Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS

MODUL III

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit dari populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan s ampel. Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Nilai-nilai distribusi diskrit terdiri atas hasil-hasil perhitungan sederhana dari sejumlah unit. Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk suatu variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat di daftar dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya. Sedangkan untuk suatu variabel random kontinyu, karena semua nilai pecahan yang dapat terjadu tidak dapat di daftar, probabilitas-probabilitas ditentukan dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatu fungsi kontinyu, atau kurva probabilitas. Oleh karena itu, dalam praktikum kali ini percobaan yang dilakukan dapat dikaji menggunakan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas yang digunakan kali ini adalah distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinyu.

1.2 Batasan Praktikum Adapun batasan-batasan yang digunakan selama pelaksanaan praktikum ini adalah : 1.

Data yang diambil berupa data primer.

2.

Tipe data yang digunakan adalah numeric.

3.

Untuk hasil probabilitas berupa bilangan desimal menggunakan lima angka dibelakang koma.

4.

Aplikasi distribusi diskrit terbatas 3 macam yaitu, binomial, hipergeometrik dan poisson.

5.

Aplikasi distribusi kontinyu terbatas 2 macam yaitu normal dan eksponensial.

1.3 Tujuan Praktikum Tujuan dari pelaksanaan praktikum ini adalah: 1.

Dapat memahami dan menguasai konsep distribusi dis tribusi probabilitas.

2.

Dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3.

Dapat membedakan konsep dari masing-masing distribusi.

4.

Dapat mengaplikasikan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas dalam menyelesaikan suatu permasalahan.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS

41


MODUL III

1.4 ManfaatPraktikum Manfaat yang diperoleh dari pelaksanaan praktikum ini adalah: 1.

Praktikan mampu memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.

2.

Praktikan dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3.

Praktikan mampu membedakan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas.


42


MODUL III

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Probabilitas Distribusi probabilitas merupakan nilai-nilai probabilitas yang dinyatakan untuk mewakili semua nilai yang dapat terjadi dari suatu variabel random X, baik dengan suatu daftar (tabel) maupun dengan fungsi matematis.

2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang

mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik yang terhingga) dan juga peluangnya. Adapun macam-macam distribusi diskrit adalah sebagai berikut :

2.2.1

Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut: 1.

Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2.

Tiap-tiap usaha memberikan memberikan hasil hasil yang dapat dikelompokan dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3.

Peluang kesuksesan kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari

satu usaha ke usaha

berikutnya. 4.

Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya. Rumus Distribusi Binomial

  ()

Sumber: Hasan (2004 : 57)

     

;

(2-1)

Gambar 2.1 Distribusi Binomial Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.2

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. Distribusi Hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut:


43


MODUL III

1.

Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi)

2.

k dari N item dapat diklasifikasikan di klasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal Rumus Hipergeometrik:

     () 

(2-2)



Sumber: Murwani (2007 : 63)

Gambar 2.2 Distribusi Hipergeometrik Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.3

Distribusi Geometrik

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses sukses yang yang pertama kali.

Fungsi distribusi

probabilitas geometrik:

  

(2-3)


Dimana x = 1,2,3,..p dan q adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal ). Rata- rata dan variansi distribusi probabilitas geometric adalah :

     

(2-4)


(2-5)


Gambar 2.3 Distribusi Geometrik Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.4

Distribusi Pascal ( Binomial Negatif)

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisikondisi berikut: a.

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

b.

Setiap percobaan (trial ( trial ) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal


44

DISTRIBUSI PROBABILITAS c.

MODUL III

Probabilitas sukses p, p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial ( trial )

d.

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa k berupa bilangan bulat tertentu

e.

Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak. Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah

sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana sukses ke-k terjadi diberikan oleh:

  ()       

(2-6)


Gambar 2.4 Distribusi Pascal Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.5

Distribusi Multinomial

Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Fungsi distribusi probabilitas multinomial adalah sebagai berikut

         

(2-7)

Sumber: Murwani (2007: 80)

Gambar 2.5 Distribusi Multinomial Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.6

Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

    untuk

(2-8)


Dimana :

α = rata- rata distribusi (yang juga merupakan variansi)  n.p


45


MODUL III

e = bilangan logaritmik natural ( e = 2.71828 ) Atau

  

(2-9)


Gambar 2.6 Distribusi Poisson Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

