DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINUM
Disusun Untuk Mata Kuliah Statistika Bisnis
Oleh Kelompok 5 :
Karim Manar Pradana Mohammad Fatah Olivia Abigail
1006713926
Ragil Perestroika Ramadhan Ramdhani Ilham
1006713970
Sherly Marselistiana
1006713996
ILMU ADMINISTRASI NIAGA PARALEL FAKULTAS ILMU SOSIAL DAN ILMU POLITIK UNIVERSITAS INDONESIA 2012 1
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Ada bermacam-macam bentuk distribusi probabilitas. Umumnya, distribusi probabilitas adalah sekelompok nilai yang didistribusikan sesuai dengan teori probabilitas. Nilai dari kelompok tadi adalah hasil dari kemungkinan peristiwa terhadap percobaan yang diulang-ulang dalam suatu percobaan dan disebut sebagai variabel random. Apabila nilai-nilai tersebut dari data yang kontinyu, maka distribusinya adalah distribusi probabilitas kontinyu. Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi koninyu yang sangat penting di bidang staistika. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian panjang umur ( life testing) dan sebagianya.
Variabel random kontinyu adalah salah satu variable yang dapat memiliki nilai pecahan di dalam range tertentu. Dengan demikian, untuk distribusi variable ini tidak dapat disusun tabel yang menyatakan nilai probabilitas. Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva. Jenis-jenis distribusi probabilitas kontinyu adalah : 1. Distribusi Uniform 2. Distribusi Probabilitas Normal 3. Distribusi Probabilitas Normal pada Binomial 4. Distribusi Eksponensial Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada bab selanjutnya, yang akan dijelaskan lebih mendalam tentang jenis-jenis dari distribusi probabilitas kontinyu
2
1.2. Tujuan Penulisan
Setelah mempelajari materi pokok bahasan pada makalah ini, pembaca diharapkan: 1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi Probabilitas Kontinu secara benar. 2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan dengan distribusi uniform, distribusi normal, distribusi normal pada binomial, dan distribusi eksponensial. 3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan distribusi probabilitas kontinyu.
3
BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINUM
2.1. Uniform Distribution
Uniform Distribution (distribusi seragam) sering disebut juga distribusi rectangular distribution (distribusi segi-empat), distribusi seragam ini merupakan distribusi yang sederhana yang mana mempunyai ketinggian yang sama,
, pada
semua rentan nilai.
untuk
0
Untuk semua nilai yang lainnya
F(x) =
Uniform Distribution f(x)
Area = 1
a
b
x
4
Total daerah dari sebuah prodak dalam panjang dan lebar dari sebuah persegi berjumlah satu. Karena distribusi tersebut terletak, dari segi definisi, diantara nilai x dari a dan b, dan panjang dari sebuah persegi ini adalah (b-a). Daerah persegi = (Panjang)(Tinggi) = 1
Tetapi Panjang = (b-a) Oleh karena itu (b-a)(tinggi) = 1 Dan Tinggi =
Rata-rata dan Standar Deviasi untuk Distribusi Uniform
√ Contoh : sebuah mesin produksi sudah di atur untuk memproduksi kawat gigi sebanyak 5 unit per menit selama satu periode, ketika berat ditimbang, variasi antara bobot di mulai dari 41 – 47 gram F(x)
=
=
Rata2
=
Standar deviasi
=
√ √
5
2.1.1. Menentukan Probabilitas dalam Distribusi Uniform
Dengan distribusi diskrit, probabilitas menghasilkan nilai probabilitas, untuk distribusi kontinu, probabilitas di hitung dengan menentukan daerah pada interval dari fungsi tersebut, dan juga setiap nilai tunggal adalah mungkin akan tetapi memiliki probabilitas nol. Tidak ada area di bawah kurva untuk satu titik. Persamaan berikut digunakan untuk menentukan probabilitas x untuk distribusi seragam antara a dan b. Probabilitas dalam Distribusi Uniform
Di mana :
Probabilitas untuk interval yang mencakup a dan b adalah 1 (karena jumlah dari daerah antara area a dan b adalah 1). Probabilitas untuk
adalah nol
karena tidak ada daerah di atas b atau di bawah a Contoh Soal : Waktu yang dibutuhkan untuk merakit sebuah modul pelastik 27-39 detik dan waktu perakitan terdistribusi secara merata. Berapa probabilitas perakitan yang akan diberikan dalam waktu antara 30-35 detik? Kurang dari 30 detik?
