TRIGONOMETRÍA II.- RAZONES TRIGONOMETRICAS
"n todo triangulo rectángulo se cumple que la #ipotenusa al cuadrado es igual a suma de los cuadrados de los catetos:
2.1.-RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS: Se denomina denomina razón razón trigonom trigonométri étrica ca al cocie cociente nte que se establece entre dos de las longitudes de un triangulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
c
2
a
2
"$emplo: %allar las R.T. del ángulo
!
2
y
Las R.T. son seis y se definen como: () '
c
a A
A
Sen
Co
Tan
b
!
Cateto opueto
a
Hipotenua
c
Cateto a"#acente
!
Hipotenua
c
Cateto opueto
a
Cateto a"#acente
!
Hipotenua
c
Hipotenua Cateto opueto
Nota: Teo$e%a "e &it'(o$a:
Sen*
!os
!os*
Tan
Tan *
!ot
!ot*
Sec
Sec*
!sc
!sc*
!
Cateto a"#acente
Cc
Sen
a
Cateto opueto Sec
!
!
Cateto a"#acente
Cot
&
c a
Se puede obser+ar lo siguiente:
- Sen
( !sc
!os
( Sec
Tan
( !ot
C
, de aqu- que a las
5
n (
razones Sen y !sc , !os y Sec , Tan y !ot. Se les conoce como Razones Reciprocas/ , entonces es correcto afirmar que :
5
n
n 5 (
-
A
2.1.1- Ra)one Recip$oca Sen
.Cc
1
5
Co
.Sec
n
1
IM&AR
2.Tan
.Cot
1
C 5
n (
- Sen0 !os* Sec0 !sc*
5m
Tan0 !ot* A
1e aqu- enunciaremos complemento
el
Teorema
del
2.1.2.- Teo$e%a "e* co%p*e%ento. Si / es un ángulo, entonces cualquier razon trigonométrica de es igual a la co2razon trigonométrica del complemento de
R .T.
Co
R .T. Co%p* . "e
5
n (
n
-
&AR
2.1..-M/to"o Si(ue *a 0*eca: "ste método se utiliza para #allar dos de los lados desconocidos en un triangulo rectángulo, para lo cual se conoce de antemano un solo ángulo y un solo lado, se presentan 6 casos 5.7.(.2 !uando se conoce un ángulo y la #ipotenusa:
C
2.1.+.- t$i'n(u*o pita(,$ico: Se denomina de esta manera a aquellos triángulos rectángulos cuya medida de sus lados esta e3presada por n4meros enteros.
p
Los lados de todo triangulo pitagórico tienen la siguiente forma:
m
A
5
n
m
A
2
3
-
C
4
34
5 mn
5.7.5.2 !uando se conoce un ángulo y el cateto opuesto: C
5
5
n
5
-
2 p
1e la forma general se deducen 5 casos:
1.-
A
3
-
4
34
5.7.6.2 cuando se conoce un ángulo y el cateto adyacente: C
2
a< ( y 5
3
A
p
d<
34
2.1.5.- M/to"o p$'ctico "e* 'n(u*o %ita": 8na forma practica de calcular las R.T. de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: -
c
D
c
*
!ot
5
Cot
Tan
* 5
A
c b a 6
c b
Cot
6 2
a
Cc6
2
a
c b a Cc6
a
!
c b
a
b<
6 y 5
(> 5
c<
6 y 5
6 5
-
4
5.2 "n un triangulo rectángulo la #ipotenusa mide 9 y los angulos agudos cumplen con la relacion: sen = 5sen!. Las longitudes de los catetos son:
C
5
e< ?.A
6.2 %allar los angulos y tales que: Tan 6 69 !ot @) 5 (9 a< (( y () b< (9 y (6 c< 5) y (>.9 d< 69 y 59 e< (> y (' 7.2 "n un triangulo rectángulo un cateto mide 7m y la altura relati+a a la #ipotenusa 5.7m !uál es el area del triangulo; a< @.' d< '
b< & e< 9
c< >
9.2 ara que angulo 3/ es:
!osB') 3 <
, luego:
a< 29 d< 59
Cot6
Sen B>) 63 <
b< 9 e< (9
c< ()
'.2 Si: A y B son los ángulos agudos de un
c b a
a
, luego:
triángulo rectángulo. Calcular en función de sus lados la siguiente expresión:
?