No.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tabel 2.1 Macam-macam Distribusi Probabilitas Diskrit Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus suatu distribusi Menentukan probabilitas bahwa terdapat 2 probabilitas yang dapat dari 4 kompenen yang ditest akan bertahan. digunakan bilamana suatu Distribusi Binomial Apabila probabilitas suatu alat tertentu akan proses sampling dapat tetap bertahan (tidak rusak) bila digetarkan diasumsikan sesuai dengan adalah ¾. proses Bernoulli distribusi probabilitas Mencari berapa peluang diperoleh 3 kartu Distribusi diskrit dari sekelompok hati, jika dari seperangkat kartu bridge Hipergeometrik obyek yang dipilih tanpa diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan. pengembalian Menghitung berapa probabilitas bahwa item mengukur jumlah ke 5 yang diawasi adalah yang pertama Distribusi percobaan sampai rusak. Jika pada suatu proses pembuatan alat Geometrik diperoleh sukses yang tertentu diketahui bahwa setiap 100 item pertama kali ada 1 yang rusak. Menentukan probabilitas bahwa kabel dapat bertahan pada saat dibebani V - 5dengan beban berlebih paling tidak 5 kali sebelum kabel tersebut diganti. Anggap suatu kabel terdiri dari beberapa kawat ya ng terususn jumlah suksesnya tertentu secara independent. Kadang-kadang kabel Distribusi Pascal sedangkan jumlah tersebut dibebani dibebani dengan beban berlebih; percobaannya yang acak pada saat itu probabilitas bahwa ada 1 kawat yang putus adalah 0.05. Asumsikan bahwa kegagalan 2 atau lebih kawat tidak sama. Kabel harus diganti bila 3 kawat sudah putus. digunakan untuk Menghitung berapakah peluang penentuan probabilitas mendapatkan jumlah 7 atau11 muncul duaan Distribusi hasil yang dikategorikan ke kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, Multinomial dalam lebih dari dua dan kombinasi lainnya 3 kali, apabila dua kelompok dadu dilantunkan 6 kali. Mencari probabilitas bahwa tidak ada badai bermanfaat dalam hujan tahun depan, dengan berdasarkan penentuan probabilitas data, badai hujan di suatu kota selama 20 Distribusi Poisson dari sejumlah kemunculan tahun, menunjukkan bahwa rata-rata pada rentang waktu atau terdapat 4 kali badai hujan per tahun. luas/volume tertentu Asumsikan kejadian badai hujan adalah proses Poisson.


46


MODUL III

2.3 Distribusi Kontinyu Distribusi kontinyu merupakan salah satu macam distribusi probabilitas, yaitu model matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas terjadinya nilai itu. Pada distribusi peluang kontinyu, peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada semua titik x. Karena itu tidak dapat dapat disajikan dalam bentuk bentuk tabel, tetapi tetapi dengan sebuah rumus. Distribusi probabilitas kontinyu terdiri atas beberapa macam yang akan dibahas pada sub bab dibawah ini.

2.3.1

Distribusi Normal/Gauss

Gambar 2.7 Kurva distribusi normal/gauss Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

Karakteristik Distribusi Normal 1.

Kurva berbentuk genta ( (= Md= Mo)

2.

Kurva berbentuk simetris

3.

Kurva normal berbentuk asimptotis

4.

Kurva mencapai puncak pada saat X= 

5.

Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. kiri. Fungsi dari Distribusi Normal adalah

     [ ]      √   

(2-10)

Sumber: Hasan (2004 : 72)

2.3.2

Distribusi Uniform

Distribusi probabilitas yg paling sederhana adalah jikalau tiap nilai variabel random memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih. a.

Distribusi Uniform Diskrit Jika variabel random X bisa memiliki nilai x 1,x2, …, xk dan masing-masing bisa muncul dengan probabilitas yg sama maka distribusi probabilitasnya diberikan oleh : f(x;k)=1/k untuk x= x1,x2, …, xk

(2-11)


Notasi f(x;k) menyatakan nilai fungsi f tergantung pada k! b.

Distribusi Uniform Kontinyu Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas:


47


MODUL III

Gambar 2.8 Distribusi Uniform Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.3

Distribusi Gamma

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh:

         







(2-12)


Dimana: f(x) = 0 ; untuk x yang lain. r dan λ adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan r > 0 dan λ > 0. r biasanya disebut dengan parameter bentuk λ disebut parameter skala. Fungsi Densitas Kumulatif:

       

(2-13)

          

(2-14)

Sumber: Murwani (2007)





Sumber: Murwani (2007)

Nilai probabilitas kumulatif dari Distribusi Gamma ini bisa dihitung dengan menggunakan bantuan tabel Tabel Kumulatif Poisson dengan rata rata λ k. k.