√ √ 6
f(x)
Area = 1
27
39
x
Probabilitas untuk merakit sebuah modul kurang dari 30 detik adalah 0.2500 .karena tidak ada area yang kurang dari 27 detik menggunakan selang satu
titik
ditentukan dengan
. Dalam distribusi kontinu, tidak ada daerah di
(hanya
selama
interval).
Sehingga
probabilitas
7
2.2. Distribusi Normal Distribusi Gaussian (disebut juga Distribusi Normal) adalah salah satu penemuan terhebat sepanjang masa.Carl Friedrich Gauss yang menemukan distribusi yang mirip gunung simetris ini.Hampir tidak mungkin menghitung data populasi. Kalaupun bisa, ini akan memerlukan biaya dan waktu yang sangat besar. Coba lihat besarnya usaha sensus penduduk, berapa lama waktu yang diperlukan KPU menghitung hasil pemungutan suara. Dengan adanya penemuan Gauss ini, populasi bisa diestimasi dengan akurasi yang juga bisa diukur secara ilmiah, dengan sebagian data populasi yang diambil secara acak dengan syarat-syarat khusus.Sebuah grafik yang mewakili fungsi kepadatan dari distribusi probabilitas normal juga dikenal sebagai Kurva Normal atau Bell Curve. Salah satu kebutuhan untuk menetapkan dua parameter, mean dan deviasi standar. Dalam grafik harus memiliki rata-rata nol dan standar deviasi 1, yaitu, (µ = 0, σ = 1). Sebuah distribusi normal dengan rata-rata nol dan standar deviasi 1 juga dikenal sebagai Distribusi Normal Standar(baku). Distribusi normal merupakan salah satu jenis distribusi kontinum yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari.Contohnya adalah berat badan, tinggi badan, jarak dan kecepatan.Banyak variabel dalam bisnis dan industri yang berhubungan dengan distribusi normal seperti menghitung biaya asuransi, biaya produksi, biaya depresiasi peralatan, dsb.Maka, distribusi normal merupakan hal yang sangat penting untuk dipelajari dan merupakan dasar bagi kelanjutan materi statistika bisnis. Seperti halnya jenis distribusi yang lain, distribusi normal mempunyai beberapa karakteristik, yaitu :
Merupakan distribusi kontinum
Berbentuk simetris dan asimtotik terhadap garis horizontal
Mean = Median = Modus
Area dibawah kurva bernilai 1
8
2.2.1. Jenis Distribusi Probabilitas Normal
Bentuk dari distribusi ini dipengaruhi oleh 2 parameter yaitu : a. Nilai rata-rata b. Standar deviasinya Pada proses pembandingan bentuk kurva ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. a. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata sama dan standar deviasi berbeda. Semakin besar standar deviasi, maka kurva akan semakin pendek. Semakin tinggi nilai standar deviasi, maka kurva akan semakin runcing. b. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi sama. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yang sama, akan tetapi letaknya yang akan berbeda. c. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi yang berbeda. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yangberbeda sama sekali
9
2.2.2. Rumus Distribusi Normal
) ( √
Keterangan : μ = Mean σ = Standar Deviasi π
= 3,14
e = 2,71828
Rumus diatas merupakan rumus yang asli.Namun rumus tersebut sangat kompleks dan membutuhkan waktu yang sangat banyak untuk dikerjakan. Oleh karena itu, para ilmuwan lebih suka menggunakan rumus lain yang menggunakan tabel distribusi z. Namun sebelum menggunakan tabel z, kita harus mengetahui nilai z terlebih dahulu. Rumus untuk mencari nilai z adalah :
μ σ
Jika :
Nilai x lebih kecil dari μ maka nilai z negatif.