Cot6
a)2b e)a
2.1.7.- A&LICACIONES: (.2 La cotangente de un angulo +ale (.9. cuánto +ale la tangente de su complemento; a< (.9 b< ).9 c< ).'''' d< (.5 e< ).666
cB( !osA
c)b
d)b²
>.2 En un triángulo rectángulo la ipotenusa
es el triple de uno de sus catetos. !allar el "alor de: 5 ? @!os 5 5)Tan 5 6 Siendo el #enor ángulo agudo.
a)$ e)&(
b)%
c)&& d)&'
(5.2 En un triángulo rectángulo BAC. recto
&.2 En un triángulo rectángulo el cuadrado
en A se cu#ple ue: CosB.CosC 4 2+2. !allar la altura relati"a a la ipotenusa sabiendo ue esta #ide /2#. a)0# b),# c)&2# d)/# e)2#
de la ipotenusa eui"ale a ( "eces el cuadrado de uno de sus catetos. *eter#inar el "alor de: ( ? ( 5!os 5 Tan !ot 5 Siendo el #ayor ángulo agudo: a)' b)'+$ c)2 d)& e), @.2 En un triángulo ABC recto en C se
cu#ple ue: SenA.Sen
( &
!allar: -gA -gB a)2
b),
c)/
d)0
e)&1
(6.2 Se tiene un triángulo ABC tal ue:
AB 4 /( y AC 4 &2. Calcular el área de dico triángulo si: -gA 4 (+&2. a)&1u² b)&(u² c)21u² d)2(u² e)(u² (7.2 !allar A y B7 si:
Ctg 'A. Ctg 2B 4 & Cuando: A 8 B 4 ( a) 21 y &( b) 2( y 21 c) '1 y 2( d) &0 y &' e) 22 y &$ (9.2 1ado un triángulo A!, Brecto en !<, se traza CD perpendicular a AB . !alcule 1!, siendo: A = @ cm.C Sen A = a< 6
().2 1e
acuerdo a los datos de la figura
calcular: 3 4 -g2* -g'*.
-g*
d<
b<
2
e<
2
1 3 c<
2
4
3
2
2
('.2 1ado un triángulo A! Brecto en !<, donde se cumple que: ( D Sen A . Tg = 5 Sen A !alcule: Sec D Tg 1 1 a< 7 b< 5 c< 6 d< e< 2 3 (>.2 Siendo / la medida de un ángulo agudo, el cual cumple: Sen =
a)2'+' e)2(+'
b)'+22
c)22+'
d)&+2'
((.2 5os lados de un triángulo rectángulo
están en progresión arit#6tica. 5a secante del #enor ángulo es: a)'+( b)(+, c)(+' d),+( e),+'
!alcule:
5
1 9
BTg E Sec <
a< E5
b< E(
c< E7
d< E6
e< 5
(&.2 Sabiendo que A! = 7!1, calcule !os 5
A
F
1
!