Gambar 2.9 Distribusi Gamma Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.4

Distribusi Beta

Distribusi Beta merupakan distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah. Fungsi beta didefinisikan dengan integral :

   ∫  

(2-15)



48


MODUL III

Gambar 2.10 Distribusi Beta Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.5

Distribusi Eksponensial

Pada saat  = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian. Variabel random kontinu X memiliki X memiliki sebuah distribusi eksponensial, dengan parameter , jika fungsi densitas ( pdf )-nya )-nya diberikan oleh:

         di mana  > 0

  

(2-16)


Gambar 2.11 Distribusi Eksponensial Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.6

Distribusi Weilbull

Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu.

       {      parameter

Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan

dan , jika fungsi padatnya berbentuk: berbentuk: (2-17)

Dengan α > 0 dan β > 0


Jika β = 1 maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial. Jika β > 1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.


49


MODUL III

Gambar 2.12 Distribusi Weibull Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.7

Distribusi Lognormal

Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi lognormal bila variabel acak Y = ln (X) memiliki suatu distribusi normal dengan mean  dan standar deviasi



. Fungsi kerapatan X

yang terjadi adalah:

       √     

(2-18)


Mean dan variansi dari distribusi lognormal masing-masing diberikan oleh

           

(2-19)

Sumber: KetutBuda.2009.http://probabilitydistribu KetutBuda.2009.http://probabilitydistributioninrelia.com tioninrelia.com

Gambar 2.13 Distribusi Lognormal Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.8

Distribusi Student (T)

Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan d inyatakan sebagai berikut:

    

(2-20)


Dimana: v = (n – 1) : derajat bebas. K = konstanta yang besarnya tergantung dari v. Fungsi Densitas Kumulatif dapat dilihat di tabel distribusi t.


50


MODUL III

Gambar 2.14 Distribusi Student (t) Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.9

Distribusi F

Distribusi F juga dikenal dengan sebutan distribusi F Snedecor atau distribusi FisherSnedecor (setelah R.A. Fisher dan George W. Snedecor). Snedecor). Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi . Fungsi Densitas dari Distribusi F dinyatakan sebagai berikut:

 

    

(2-21)


Dimana: f(x) = 0 ; untuk x yang lain. v1 = derajad bebas sampel 1 = n 1 – 1 v2 = derajad bebas sampel 2 = n 1 – 2 K = konstanta yang besanya tergantung v1 dan v2 Fungsi Densitas Komulatif dapat dilihat di tabel dis tribusi F.

Gambar 2.15 Distribusi F Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.10 Distribusi Chi Kuadrat (x2) Distribusi chi kuadrat banyak digunakan untuk pengujian statistik, seperti analisa variansi. Distribusi chi kuadrat adalah sebuah kasus distribusi gamma dengan

   

dan =2 dengan



adalah derajat kebebasan. Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi chi-Kuadrat, dengan

 

derajat kebebasan , jika fungsi kerapatannya diberikan oleh:

           



 

(2-22)



51


MODUL III

dimana   0 . Mean dan variansi dari distribusi Chi-Kuadrat masing-masing diberikan oleh    dan 

2



2

.

Gambar 2.16 Distribusi Chi-Square Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

No.

Jenis Distribusi

1.

Distribusi Normal/Gauss

2.

Distribusi Uniform

3.

Distribusi Gamma

4.

Distribusi Beta

5.


6.

Distribusi Weilbull

7.

Distribusi Lognormal

Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi Kontinyu Pengertian Contoh Kasus Menghitung peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya dari Salah satu distribusi penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang teoritis dari variabel berumur 40– 40–60 tahun didapatkan rata-rata random kontinu. kadar kolesterol (μ ( μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan Distribusi probabilitas yg hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. paling sederhana adalah Pemakaian ruang tersebut untuk rapat jikalau tiap nilai variabel singkat maupun panjang sama seringnya. random memiliki Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan probabilitas yg sama untuk lamanya sebuah rapat di ruang tersebut, terpilih. maka distribusinya uniform. Menghitung probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 r ibu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut, apabila Distribusi fungsi padat variabel acak kontinu X yang menyatakan yang terkenal luas dalam ketahanan suatu bantalan peluru (dalam bidang matematika. ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan  = 8 dan  = 15. Merupakan distribusi yang Menghitung persentase televisi merk memiliki batas atas dan tertentu yang terjual membutuhkan batas bawah perbaikan dalam dua tahun pemakaiannya. Pada saat  = 1, distribusi Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di gamma mengambil suatu suatu telepon umum, carilah peluangnya bentuk khusus yang bahwa anda harus menunggu: dikenal sebagai distribusi eksponensial. Menghitung data durasi seperti data interval Digunakan untuk kelahiran dan lamanya waktu hingga memodelkan waktu terjadinya kematian biasanya berkaitan kegagalan dari banyak dengan kelangsungan hidup (survival) suatu sistem fisik. objek yang sedang diamati agar kesimpulan berdasarkan asumsi akan lebih tepat. Variabel acak kontinyu X Representasi dari variabel acak yang memiliki distribusi logaritmanya mengikuti distribusi normal. lognormal bila variabel Model untuk waktu untuk melaksanakan acak Y = ln (X) memiliki tugas manual seperti merakit, inspeksi, atau suatu distribusi normal


