MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS Identidades Trigonométricas rigonométricas Una identidad es una ecuación que es válida para todos los valores de las variables para los cuales están de…nidas las expresiones involucradas en ella.
Ejemplo La ecuación x3
2
1 = ( x 1)(x + x + 1) es una identidad porque es válida para todo x 2 R: 1 1 2 La ecuación = es una identidad para x 6 = 1; porque para esos valores están de…nidas x1 x+1 x 1 2
las expresiones que aparecen en la igualdad.
La ecuación x2
1 = 0 no es una identidad, porque sólo es válida para x = 1:
Si una identidad contiene expresiones trigonométricas, se denomina identidad trigonométrica.. Veremos inicialmente unas identidades identidades trigonométricas trigonométricas básicas, llamadas identidades trigonométricas fundamentales, que nos permiten expresar una función trigonométrica en términos de las otras, simpli…car expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas.
Identidades Trigonométricas rigonométricas Fundamentales
Identidades Recíprocas
Se deducen directamente de la de…nición de las funciones trigonométricas: sen t = cos t = tan t = tan t =
1 csc t 1 sec t 1 cot t sen t cos t
; ; ; ;
1 sen t 1 sec t = cos t 1 cot t = tan t cos t cot t = sen t csc t =
Identidades Pitagóricas sen 2 t + cos2 t = 1 1 + tan 2 t = sec2 t 1 + cot 2 t = csc2 t
Prueba: En la circunferencia unitaria consideremos un ángulo en posición estándar cuya medida en radianes es t y sea P = ( x; y ) el punto en el que el lado terminal del ángulo t interseca la circunferencia unitaria.
1
Como sen t = y y cos t = x; por el Teorema de Pitágoras sen 2 t + cos2 t = 1 (1) Si en (1), (1), dividimos ambos lados de la ecuación por cos2 t , cos t = 0 ; obtenemos
6
sen 2 t cos2 t 1 + = cos2 t cos2 t cos2 t 2 tan t + 1 = sec2 t: Si en (1), (1), dividimos ambos lados de la ecuación por sen2 t , sen t = 0 ; obtenemos
6
sen 2 t cos2 t 1 + = 2 2 sen t sen t sen2 t 1 + cot2 t = csc2 t:
Simpli…cación de Expresiones Trigonométricas Para simpli…car expresiones trigonométricas utilizamos las mismas técnicas empleadas para simpli…car expresiones algebraicas y las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplo Simpli…car las siguientes expresiones trigonométricas: 1. cos3 x + sen 2 x cos x
2.
1 + cot A csc A
3.
sen y cos y + : cos y 1 + sen y
Solución
1. cos3 x + sen 2 x cos x = cos2 x cos x + sen 2 x cos x = cos2 x + sen 2 x cos x = 1 cos x = cos x:
2.
1 + cot A = csc A
cos A sen A + cos A sen A (sen A + cos A) sen A = sen A = = sen A + cos A: 1 1 sen A sen A sen A
1+
Observación: En algunas casos es útil escribir la expresión a simpli…car en términos de las funciones seno y coseno, como se hizo en el ejemplo anterior. 3.
sen y cos y sen y (1 + sen y ) + cos y cos y sen y + sen 2 y + cos2 y + = = cos y 1 + sen y cos y (1 + sen y) cos y (1 + sen y ) sen y + 1 1 = = = sec y: cos y (1 + sen y ) cos y
2
Demostración de Identidades Trigonométricas Además de las identidades trigonométricas fundamentales, hay otras identidades importantes que se usan en otros cursos de matemáticas y de física. Dada una ecuación es fácil probar que no es una identidad, hallando al menos un valor de la variable (o variables) para el cual no se satisfaga la ecuación.
Ejemplo Demostrar que la ecuación sen x + cos x = 1 no es una identidad trigonométrica.
Solución Para demostrar que, sen x + cos x = 1 no es una identidad, basta encontrar un valor de x para el cual no se cumpla la ecuación. Consideremos x =
4
: sen sen
4
=
p 2 2
y cos
sen
4
4
=
+ cos
Como sen x y cos x están de…nidas para todo x no es una identidad.
p 2 2
4
. Lueg Luego, o,
=
p 2 p 2 p 2
+
2
=
2 = 1:
6
2 R y x = 4 no satisface la ecuación, entonces sen x+cos x = 1
Ejemplo Demostrar que la ecuación tan x + 1 = 2 no es una identidad.
