MAKALAH
DISTRIBUSI BINOMIAL diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Probabilitas dan Statistika yang di bina oleh Bapak Adam Faroqi, ST., MT.
Oleh: Nama : Rifqi Syamsul Fuadi
NIM : 12117045138 Kelas : IF-D JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirahim, Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat limpahan rahmat dan karunia-Nya. penulis dapat menyelesaikan salah satu tugas mata kuliah Probabilitas dan Statistika yaitu makalah yang betemakan “Distribusi Binomial”. Demikian juga tidak lupa, semoga shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada kekasih pilihan Allah, Muhammad SAW. Semoga pula rahmat, barakah dan inayah-Nya selalu bergema pada sanak kerabat, sahabat, para tabi’in dan orang yang mengikuti jejak mereka sampai hari kiamat. Penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada yang terhormat Bapak Adam Faroqi yang telah banyak memberikan ilmu kepada penulis. Mungkin tanpa beliau penulis tidak akan bisa menyelesaikan tugas ini. Layaknya tak ada gading yang yang tak retak, begitu pula dengan makalah ini maka penulis mohon kritik dan saran yang membangun. Dengan begitu akan menjadi maklum adanya bila terdapat kesalahan.
Bandung, 25 Desember 2011
Penulis,
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .................................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ...........................................................................1 1.2 Rumusan Masalah.....................................................................................2 1.3 Tujuan .......................................................................................................3
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Definisi Probabilitas .................................................................................4 2.2 Manfaat Probabilitas dalam Penelitian .....................................................5 2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian............................6 2.4 Definisi Distribusi Binomial .....................................................................7 2.5 Ciri-ciri Distribusi Binomial .....................................................................8 2.6 Penerapan Distribusi Binomial .................................................................8 2.7 Contoh Soal Distribusi Binomial dan Cara Penyelesaiannya ...................9
BAB III KESIMPULAN 4.1 Kesimpulan .............................................................................................15
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................16
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Baik di dalam dunia engineering, ekonomi, sosial budaya maupun dunia teoritis (termasuk dunia komputer tentunya), kita sering menghadapi suatu yang sering disebut sebagai “ketidakpastian”. Ketidakpastian terjadi akibat keterbatsan manusia itu sendiri di dalam dunianya dalam mengukur/menghitung/menalar/melamar sesuatu hal yang lebih baik yang akan datang maupun yang ada di depan mata, termasuk yang telah terjadi. Sudah sejak awal dari awal zaman, ketidakpastian diantisipasi manusia dengan berbagai cara. Ada yang bersifat prophecy dan supranatural, ada pula yang lebih rasional dengan mempelajari periodisitas (pengulangan) gejala alam untuk mengurangi tingkat ketidakpastian itu hingga sampai ke tingkat yang lebih manageble. Namun, ketidakpastian itu tetap mewarnai kehidupan manusia karena ketidakpastian itu mungkin menjadi faktor pemicu dinamika roda kehidupan itu sendiri. Dengan kata lain, walau ketidakpastian itu seringkali menjadi sumber kesulitan, tetapi juga sekaligus merupakan blessing. Teori probabilitas bisa dikatakan merupakan salah satu ilmu untuk “mengukur” ketidakpastian hingga ke tingkat yang lebih manageble dan predictable. Teori probabilitas digunakan bukan hanya untuk hal-hal yang praktis, bahkan juga untuk halhal yang teoritis ketika model-model matematis tidak dapat lagi disusun secara komprehensif untuk memecahkan suatu masalah. Apalagi dunia engineering yang pada umumnya memerlukan pertimbangan yang lebih singkat dan pragmatis sangat mengandalkan konsep-konsep di dalam teori probabilitas. Metode statistika adalah “muka” dari teori probabilitas. Metode statistika digunakan untuk melakukan pengukuran kuantitatif yang aproksimatif akan suatu hal. Konsep metodologis yang digunakan di dalam metode statistika dikembangkan berdasarkan teori probabilitas. Dalam penggunaannya, hasil pengukuran statistika sudah dapat dianggap memadai. Namun, untuk memahami apa yang ada di balik angka-angka hasil perhitungan statistika tersebut memerlukan pemahaman mengenai model probabilitas yang digunakannya, yang artinya perlu kembali ke teori probabilitas. Tanpa pemahaman tersebut, seringkali statistika digunakan untuk melegitimasi suatu 1