52

DISTRIBUSI PROBABILITAS No.

8.

9.

10.

MODUL III

Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi Kontinyu (Lanjutan) Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus dengan mean  dan perbaikan. Jika data berdistribusi lognormal, mean geometris deskriptor yang lebih baik standar deviasi  . dari mean. Semakin data dekat dengan distribusi lognormal, semakin dekat mean geometris ke median, karena mengekspresikan dengan log menghasilkan distribusi yang simetris. Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan sebagai Menghitung nilai t α agar probabilitas di berikut: Distribusi Student sebelah kanan α = 0,05, apabila variabel (T)

Distribusi F

Distribusi Chi Kuadrat (x2)

        Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.

  

Sebuah kasus distribusi gamma dengan dan





=2 dengan adalah derajat kebebasan.

random T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v = 10.

Menghitung seberapa jauh pengaruh satu variabel bebas secara individual dalam menerangkan variasi variabel terikat yang bertujuan untuk menguji koefisien regresi secara individual. Mengitung nilai χ2 agar probabilitas di sebelah kanan α = 0,05, apabila variabel random x2 diketahui berdistribusi khi‐kuadrat dengan derajat kebebasan v = 10. α


53


MODUL III

BAB III METODOLOGI PRAKTIKUM 3.1 Diagram Alir Praktikum 3.1.1 Diagram Alir Praktikum Distribusi Hipergeometrik mulai

Identifikasi Masalah Studi Pustaka 30 Bola plastik Keranjang Stopwatch

Mengambil 4 bola

tidak

Menghitung bola kuning yang terambil

Apakah sudah 1o kali ?

ya

Mengolah data

Hasil praktikum distribusi hipergeometrik

Kesimpulan dan Saran

selesai

Gambar 3.1 Diagram alir praktikum p raktikum distribusi hipergeometrik


54

DISTRIBUSI PROBABILITAS 3.1.2

MODUL III

Diagram Alir Praktikum Distribusi Eksponensial mulai

Identifikasi Masalah Studi Pustaka 30 Bola plastik Keranjang stopwatch

Mengambil 1 bola tidak

Apakah sudah terambil bola ungu ? tidak

Menghitung waktu yang dibutuhkan

Apakah sudah 35 bola ungu yang terambil ?

ya

Mengolah data

Hasil praktikum distribusi eksponensial

Kesimpulan dan Saran

selesai

Gambar 3.2 Diagram alir praktikum distribusi eksponensial

3.2 Alat dan Bahan Praktikum Alat dan bahan praktikum yang digunakan kali ini dibedakan menjadi 2, yaitu alat dan bahan pada saat praktikum distribusi hipergeometrik dan distribusi eksponensial.

3.2.1


Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi hipergeometrik ini adalah : 1.

30 bola, 20 bola orange dan 10 bola kuning

2.

Keranjang

3.

Kain penutup keranjang

4.

Bolpoin

5.

Tabel pengamatan


55


MODUL III


Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi poison ini adalah : 1.

30 bola warna merah, kuning, biru, hijau dan ungu dengan proporsi yang sama

2.

Keranjang

3.

Kain penutup keranjang

4.

Stopwatch

5.

Bolpoin

6.

Tabel pengamatan

3.3 Prosedur Praktikum Pada praktikum kali ini, prosedur praktikum juga dibedakan menjadi 2 yaitu prosedur praktikum distribusi poison dan distribusi eksponensial

3.3.1


Adapun prosedur praktikum distribusi hipergeometrik adalah : 1.

Persiapkan alat dan bahan.

2.