Nilai x lebih besar dari μ maka nilai z positif
Nilai x = μ maka nilai z = 0
Setelah mendapatkan nilai z, kita harus mengkonversikannya kedalam tabel distribusi z :
10
Cara menggunakan tabel z, yaitu harus mengetahui nilai z terlebih dahulu. Kemudian, cari kombinasi dari nilai z tersebut didalam tabel distribusi z. Misalnya kita akan mencari nilai 1,55. Didalam tabel z, nilai 1,55 didapat dari kombinasi antara 1,5 dengan 0,05, yaitu 0,4394
11
2.2.3. Contoh kasus
The Graduate Management Aptitude Company (GMAT) adalah perusahaan yang dikenal sebagai perusahaan yang melatih calon tenaga kerja bagi lulusan Sekolah Menengah Atas.Dalam beberapa tahun terakhir, lulusan GMAT memiliki nilai rata-rata 494 dan standar deviasi-nya adalah 100. Berapa probabilitas bagi lulusan GMAT yang memiliki nilai antara 494 dan 600 ?
Diketahui :
P(494 ≤ x ≤ 600)
μ = 494
σ = 100
12
Jawab :
σ μ =
= = 1,06
Nilai 1,06 pada tabel distribusi z adalah 0,3554
Kemudian langkah berikutnya adalah menggambar kurva dari data yang didapat sebelumnya
Jadi, probabilitasnya adalah 0,3554 x 100% = 35,54% 13
2.3. Distribusi Normal Terhadap Binomial
Pada materi sebelumnya dijelaskan mengenai distribusi probabilitas binomial, yang merupakan distribusi diskret. Tabel probabilitas binomial mencantumkan daftar untuk n=1 sampai n=15. Jika sebuah persoalan menggunakan sampel berukuran 60, maka menerapkan sebuah distribusi binomial untuk angka yang besar itu akan sangat menghabiskan waktu. Sebuah pendekatan yang lebih efisien adalah melakukan aproksimasi normal terhadap binomial ( normal approximation to the binomial ).
Menggunakan distribusi normal (sebuah distribusi kontinu) sebagai pengganti untuk distribusi binomial (sebuah distribusi diskret) untuk nilai n yang besar masuk akal karena, ketika n bertambah, distribusi binomial akan semakin mendekati distribusi normal.
n
=1
n
=3
n
= 20
P(x) 0,50 0,40
0,40
0,20
0,30
0,30
0,15
0,20
0,20
0,10
0,10
0,10
0,05
0
1
x
Jumlah Kejadian
0
1
2
3
Jumlah Kejadian
x
0
2
4
6 8
10 12 14 16 18 20
x
Jumlah Kejadian
Diagram 3.1: Distribusi Binomial untuk n 1, 3, dan 20, dengan P = 0,50.
14
Distribusi probabilitas normal merupakan aproksimasi yang baik untuk distribusi probabilitas binomial ketika nP dan n(1 - P) sama-sama kurang dari 5. Akan tetapi, sebelum melakukan aproksimasi normal, harus dipastikan terlebih dahulu bahwa distribusi kita sesungguhnya merupakan distribusi binomial. Perlu di ingat 4 kriteria dari distribusi binomial : 1. Hanya ada dua hasil yang saling lepas pada sebuah penelitian : sebuah “sukses” dan sebuah “gagal”. 2. Distribusi dihasilkan dari menghitung abgka sukses dalam sejumlah percobaan. 3. Probabilitas sebuah kejadian “sukses”, yang disebut P, tetap sama dari percobaan ke percobaan. 4. Setiap percobaan saling bebas.
