DISTRIBUSI PROBABILITAS GABUNGAN
Probabilitas Gabungan Untuk Diskrit Diskrit 1. Distribusi Probabilitas
Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak. Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan dan Y Jika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari perubah acak X dan Y.
Definisi Defini si Distribusi Distrib usi Probabilitas Probabi litas Gabungan : distribusi si probabil probabilita itass Fun Fungs gsii f(x, f(x,y) y) dise disebu but t distribu
gabungan gabungan atau
fungsi massa gabungan dari perubah acak DISKRIT X dan Y jika:
1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) 2.
∑ ∑ f(x,y)
=1
x y
3. P(X=x,Y=y) = f(x,y) Untuk setiap daerah A di bidang xy, maka P[(X,Y)єA] =
∑ ∑ f(x,y) A
Contoh:
Dua buah lampu dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 lampu berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X menyatakan banyaknya lampu berwarna biru dan Y berwarna berwarna merah yang terpilih, maka hitunglah: a. fungsi probabilitas probabilitas gabungan X dan Y b. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1} Jawab:
a. Misalkan, X = banyaknya lampu biru yang terambil = {0, 1, 2} Y = banyaknya lampu merah yang terambil = {0, 1, 2} Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0) Ilustrasi:
2
8 = 8! = 28 n(S) = 2 2 ! 6 !
Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 lampu dari 8 yang ada Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus:
3 2 3 x y 2 − x− y f ( x, y ) = 8 2
x = 0, 1, 2 y = 0, 1, 2 0≤x+y≤2
b. Dari hasil diatas didapat.
3 2 3 0 0 2 f( 0, 0 ) = = 3 28 8 2 3 2 3 0 1 1 f (0,1) = = 3 14 8 2 3 2 3 0 2 0 f(0, 2) = = 1 28 8 2
3 2 3 1 0 1 f (1, 0 ) = = 9 28 8 2 3 2 3 1 1 0 f(1,1) = = 3 14 8 2 3 2 3 2 0 0 f( 2, 0) = = 3 28 8 2
Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabilitas sbb:
Tabel Distribusi Peluang Gabungan X dan Y Jadi P[(X,Y)єA] =
P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
2. Distribusi Probabilitas Gabungan Untuk Kontinu
Jika X dan Y, perubah acak kontinu, maka f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan dari X dan Y yaitu suatu permukaan yang terletak di atas bidang xy, dan
P[(X,Y)єA] dimana A adalah daerah di bidang xy , sama dengan isi silinder kanan yang dibatasi oleh dasar A dan permukaan. Fungsi padat gabungan ini merupakan cara menjelaskan distribusi probabilitas untuk populasi atau sistem. Definisi Distribusi Probabilitas Gabungan Untuk Kontinu:
Fungsi f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan dari perubah acak KONTINU X dan Y jika:
1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) ∞ ∞
2.
∫ ∫
f ( x,y )dx dy = 1
−∞ −∞
3. P[(X,Y)єA] =
∫∫ f ( x,y )dx dy A
untuk tiap daerah di bidang xy Contoh :
Suatu pengiriman barang yang
memproduksi coklat dengan campuran krem,cofee dan
kacang, dengan berlapis coklat cerah dan pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah :
2 (2 x + 3 y); f(x,y) = 3 0;
0
≤ x ≤1, 0 ≤y
untuk x yanglai
a. Tunjukan ∞ ∞
∫ ∫ −∞−∞
f ( x, y ) dx dy = 1
b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x <
;
}
Jawab : a.∞ ∞
∫−∞−∞∫
11
f(x, y)dxdy
∫∫
=
1
∫
2x 2 + 6 xy 5 5
∫
2 ( 2x + 3y)dxdy = 5
00 1 = ( 25 0
x =1
x =0
0
+ 65y )dy
=
2 y 3 y2 ( + ) 5 5
1 0
= 25 + 35 = 1
b. P[(X,Y)єA] untuk A daerah {(x,y)/ 0 < x < 1/ 2 1/ 2
=
∫ ∫
1/ 4 1/ 2
=
∫
1/ 2 2 (2x + 3y) dxdy = 5
0
3y ( 1 + )dy 10 5
∫
1/ 4
;
}
x =1 / 2 2x 2 + 6xy 5 5
= 1/ 4
dy x =0
1/ 4 1/ 2
y 3y2 = ( 10 + 10 )
dy
13 160
3. Fungsi Kumulatif Distribusi Gabungan
1. Diskrit
2. Kontinu
F(x,y) = P (X ≤ x i, Y≤ yi)
F(x,y) = F(x,y) =
Contoh : Fungsi kumulatif distribusi gabungan adalah : F(2,2) = p11 + p12 + p21 + p22 = 0,12 + 0,08 + 0,18 + 0,15 = 0,43
DISTRIBUSI MARGINAL (PIAS)
1. Definisi Distribusi Marginal (Pias) Jika f(x,y) peluang gabungan dari perubah acak diskrit X dan Y maka peluang g(x) dari X sendiri diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua Y. demikian pula untuk distribusi peluang h(y) dari Y diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua nilai X.
g(x) disebut distribusi marginal dari X, dan h(y) disebut distribusi marginal dari Y. Jika X dan Y perubah acak kontinu, tanda penjumlahan diganti dengan integra l.