Solución Consideremos x =
6
:
1 6 = 2 = 1 y tan + 1 = 1 + 1 = 2 : tan = 6 6 3 3 3 cos 6 2 Luego, tan x + 1 = 2 no es una identidad.
sen
p
p
p
6
¿Cómo probar que una Ecuación es una Identidad? Para probar que una ecuación es una identidad trigonométrica, debemos elegir un lado de la ecuación y transform transformarlo arlo,, usando usando identidad identidades es conocidas conocidas y operaciones operaciones algebraicas, algebraicas, hasta obtener obtener el otro lado de la ecuación. Algunas sugerencias para realizar este trabajo son:
Escoger el lado "más complicado" de la ecuación para transformarlo. Realizar operaciones algebraicas como sumar o restar fracciones, o expresar una fracción como una suma de fracciones, o factorizar numerador o denominador de una fracción, entre otras.
Tener en cuenta la expresión del lado de la ecuación al cual se quiere llegar ya que ésta le puede sugerir el paso siguiente.
En algunos casos, es útil expresar el lado de la ecuación a transformar en términos de seno y coseno, usando las identidades fundamentales.
3
Otro método para probar que una ecuación es una identidad, es transformar ambos lados por separado hasta obtener en cada lado la misma expresión. En este caso no necesariamente realizamos las mismas operaciones en ambos lados, sino que trabajamos independientemente en cada lado hasta obtener el mismo resultado en ambos lados.
Ejemplo Probar las siguientes identidades trigonométricas: 1 + sec 2 x 1. = 1 + cos 2 x 2 1 + tan x 2. 2tan x sec x = 3.
1
1 sen x
1 + 1sen x
1 + cos x tan2 x = : cos x sec x 1
Solución 1. Transformemos el lado izquierdo izquierdo de la ecuación: 1 + sec 2 x 1 + sec2 x 1 sec2 x = = + = cos2 +1 = 1 + cos2 x: sec2 x sec2 x sec2 x 1 + tan 2 x 1 + sec 2 x Luego, = 1 + cos 2 x es una identidad trigonométrica. 2 1 + tan x 2. Escojamos Escojamos el lado derecho: derecho: 1
1 sen x
sen x) 2sen x 2sen x sen x 1 1 + 1sen x = 1(1+sensenxx) (1(1 + sen = = =2 = 2tan x sec x: sen x) 1 sen x cos x cos x cos x 2
2
2
Luego, la ecuación dada es una identidad trigonométrica. 3. Trabajemos con ambos lados separadamente: 1 + cos x 1 cos x Lado izquierdo: = + = sec x + 1 cos x cos x cos x tan2 x sec2 x 1 (sec x + 1) (sec (sec x 1) Lado derecho: = = = sec x + 1: sec x 1 sec x 1 sec x 1 Como al transformar cada lado de la ecuación se obtiene la misma expresión, la ecuación dada es una identidad.
Otras identidades trigonométricas importantes Existen otras identidades trigonométricas importantes que involucran más de un ángulo o múltiplos de un ángulo.
Fórmulas de Adición y Sustracción 1. sen(s + t) = sen s cos t + cos s sen t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t: tan s + tan t tan(s + t) = 1 tan s tan t
4
Prueba Las fórmulas para seno y coseno de la suma de ángulos se deducen de la siguiente grá…ca
sen s cos t cos s sen t + sen(s + t) sen s cos t + cos s sen t cos s cos t = tan s + tan t tan(s + t) = = = cos s cos t cos s cos t sin s sin t cos(s + t) cos s cos t sin s sin t 1 tan s tan t cos s cos t cos s cos t
2. sen(s
t) = sen s cos t cos s sen t cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t: tan s tan t tan(s t) = 1 + tan s tan t
Prueba Las fórmulas para seno y coseno de la diferencia de ángulos se obtienen escribiendo sen(s t) = sen(s + ( t)) y cos(s t) = cos( s + ( t)) y teniendo en cuenta que sen( t) = sen t y cos( t) = cos t:
Tarea Usar el hecho de que s