2.3.1. Faktor Koreksi Kontinuitas
Untuk menunjukkan penerapan aproksimasi normal terhadap binomial, membutuhkan suatu faktor koreksi. Andaikan manajemen KFC mendapati bahwa 70 persen (p) pelanggan barunya akan datang kembali. Dalam satu minggu dimana terdapat 80 pelanggan (n) baru makan di KFC, berapa probabilitas 60 atau lebih ( x ≥ 60 ) dari mereka akan kembali untuk mencoba makanan lain ? Perhatikan bahwa kondisi-kondisi binomial terpenuhi : 1. Hanya ada dua probabilitas hasil (seorang pelanggan akan datang kembali atau tidak). 2. Kita dapat menghitung jumlah suksesnya, misalnya, sebagai contoh, bahwa 57 dari 80 pelanggan akan datang kembali. 3. Masing-masing percobaannya saling bebas, yang berarti bahwa jika pelanggan ke-34 datang kembali, hal ini
taidak akan mempengaruhi
pelanggan yang ke-58 untuk datang kembali atau tidak.
15
4. Probabilitas pelanggan datang kembali tetap 0,70 untuk seluruh pelanggan baru ini. Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus binomial :
x
P(x) = nCx (p) (1 – p)
n – x
Untuk menemukan probabilitas 60 atau lebih ( x ≥ 60 ) pelanggan datang kembali untuk mencoba menu yang lain, kita perlu mencari probabilitas tepat 60 pelanggan akan datang kembali.
60
P(x = 60) = 80C60(0,70)
20
(1 – 0,70) = 0,063
Berikutnya kita mencari probabilitas tepat 61 pelanggan akan datang kembali.
61
P(x = 61) = 80C61(0,70)
19
(1 – 0,70) = 0,048
Kita akan melanjutkan proses ini sampai kita mendapatkan probabilitas semua pelanggan yang akan datang kembali. Akhirnya, kita menjumlahkan probabilitas dari 60 sampai 80. Tetapi menyelesaikan persoalaan tersebut dengan cara ini sangatlah memakan waktu. Dengan menggunakan distribusi normal akan berarti perhitungannya akan jauh lebih sedikit dan lebih mudah daripada menggunakan distribusi binomial. Caranya adalah dengan membuat probabilitas diskret sebanyak 56 pelanggan direpresentasikan oleh luas di bawah kurva yang kontinu antara 55,5 dan 56,5. Kemudian, buat supaya probabilitas 57 pelanggan direpresentasikan oleh luas antara 56,7 dan 57,5 begitu seterusnya. Ini hanyalah cara untuk membulatkan angkaangkanya menjadi bilangan bulat. Oleh karena kita menggunakan distribusi normal untuk menentukan probabilitas binomial 60 kejadian sukses atau lebih, kita harus mengurangkan, pada kasus ini 0,5 dari 60. Nilai 0,5 itu disebut dengan faktor koreksi kontinuitas. Penyesuaian kecil ini harus dilakukan karena sebuah distribusi kontinu (distribusi
16
normal) digunakan untuk mengaproksimasi sebuah distribusi diskret (distribusi binomial). Maka, 60 – 0,5 = 59,5. Jadi faktor koreksi kontinuitas adalah nilai 0,5 dikurangkan atau ditambahkan, bergantung pada kasusnya, pada suatu nilai tertentu ketika probabilitas diskret diaproksimasikan oleh distribusi probabilitas kontinu.
