DISTRIBUSI BINOMIAL Hari Widjanarko Program Studi Teknik Informatika, STMIK Provisi Semarang Email:
[email protected]
ABSTRAK Proses Bernoulli adalah suatu proses yang berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin yang mana kejadian itu saling asing dan juga independent satu sama lain, yang biasa dinotasikan dengan kejadian sukses dan gagal. dengan menggunakan rumus :
b(x;n,p)
P(X P(X x) x)
n C p x q n-x x
Keywords: Distribusi Binomial; Bernoulli; Statistika; Diskret
I. PENDAHULUAN
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distri busi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. II. Landasan Teori Disebut pula distribusi BERNOULLI ditemukan oleh JAMES BERNOULLI adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variable acak diskrit (variable yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baikcacat, siang malam, dsb. Syarat-syarat Distribusi Binomial : 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat, contohnya seuatu percobaan melambungkan koin sebanyak 3 kali, bukan 3 setengah kali. 2. Sebuah percobaan mempunyai dua outcome atau hasil, contohnya sukses atau gagal, sakit atau sehat, hidup atau mati, dsb. 3. Peluang sukses sama pada setiap percobaannya. Ciri-ciri Distribusi Binomial : • Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti sukses-gagal • Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap perubahan
Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013
•
Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya • Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tetap Beberapa contoh kasus penerapan Distribusi Binomial ini adalah : 1. Menghitung jumlah probabilitas dalam pelemparan dadu ataupun koin. 2. Menghitung jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket. 3. Menghitung jumlah pertanyaan pertanyaan yang dapat anda jawab dengan benar pada sebuah soal pilihan ganda. Definisi Distribusi Peluang Binomial
b(x;n,p)
P(X P(X x)
C xn p x q n-x
untuk x = 0,1,23,...,n n: banyaknya ulangan x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X p: peluang berhasil pada setiap ulangan q: peluang gagal gagal = 1 - p pada setiap ulangan III. Pembahasan Contoh soal : 1. Probabilitas bahwa sejenis komponen komputer tertentu yang lolos uji kelayakan adalah 0,75. Tentukan dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diujikan dinyatakan layak! 2. Peluang seorang mahasiswa terlambat adalah adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak terlambat dengan melihat tabel distribusi komulatif Binomial?
Page 1
Jawab : 1.
menggunakan menu INSERT lalu klik FUNCTION atau
P(X P(X x)
dengan cara lansung yaitu memilih icon formula toolbars.
C xn p x q n-x
x = 2, n = 4, p = ¾, q = 1-p = 1-¾ = ¼
f x x pada
Distribusi Binomial yang akan kita buat adalah yang untuk satu titik b(x; n, p). Fungsi yang digunakan pada function excel adalah yang BINOMDIST. Langkah Pembuatan, yaitu :
2.
Buka program EXCEL
Pada lembar kerjanya isikan data berikut :
Kejadian dinyatakan “SUKSES” = “TIDAK TERLAMBAT” Yang diketahui di ketahui adalah peluang “TERLAMBAT” q = 6:10 = 0.6; p = 1-q = 1-0.6 = 0.4 x=2 Gambar 2. Data Awal
n=5
b(x;n,p)
=
b( 2;5 ,0.4 )
= (lihat tabel)
Supaya seragam nilai di-set dengan 4 angka di belakang koma (Blok semua tempat nilai, lalu klik kanan, dan pilih setting number , decimal places yang sesuai) Di dalam sel pertama yaitu sel C3 1.
Ketikkan tanda =
2. 3.
Klik icon formula x di toolbars Pilih function Category : Statistical dan Function Name : BINOMDIST
f
Gambar 1. Tabel Binomial
Cara membacanya seperti di bawah ini : 1.
Masukkan nilai n, yaitu 5………..
2.
Masukkan nilai x, yaitu 2 pada kolom n = 5………
3.
Masukkan nilai p, yaitu 0.4, cocokkan dengan kolom n = 5 dan x = 2…..
4.
Maka tepat menunjuk angka 0.6826
Atau kita bisa menghitung dengan menggunakan Microsoft Excel. Pembuatan Tabel distribusi binomial dengan Excel melibatkan salah satu fungsi-fungsi Statistika dalam Excel yang dapat dipilih dengan
Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013
f
Gambar 3. Formula x diToolbars
Klik OK Isilah variabel-variabel dalam fungsi tersebut;
Page 2
Number_s (x) : B3 (sel yang memuat nilai x = 0) Trials (n) : A3 (sel yang memuat nilai n = 1) Probability_s (p) : C2 Cumulative : 1 Klik OK
3.
Dari soal nomor 1, hitunglah rata-rata dan variannya!
Jawab :
= np = 4 x 0.75 =3 ² = npq = 4 x 0.75 x 0.25 = 0.75
IV. Kesimpulan Dari uraian tersebut kami disimpulkan bahwa probabilitas sangatlah membantu dalam mengambil suatu keputusan. Misalnya menentukan peluang sukses atau tidak dalam dunia bisnis dan usaha.
Gambar 4. Function Arguments 0,99. Nilai yang akan keluar adalah 0,99.
Distribusi Binomial ditemukan oleh James Bernoulli yang kemudian dikembangkan menjadi Distribusi Binomial, yaitu merupakan suatu percobaan dimana hanya ada 2 outcome (hasil), seperti sukses dan gagal. Rumus yang dipakai adalah .
Ulangi hal tersebut untuk n, x dan p pada contoh soal. Diketahui : n=5 x=2 p = 0,4 Isilah variabel-variabel dalam fungsi tersebut; Number_s (x) : B6 (sel yang memuat nilai x = 2) Trials (n) : A4 (sel yang memuat nilai n = 5) Probability_s (p) : K2 = 0,4 Cumulative : 1 Klik OK
Gambar 5. Hasil Perhitungan
b(x;n,p)
P(X P(X x)
C xn p x q n-x
Untuk menentukan rata-rata adalah = np, dan untuk menentukan varian atau ragam adalah ² = npq. REFERENSI
Sudaryono, M.Pd. 2011. STATISTIKA PROBABILITAS [Teori & Aplikasi]. Tangerang: Tangerang: Penerbit ANDI http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 10.38 WIB. http://id.scribd.com/doc/122282828/MAKALAH ProbStat-Distribusi-Binomial diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 10.07 WIB. http://www.slideshare.net/cvrhmat/distribusi-peluang diakses hari Sabtu tanggal 15 bulan Juni tahun 2013 pukul 11.52 WIB. http://images.tutorvista.com/cms/images/67/cumulative -binomial-distribution.jpg diakses/didownload hari Sabtu tanggal tanggal 15 bulan bulan Juni tahun 2013 pukul 11.56 WIB.
Nilai yang akan keluar adalah 0,6826
Rata-rata dan Varian Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah Rata-rata = np Varian ² = npq n = ukuran populasi p = peluang keberhasilan setiap ulangan q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
Makalah Statistika Probabilitas |STMIK Provisi – 2013
Page 3