Definisi (Distribusi Marginal (Pias)):
Distribusi marginal dari perubah acak X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai : a. Untuk hal diskrit, maka
g(x) =
∑
f(x, y) dan h(y) =
y
∑
f(x, y)
x
b. untuk hal kontinu, maka ∞
g( x) =
∞
∫ −∞
f (x, y)dy
∫
dan h(y) = f(x,y)dx −∞
Contoh:
a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel disamping memberikan distribusi marginal dari X sediri dan Y sendiri. b.
Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat
gabungan pada peristiwa dua buah lampu dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 lampu berwarna biru, 2 berwarna merah,
dan
3
berwarna
hijau.
Jika
X
menyatakan banyaknya lampu berwarna biru dan Y berwarna merah yang terpilih
Jawab:
a. Untuk perubah acak X 2
∑
P(X=0) = g(0) =
f (0 , y )= f (0 ,0 ) + f (0 ,1 )
5
f+(0 ,2 ) 14
y= 0 2
∑f( , y) =f ( ,
P(X=1) = g(1) =
1 0)+
1
15
f(11 , )+ f(1, 2=)
28
y =0
2
3 28
∑
P(X=2) = g(2) =
= f (2,y) =f(2,0) + f(2,1)+ f (2,2)
y =0
Untuk perubah acak Y 2
∑=
P(Y=0) = h(0) =
f(x, 0) = f(0, 0 ) + f(1,0 ) + f(2,0 ) =
x 0 2
∑=
P(Y=1) = h(1) =
f (x,1)
= f (0,1) + f (1,1) + f (2,1)=
x 0
15 28
6 14
2
∑=
P(Y=2) = h(2) =
f ( x, 2) = f ( 0, 2) + f (1, 2) + f ( 2, 2) =
x 0
Distribusi Marginal dalam bentuk tabel sbb
b. Untuk perubah acak X ∞
1
∫
∫ (+x
−∞
0
= g(x) = f(x,y)dy
=
4 xy
+
6y
5
2
y =1
4x
=
10
2 2 3 y)dy 5
y =0
3
5
+ ≤ ≤ ;untuk
0x
dan g(x) = 0 untuk x yang lainnya. Untuk perubah acak Y
∞
h(y) =
∫−∞
=
1
f(x, y)dx =
2x 2 5
∫
2( 2 x + 3y)dx 5
0 x =1
+ 65xy
= x =0
2 + 6y 5
;untuk 0 ≤ y ≤ 1
1
3 28
dan h(x) = 0 untuk x yang lainnya. Catatan:
Distribusi marginal g(x) dan h(y) adalah distribusi masing-masing perubah X dan Y
sendiri. Hal ini dapat dengan mudah dengan menunjukan misalnya untuk hal kontinu: 1. ∞
∫−∞
∞ ∞
g(x)dx
=
∫−∞ −∞∫
f(x, y)dydx
=1
∞
b
2. P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )
=
∫ −∞∫
b
f(x,y)dydx
=
a
∫
g(x)dx
a
Mencari probabilitas perubah acak diskrit X , a
∫
telah diketahui), maka dihitung: P(a < X < b / Y = y) = f(x / y) a
Penjumlahan meliputi semua nilai X antara a dan b. (Jika X dan Y Kontinu, maka
dihitung: P(a < X < b / Y = y ) =
∑
f(x, y)
x
Contoh:
Misalkan X perubah acak yang menyatakan banyaknya pelari pria dan Y pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton. Secara matematika dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan:
8xy; f(x,y) = 0;
0≤x
≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
untuk x,y yanglainya
a. Hitung lah g(x), h(y), f(y/x) b. Tentukan peluang bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita yang menyelesaikan maraton bila ada tepat 1/2 pria telah menyelesaikan maraton tsb.
Jawab :
∞
a. g(x) =
∫−∞
∞
x
∫
h(y) =
f(x, y)dy = 8 xy dy
= 4xy2
y=x y =0
0 3
= 4x
;0 < x < 1
∫−∞
=
1
f(x, y)dx =
x =1 4x 2y x=y
∫
8 xy dx
y
= 4 y(1 − y2 )
;0 < y < 1
f(y / x) =
f(x, y) 8xy = g(x) 4x 2
; 0
1 /8
b.
1 P(Y
2
∫
=y 8 yd 0
1 16