kebohongan (dikenal sebagai kebohongan statistika) ketika statistika digunakan sementara model dasar probabilitas yang terkait tidak sesuai atau relevan dengan situasi yang sebenarnya. Simulasi dan teori antrian dapat dikatakan juga sebagi turunan dan teori probabilitas. Dengan simulasi maka perilaku suatu sistem atau rancangan dapat dipelajari. Teori probabilitas digunakan dalam menentukan perilaku secara lebih kuantitatif dari apa yang disimulasikan. Teori antrian merupakan hasil pengembangan lanjutan konsep probabilitas dan di dalamnya masih berbicara mengenai model-model probabilitas. Namun, kembali ke pembicaraan awal, yaitu bahwa probabilitas hanyalah suatu sistematika ilmu untuk mempelajari ketidakpastian. Seakurat-akuratnya model probabilitas yang digunakan, tetap saja ketidakpastian itu masih ada walau dengan kadar yang amat tipis. Dan ketidakpastian yang tipis itu pada gilirannya dapat menghasilkan hasil yang ekstrim. Jadi penting bagi kita memahami apa yang bisa diberikan oleh teori probabilitas dan turunan-turunannya. Dalam statistik probabilitas dikenal dengan distribusi. Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka masalah pokok yang di rumuskan untuk makalah ini adalah: 1. Apa itu probabilitas? 2. Apa manfaat probabilitas dalam penelitian? 3. Bagaimana cara menghitung probabilitas dalam suatu kejadian? 4. Apa itu distribusi binomial? 5. Apa saja ciri-ciri dari distribusi binomial? 6. Bagaimana penerapan distribusi binomial?
2
1.3 Tujuan Tujuan pembuatan makalah ini selain untuk melengkapi tugas mata kuliah Probabilitas dan Statistika, yaitu untuk mengetahui probabilitas lebih jauh, mulai dari cara menghitungnya, dan memahami konsep distribusi binomial yang merupakan bagian dari probabilitas itu sendiri.
3
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi Probabilitas Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintarpintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas. Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi. Contoh: Ketika David ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya. Bagaimanakah tindakan David sebaiknya? Ketika David melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia berhipotesis bahwa sebentar lagi akan turun hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak. Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan. Selain definisi di atas ada juga definisi klasiknya yaitu: Eksperimen: semua aktivitas yang dapat menghasilkan out comes. Sample space set of all possible out comes. Out comes: sesuatu yang diamati / hasil observasi.
4
Event: Sample space (bagian dari himpunan dari seluruh out comes yang mungkin muncul dalam satu set eksperimen). Contoh : Pelemparan mata uang (2 titik), dadu (6 titik). Bila terdapat n kejadian setara yang salah satunya harus terjadi dan S dinyatakan sebagai kejadian sukses, maka probabilitas sukses adalah S/n. Mutually Exclusive (bertentangan) : munculnya event yang satu, menyebabkan tidak munculnya event yang lain. Collectively exhausive (Lengkap) : munculnya head and tail pada sebuah lemparan koin dan tidak ada lagi out comes yang muncul ( salah satu harus terjadi).
2.2 Manfaat Probabilitas dalam Penelitian Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain: 1) Membantu
peneliti
dalam
pengambilan
keputusan
yang lebih
tepat.
Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimaksudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna. 2) Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi. Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situasi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan datang kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi. 3) Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi. Contoh: Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.