t = s + (t) para probar la fórmula de la tangente de la diferencia
Ejemplo Calcular el valor exacto de las siguientes expresiones, sin emplear calculadora: 1. cos(20 )cos(70 ) o
2. tan
o
sen (20 )sen(70 ) o
o
7 : 12
Solución 1. cos(20 )cos(70 ) o
7 2. tan = tan 12
o
sen (20 )sen(70 ) = cos(20
3 4 + 12 12
o
o
= tan
4
+
3
o
+ 70 ) = cos cos (90 ) = 0: o
tan =
1
5
+ tan
o
p p
p 3 p 3 :
4 3 = 1+ 3 = 1+ 1 1 3 1 tan tan 4 3
Ejemplo Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: 1. sec 2. 1
2
x = csc x
x + y) tan x tan y = cos( : cos x cos y
Solución 1. Transformemos el izquier izquierdo: do: 1 1 1 1 x = sec = = = = csc x: 2 0 cos x + 1 sen x sen x cos cos x + sen sen x cos x 2 2 2
2. Transformemos el lado derecho: derecho: cos(x + y ) cos x cos y sen x sen y cos x cos y = = cos x cos y cos x cos y cos x cos y = 1 tan x tan y:
x sen y sen x sen y sen x sen y sen =1 =1 cos x cos y cos x cos y cos x cos y
Expresiones de la forma A sen x + B sen x Las expresiones de la forma A sen x+B sen x siempre pueden escribirse en la forma k sen(x + ) ó k cos(x + ). Veamos:
Ejemplo
p
1 3 Expresar sen x + cos x en la forma k cos(x + ). 2 2
Solución k cos(x + ) = k [cos x cos
sen x sen ] = k cos x cos k sen x sen = ( k sen )sen x + (k cos )cos x:
Para que se cumpla la igualdad es necesario que
p
1 3 k sen = y que k cos = : 2 2
Elevando al cuadrado ambas expresiones: k 2 sen 2 =
1 3 y k 2 cos2 = : 4 4
Ahora, sumando: 1 3 + 4 4 4 sen 2 + cos2 = =1 4 k2 1 = 1 k = 1:
k2 sen 2 + k 2 cos2 k2
6
=
De esta forma:
k sen
=
k cos
=
1 1 1 : 1sen = : sen = 2 2 2 3 3 3 : 1 cos cos = : cos = 2 2 2
p
p
p
Como sen < 0 y cos > 0, se encuentra en el IV cuadrante. Por lo tanto, = Así, 1 3 sen x + cos x = 1cos x + = cos x 2 2 6 6
p
6 .
Fórmulas para el Ángulo Doble y para el Semiángulo ó Ángulo Medio Fórmulas para el Ángulo Doble A partir de las fórmulas de adición y sustracción, es fácil probar las siguientes fórmulas para el ángulo doble: sen2x = 2sen x cos x cos2x = cos2 x tan2x =
sen
2
x
2tan x 1 tan2 x
En efecto, sen2x = sen(x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen sen x cos x
Tarea Demostrar las fórmulas para el coseno y la tangente del ángulo doble.
Ejemplo Probar las siguientes identidades: 1. sen2 x = 2. cos2 x =
1
cos2x 2
1 + cos cos 2x 2
7
Solución 1. cos2x = cos2 x sen 2 x cos2x = 1 sen 2 x sen 2 x
cos2x = 1 2sen x 2sin x = 1 cos2x 1 cos2x sen x = 2
2
2
2
2. cos2x = cos2 x sen 2 x cos2x = cos2 x 1 cos2 x cos2x = 2cos2 x 1 1 + cos cos 2x cos2 x = 2
Fórmulas para el Semiángulo o Ángulo Medio
r r
cos u 2 2 u 1 + cos u cos = 2 2 u u 1 cos u sen u tan = ó, tan = 2 sin u 2 1 + cos u
sen
u
=
1
u
En las dos primeras fórmulas la elección del signo + ó depende del cuadrante en el que se encuentre . 2 Las demostraciones de estas fórmulas se obtienen a partir de los resultados del ejemplo anterior, haciendo u x= . 2 u En efecto, usando el resultado del numeral 2. del ejemplo anterior, haciendo x = ; tenemos: 2 u 1 cos u 2 sen = 2 2 Luego: u 1 cos u sen = 2 2
r
Ejemplo Calcular el valor exacto de cos22:5 . o
Solución
r
45 = 2 Como 22:5 está en el primer cuadrante, cuadrante, elegimos elegimos el signo +: o
cos (22:5 ) = cos o
o
cos(22:5 ) = o
Tarea
r
1 + cos cos 45 = 2 o
v ut
1+
p 2
2
2 =
Probar las siguientes identidades: 1 sen u cos u = [sen(u + v) + sen sen (u v )] 2 1 sen u sen u = [cos [cos (u v ) cos(u + v )] 2
8
v ut
1 + cos cos 45 2
p
2+ 2 2 = 2
o
s
p
2+ 2 = 4
p
2+ 2
p 2