e<
a< d<
1 2 4
5
3
b< e<
c<
2
2 2
3
Sen a
( Sen a
5(.2 1e la figura e3presar G y ! en terminos de H, I y GA = H A! = I C
4
(@.2 Si el per-metro de un triángulo A! es 6& 24 12 cm., además Tg = y Tg A = . 7 5 !alcule el área de la región triangular A!. a< ()5 cm5 d< 9( cm5
R
b< ()7 cm5 e< 97 cm5
c< 5)7 cm5
5).2 "n la region limitada por una circunferencia de radio R/ y dos tangentes a esta se requiere inscribir otra circunferencia Bde radio menor que R<. Si las tangentes se intersecan en un angulo de 5a rad/. A que distancia de la intersección de estas tangentes debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita;
-
A
O
a< G = H!os D ISen ! = HSen D I!os b< G = H!os 2 ISen ! = I!os 2 HSen c< G = H!os D ISen ! = HSen 2 I!os d< G = H!os D ISen ! = I!os 2 HSen e< G = H!os 2 ISen HSen 2 I!os 55.2 "n la siguiente figura #allar B3Dy<, Si: A=6 y A!=5>J('
r
A R
C
#
( Sen a Sena ( Sen a R ( Sen a Sena ( Sen a
a<
R
Sen a ( Sen a R R ( Sen a Sen a
c<
b<
8
d<
a< 9.(7 d< 7.(@
-
b< 9.(@ e< 6.(@
c< 9.5@
56.2 "n la figura mostrada son conocidos: #. "ntonces los +alores de 3 e y son:
, y
D 1
9
C
#
8 a< 3 b< 3
A
#5 Tan* Tan0 #
Tan* Tan0
y
y
# 5 Tan
p
Tan* Tan0 #Tan
a< qSen 5 d< qTan 5
Tan* Tan0
c<
3
#
5
Tan * Tan 0 5
5
y
5
Tan * Tan 0 5
3
Tan* Tan0
5
y
b< qSec5 e< q!sc5
c< q!os5
5'.2 "n el trapecio A!1, se tiene que:
# Tan 5
5
d<
#5
-
A1 = 1! , AF = F1 y 7A = 1! . !alcular Tan /
# 5 Tan 5
Tan* Tan0
A
5
-
e< ?.A. 57.2 "3presar 3 en terminos de m ,
y D
C 8
D
C
D
%
a<
b< ( J 5
9 J 9
c<
9 J 7
A
-
d< ?.A. a< mTan !ot b< m Sen !os c< m!otTan d< m!scSec e< 53635
e<
6J5
La +ida es un aprendiza$e permanente: Todo estudiante recibe primero la lección y luego los problemas por resol+er.
59.2 "3presar p/ en términos de q/ y
"n la +ida real es al re+és: rimero nos de$an los problemas para resol+er y luego debemos deducir la lección.
2.2.- UNCIONES TRIGONOM;TRICAS DE UN N.
2.2.1.-Concepto p$e*i%ina$e: Site%a "e Coo$"ena"a Rectan(u*a$e.
3
2"ste sistema consta de dos rectas dirigidas perpendiculares
entre
si,
llamado
e$es
coordenados.
21i+ide al plano en cuatro cuadrantes
2?
O
2
2G es el origen de coordenadas 2"l e$e HKH se llama "$e de las abscisas o simplemente e$e de las H 2"l e$e IKI se llama "$e de las ordenas o
Nota: La distancia del punto G a cualquier
simplemente e$e de las I
punto B H , I < del sistema de coordenadas siempre es positi+a, se le llama Radio Nector/ y se calcula de la siguiente manera:
3
IIC
IC O
2?
3?
"
2
IIIC
I@C 3?
"$emplo: 8bicar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas: AB2',(< B25,7< !B9,26< 1B5,5< "B),26< B),7< MB5,)< %B2',)<
2
2
3
2
2?
O
2
3?
2.2.2.- UNCIONES TRIGONOM;TRICAS DE UN N. Sea un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal, G=r = Radio Nector.
"ntonces las R.T. de se definen como:
2.2..- Ra)one T$i(ono%/t$ica 'n(u*o ne(atio:
!onsideremos dos ángulos en posición normal y 2 se tiene que:
3 & 2 B 3
3
2?
"e
O
2
A
3?
SenE
CoE Tan E
CotE
2?
O$"ena"a
3
Ra"io Decto$ A!cia
$ 2
3?
GAK GA , AK A G el mismo para ambos triángulos
2 2
A#ora #allaremos las R.T. de ángulos negati+os
O$"ena"a 3 Ra"io Decto$ $
SecE CcE
A!cia Ra"io Decto$
2 $
O$"ena"a
3
Sen
2.2.+.Si(no "e *a Ra)one T$i(ono%/t$ica en *o cuat$o cua"$ante: ara el análisis de los signos usaremos un método practico Tener en cuanta las razones reciprocas/ :
eno # Cc
2?