5
2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatif, hanya memperhatikan apakah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatif. Kita bisa melihat apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak. Misalkan kita memiliki sebuah koin yang memiliki muka gambar dan angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin hanya terdiri dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka. Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkin terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian A, maka probabilitas A adalah : nA P(A) = N
Dimana: n= banyaknya kejadian N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi Contoh 1: Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali. Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka? Jawab : n=1; N=2 n P(gambar atau angka) = =
N 1 2
atau 50%
Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar. Contoh 2: Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan? Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.
6
Maka P(A) = =
n N
1 6
Probabilitas mempunyai beberapa aturan, diantaranya: a) Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi. b) Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian tersebut pasti akan terjadi. c) Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai. d) Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku. 2.4 Definisi Distribusi Binomial Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole). Syarat Distribusi Binomial: 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan koin 2 kali, tidak mungkin 2½ kali. 2. Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses atau gagal, laki-laki atau perempuan, sehat atau sakit. 3. Peluang sukses sama setiap ekperimen. Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.
7
2.5 Ciri-ciri Distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut : 1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 (dua) kemungkinan hasil: sukses (hasil yang dikehendaki) dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki). 2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian. 3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu. 4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.
2.6 Penerapan Distribusi Binomial Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu: 1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda. 2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi. 3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.
Rumus Distribusi Binomial
b(x; n; p) = Cxn px qn−x =
n! x! n−x !
px qn−x
Keteranagan: x = 0,1,2,3,…,n n = banyaknya ulangan x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x p = peluang berhasil dalam setiap ulangan q = peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
8
2.7 Contoh Soal Distribusi Binomial dan Cara Penyelesaiannya 1. Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas : a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas.
Jawab : Diketahui n = 5; Ditanyatakan: a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas (p(x) ≤ 2). p=0,20;
b(0; 5; 0,20)
= C05 . 0,200 . 0,80 5−0 =
5! 0! 5−0 !
0,200 . 0,805−0
= 0,32768 b(1; 5; 0,20)
= C15 . 0,201 . 0,80 5−1 =
5! 1! 5−1 !
0,201 . 0,805−1
= 0,40960 b(2; 5; 0,20)
= C25 . 0,202 . 0,80 5−2 =
5! 2! 5−2 !
0,202 . 0,805−2
= 0,20480
b(x; n, p)
= b(0; 5; 0,20) + b(1; 5; 0,20) + b(2; 5; 0,20) = 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208
Maka hasil p(x) ≤ 2 = 0.94208 9
b) Paling sedikit 1 diantaranya menyatakan kurang puas (p(x) ≥ 1). p=0,15;
b(1; 5; 0,15)
= C15 . 0,151 . 0,85 5−1 =
5! 1! 5−1 !
0,151 . 0,154
= 0,3915 b(2; 5; 0,15)
= C25 . 0,152 . 0,85 5−2 =
5! 2! 5−2 !
0,152 . 0,153
= 0,1382 b(3; 5; 0,15)
= C35 . 0,153 . 0,85 5−3 =
5! 3! 5−3 !
0,153 . 0,152
= 0,0244 b(4; 5; 0,15)
= C45 . 0,154 . 0,85 5−4 =
5! 4! 5−4 !
0,154 . 0,151
= 0,002 b(5; 5; 0,15)
= C55 . 0,155 . 0,85 5−5 =
5! 5! 5−5 !
0,155 . 0,150
= 0,0001 jadi: p(x) ≥ 1 = b(1; 5; 0,15) + b(2; 5; 0,15) + b(3; 5; 0,15) + b(4; 5; 0,15) + b(5; 5; 0,15)= 0,3915 + 0,1382 + 0,0244 + 0,002 +0,0001 = 0,5562 atau b(x ≥1; 5, 0,15)
= 1 – b (x = 0)
= 1 − C05 . 0,150 . 0,85 5−0 =1−
5! 0! 5−0 !