2.3.2. Penerapan Faktor Koreksi
Dalam penerapan faktor koreksi kontinuitas ini tidak bisa digunakan dalam semua kondisi. Faktor koreksi hanya bisa diterapkan pada empat kondisi tertentu saja. Kasus atau kondisi yang pertama ialah saat probabilitas terjadi nilai X atau lebih, maka dengan kondisi tersebut gunakan luas di atas (X – 0,5). Pada kasus yang kedua yaitu saat probabilitas terjadinya nilai lebih dari X, maka gunakan luas di atas (X + 0,5). Kemudian, untuk kondisi yang dikehendaki untuk menerapkan faktor koreksi ialah saat probabilitas yang terjadi nilai X atau kurang, gunakan luas di bawah (X + 0,5). Dan yang terakhir, kondisi yang dikehendaki untuk menerapkan faktor koreksi ialah saat probaboliyas terjadi nilai kurang dari X, maka gunakan luas di bawah (X – 0,5). Untuk menggunakan distribusi normal dalam mengaproksimasi probabiitas 60 pelanggan atau lebih dari total 80 akan datang kembali, maka ada beberapa prosedur dan langkah yang harus dilakukan. Langkah pertama yang dilakukan adalah menetapkan atau mencari besaran nilai dari Z yang bersesuaian dengan X = 59,5 dengan beberapa rumus, yang mana hasil penghitungannya menemukan bahwa Z = 0,85. Kemudian pada langkah kedua yaitu langkah untuk menentukan luas dibawah kurva normal antara
= 56 dan nilai X = 59,5. Jika melihat pada hasil penghitungan
di langkah pertama, diketahui bahwa nilai z yang bersesuaian dengan 59,5 adalah 0,85, dan didapatkan bahwa nilai luas adalah 0,3023. Dan terakhir, yaitu langkah ketiga dimana menghitung luas di atas 59,5 dengan mengurangkan 0,3023 dari 0,5000 (0,5000 – 0,3023 = 0,1977). Jadi, 0,1977 adalah probabilitas 60 pelanggan atau lebih dari 80 pelanggan yang datang untuk pertama kali akan datang kembali.
17
Kesimpulannya adalah dengan menggunakan aproksimasi normal terhadap binomial adalah metode yang lebih efisien dalam memperkirakan probabilitas 60 pelanggan atau lebih akan datang kembali. Hasilnya sesuai dengan yang telah dihitung sebelumnya menggunakan distribusi binomial. Probabilitas menggunakan distribusi binomial adalah 0,197, sementara probabilitas menggunakan aproksimasi normal adalah 0,1977.
2.4 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan distribusi kontinu yang berhubungan dengan distribusi Poisson pada distribusi diskret. Dalam distribusi diskret, distribusi Poisson digunakan dalam mendeskripsikan kejadian secara sembarang (random) dalam beberapa interval. Disisi lain, dalam distribusi kontinu, distribusi eksponensial digunakan dalam mendeskripsikan kemungkinan atau peluang distribusi probabilitas diantara waktu kejadian sembarang (random). Dalam hal ini terdapat beberapa karakteristik yang dimiliki oleh distribusi eksponensial, yaitu: (1) Distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu, (2) Distribusi eksponensial merupakan keluarga distribusi, (3) Distribusi eksponensial memiliki nilai x yang memiliki jarak dari nol sampai tak terhingga, (4) Titik puncaknya selalu x=0, dan (5) kurvanya akan menurun secara terus menerus seiring bertambah besarnya nilai x. Rumus distribusi eksponensial ditentukan sebegai berikut:
f(x) = λ e^ ( - λx ) Dimana, X≥0 λ>0 e = 2,71828…
18
Distribusi eksponensial dapat kita golongkan menjadi karakteristik dengan satu parameter yaitu, λ. Dalam setiap nilai λ menentukan nilai distribusi eksponensial. Kemudian, nilai rata-
19
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Variabel kontinyu merupakan variable yang dapat memiliki nilai pecahan di dalam range tertentu. Dengan demikian, untuk distribusi variable ini tidak dapat disusun tabel yang menyatakan nilai probabilitas. Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva. Dalam Jenis distribusi kontinum sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti : berat badan, tinggi badan, jarak dan kecepatan. Banyak variabel dalam bisnis dan industri yang berhubungan dengan distribusi normal seperti menghitung biaya asuransi, biaya produksi, biaya depresiasi peralatan, dsb.Maka, distribusi normal merupakan hal yang sangat penting untuk dipelajari dan merupakan dasar bagi kelanjutan materi statistika bisnis.
20
DAFTAR PUSTAKA
Black, Ken. 2010. Business Statistics for Contemporary Decision Making, 6 th ed . John Wiley & Sons, Inc.
Douglas A. Lind, William G. Marchal, Samuel A. Wathen. 2008. Statistical Techniques in Business and Economics with Global Data Sets, 13
th
ed . The McGraw-
Hill Companies, Inc.
21