F
O
T # Cot
an
# Sec 3?
o
F
A
Sen
Tan
Tan
Co
Co
Cot
Cot
Sec Cc
2.2..- A&LICACIONES: 2
C
F
Sen
Cc
& oitio F To"o poitio
AK
Sen GAK GA 1e esta manera se puede #allar las R.T. de ángulos negati+os para las demás Razones Trigonometricas BOueda la demostración de cada caso para el alumno<.
Sec
3
S
2
-
A?
Ra"io Decto$ $ O$"ena"a 3 A!cia A!cia
O
(< Siendo B(C E 2 6 < un punto perteneciente al lado final de un ángulo en posición normal. !alcular: " = Sen E 3 6 !os a< E 3 d< 6
b< 3 e< E5
c< E 6
6
5< Si B9,26< es un punto del lado final del angulo en posición normal, #allar el +alor de: ? (> !os 5 Sen 5 !ot a< (@J6 b< (@J7 c< (@J9 d< (@J' e< (@J>
6< Si !ot = 2(.)9 y !os) , calcular:
? a< (J(59@ d< (J(5'5
Sen !os 5
b< E5J6
a< E() d< E6
e< E(J9
&< 1el gráfico mostrado, calcular Tg.
!os Sen b< (J(5') c< (J(5'( e< (J(5'6 6
6
BaC 6< y
7< 1e la condición: ('@ Sen5 E 59 = ) C PPP! !alcular: " = (5 Tg D (6 !os 1 a< E b< E' c< E9 7 d< 6 e< E> 9< Siendo Tg = E6 y Sen Q ). !alcular: = 5!os D Sen a<
10
d<
10
b<
10 10
e<
5
'< Siendo: Tg =
c< E9
4
(76
ABE5C )<
a< E d< E
c<
2
2
10
10
3 4
4 3
b< E e< E
3
2
c< E
3 4 5
@< 1e la figura calcular !os. y
3
y !os ).
2
B>C 5<
!alcular: Sec D !sc a< E d< E
6 3
b< E
5
e< E
3 6
5 13 6
c< E
5 13 3
1 3
5
>< 1el gráfico mostrado,y #allar: F = 13 BSen D !os<
a< E 3
3 2
d< E
1 7 3 7
b< E e<
7
c< E
8 53 53
7 53 53
()< 1el gráfico mostrado, calcular: T = 9Tg D 34 !os
(7< Siendo es un ángulo positi+o, menor que una +uelta del PN!. Pndicar el signo de:
y
= !os 3
b< E7 e< E(J5
2
2 3
Tg
a< BD< b< BD< BE< c< BE< d< BD< BE< e< ?eutro
FB6C E9< a< (J5 d< 7
c< E5
(9< 1eterminar el signo de la e3presión , si se cumple: (&) 3 59)
x !osB3 D 5)< 2
= Tg
((< 1el gráfico, #allar: Tg. y
a< BD< b< BE< d< BD< BE< e< ?eutro
AB)C 5<
(7.2 Si 5 C 6 , determinar el signo de:
B6C )<
3
Sen Tan
a< E6>5 d< E6J7
b< E7J9 e< E5J6
c< E(J6
d< E
41 4
41 2
b< E e< E
41 4
c<
41
6
Sen !sc
6
5
5 Ners 7 7 ! 5 !os !o+ 9 9 a< D D d< D 2
b< 2 2 c< 2 D e< imposible
2
31 4
(6< 1eterminar el signo de: =
5
7 C ' ,
Sen
(5< Sabiendo que: (59Tg6 E '7 = ) C !os ) !alcular: !sc a<
c< BD< BE<
Sen200º Cos280º Tg300º Csc230º
a< BE< b< BD< d< BD< BE< e< ?eutro
c< BD< BE<
“Un esfuerzo más y lo que iba a ser un fracaso se
convierte en un éxito glorioso. No existe el fracaso, salvo que dejemos de esforzarnos” MARAT
CucoB1HH21J