0,150 . 0,155
= 1 − 0,4437 = 0,5563
10
c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja (p(x)=2). p=0,25 b(2; 5; 0,25)
= C25 . 0,252 . 0,75 5−2 5!
= 2! 5−2 ! 0,252 . 0,253 = 0,2637 d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas (x ≤ 2 x ≤ 4) P=0,40;
b(2; 5; 0,40)
= C25 . 0,402 . 0,60 5−2 =
5! 2! 5−2 !
0,402 . 0,603
= 0,3456 b(3; 5; 0,40)
= C35 . 0,403 . 0,60 5−3 =
5! 3! 5−3 !
0,403 . 0,602
= 0,2304 b(4; 5; 0,40)
= C45 . 0,404 . 0,60 5−4 =
5! 4! 5−4 !
0,404 . 0,601
= 0,0768 Jadi (x ≤ 2 x ≤ 4) = b(2; 5;0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528 Analisis masing – masing point : a) Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar. b) Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%). c) Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%). d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar. 11
Analisis keseluruhan : a. Persentase Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia. b. Nilai x Jika dilihat dari jumlah x, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah x adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti x>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas.Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.
2. Kepala bagian produksi PT. MITHOSIBA melaporkan bahwa rata-rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
Jawaban: Diketahui : p (rusak) = 0,15; q (baik) = 0,85; n=4 Ditanyakan: perhitungan dengan probabilitas 2 (p(x)=2) ? Jawab:
b(2; 4; 0,15) = C25 . 0,152 . 0,85 5−2 =
5! 2! 5−2 !
0,152 . 0,853 = 0,0975
Analisis: Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.
12
3. Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20 4. Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas: a) Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi? (p(x) = 0) b) Lebih dari 2 paket terlambat? (p(x) 2) c) Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x 3)
Jawab: a) p(x) = 0
b(0; 5; 0,20) = C05 . 0,200 . 0,80 5−0 =
5! 0! 5−0 !
0,200 . 0,805 = 0,32768
b) p(x) > 2
p(x) > 2 = 1−p(x)<2 = 1−p(x)=0 + p(x)=1 + p(x)=2 p(x) = 0
b(0; 5; 0,20) = 0,32768 p(x) = 1
b(1; 5; 0,20) = C15 . 0,201 . 0,80 5−1 =
5! 1! 5−1 !
0,201 . 0,804 = 0,4096
p(x) = 2
b(2; 5; 0,20) = C25 . 0,202 . 0,80 5−2 =
5! 2! 5−2 !
0,202 . 0,803
= 0,2048 Jadi: p(x) > 2 = 1 – 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 = 1 – 0,94208 =0, 05792
13
c) p(x) 3 p(x) 3 = p(x) = 0 + p(x) =1 + p(x) = 2+p(x)=3
p(x) = 0 b(0; 5; 0,20) = 0,32768 p(x) = 1 b(1; 5; 0,20) = 0,4096 p(x) = 2 b(2; 5; 0,20) = 0,2048
p(x) = 3 5!
b(3; 5; 0,20) = C35 . 0,203 . 0,80 5−3 = 3! 5−3 ! 0,203 . 0,803 = 0,0512 Jadi: p(x) 3 = 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 = 0,99329
14
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa probabilitas sangatlah membantu manusia dalam mengambil sebuah keputusan. Misalkan untuk memperkirakan apakah peluang lebih banyak gagal atatu sukses dari sebuah usaha. Distribusi binomial merupakan suatu performans dari suatu percobaan, percobaan itu hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial).
15
DAFTAR PUSTAKA http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi-binomial.html diakses pada hari Senin tanggal 24 Desember 2012 pukul 11.07 WIB. http://sainsmatika.blogspot.com/2012/03/probabilitas-peluang.html diakses hari Senin tanggal 24 Desember 2012 pukul 11.44 WIB
16
