo.
10. Calcular la altura del faro de acuerdo a la siguiente gráfica.
11. Calcular el largo aproximado de la base del barco con la siguiente información.
12. En el año de 1936, en la playa Waikiki en Oabur, Hawái, Tom Blake realizo la corrida más larga sobre una ola usando una tabla. ¿Calcular la distancia que recorrió? r ecorrió?
13. Determinar el ángulo alfa de la siguiente figura.
13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de largo. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
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MATEMÁTICAS Funciones Trigonométricas 15. Calcula la longitud de la sombra de un abeto de 24 m de altura cuando la inclinación de los rayos del sol sea 23°
18. Calcula la altura del faro.
16. Calcula la altura ℎ en cada una de las siguientes situacione sit uacioness 19. Una persona de 1,75 de estatura observa un avión como se muestra en la figura. ¿a qué altura aproximada, con respecto al suelo, se encuentra el avión?
17. Observa el triángulo rectángulo luego, responde.
20. Un excursionista se encuentra a la orilla de un rio, como se muestra en la siguiente figura. Halla la altura del árbol.
a. Si se quiere calcular la altura de la torre de energía, ¿Cuál función trigonométrica se debe aplicar si se conocen las medidas de y . b. Si se quiere calcular la longitud del cable, ¿Cuál función trigonométrica se debe aplicar si se conocen y la altura ℎ.
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