Ada 30 bola plastik, 20 bola orange dan 10 bola kuning. Ambil 4 bola dalam keranjang tanpa pengembalian dengan 10 kali pengambilan

3.

Pernyataan BENAR apabila bola “kuning” yang terambil.

4.

Catat hasilnya dalam tabel pengamatan.

5.

Analisis dan interpretasi data.

6.

Kesimpulan dan saran.

7.

Menyusun laporan

8.

Selesai.

3.3.2


Adapun prosedur praktikum distribusi eksponensial adalah : 1.

Persiapkan alat dan bahan.

2.

Terdapat 30 bola plastik, diantaranya 6 bola warna merah,6 bola warna kuning,6 bola warna biru,6 bola warna hijau dan 6 bola warna ungu.

3.

Catat waktu yang dibutuhkan dalam 1 replikasi terambil bola warna ungu.

4.

Lakukan sebanyak 35 replikasi

5.

Analisis dan interpretasi data.

6.

Kesimpulan dan saran.

7.

Menyusun laporan

8.

Selesai.


56


MODUL III

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pengumpulan Data 4.1.1


Pada praktikum kali ini , praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi hipergeometrik dari jumlah bola kuning yang terambil dengan pengambilan 4 bola sekaligus setiap replikasinyadan replikasnya sebanyak 10 kali pada saat praktikum. Berikut merupakan hasil dari pengumpulan data yang diperoleh : Tabel 4.1 Pengamatan Distribusi Hipergeometrik Replikasi 1 2 3 4 5 6 7 8 TALLY (x) || |||| || || || || ||| || Dimana x = Jumlah bola kuning yang terampil (|)

4.1.2

9 |||

10 ||


Pada praktikum kali ini, praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi eksponensial dari pengambilan bola ungu sebanyak 35 kali dimana dalam pengambilannya waktu yang dibutuhkan dalam pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat praktikum. Berikut merupakan hasil dari pengumpulan data yang diperoleh : Tabel 4.2 Pengamatan Distribusi Eksponensial X( bola ungu) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9,9

8.73

29,57

19.67

32,87

3.3

40,56

7.69

52,77

12.21

59,9

7.13

61,84

1.94

63,48

1.64

65,71

2.23

67,17

1.46

68,99

1.82

X (bola ungu) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

13

76,8

7.81

31

148,88 148,88

3.06

14

82,11

5.31

32

151,61

4.98

15

83,74

1.63

33

157,33

2.73

16

85,88

2.14

34

159,15

5.72

17

101,22 101, 22

15.34

35

163,8

1.82

18

104,32

1.17

t

t

1,17

t

t

106,74

3.1

109,81

2.42

111,22 1 11,22

3.07

115,05

1.41

116,78

3.83

118,79

1.73

120,96

2.01

131,78

2.17

133,98

10.82

138,81

2.2

140,84

4.83

143,9

2.03

4.2 Pengolahan Data 4.2.1


Data distribusi hipergeometrik yang diambil pada praktikum ini berupa pengambilan 4 bola sekaligus dan kejadian yang dianggap sukses bila bola kuning yang terambil. Pengambilannya


57


MODUL III

diulang sebanyak sepuluh kali dan hasil pengambilan data terdapat pada tabel 4.1. Selanjutnya data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS dan manual.

4.2.1.1 Pengoahan SPSS Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas dari 4 bola yang terambil adalah sebagai berikut: Berikut ini merupakan pengolahan data dengan d engan menggunakan SPSS : 1. Mengaktifkan Variabel View Variabel View 2. Mengisikan x dan PDF pada kolom Name 3. Mengisi kolom Decimal dengan Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF 4. Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale 5. Aktifkan Data View 6. Isikan nilai x = 0, 1, 2, 3, 4 dengan formulasi Pdf.hyper (x, N, n, k) 7. Pada Menu Bar klik Transform klik Transform >> Compute Variable

Gambar 4.1 Langkah-langkah Pengujian Distribusi Hipergeometrik

8. Klik OK 9. Hasilnya adalah sebagai berikut : 10. Berikut rekapan hasil dari peluang 0 bola kuning terambil sampai 4 bola kuning terambil: Tabel 4.3 Rekapan Hasil Hipergeometrik X PDF(x,N,n,k) Hasil 0

Pdf.hyper (0,30,4,10)

0.17679

1

Pdf.hyper (1,30,4,10)

0.41598

2

Pdf.hyper (2,30,4,10)

0.31199

3

Pdf.hyper (3,30,4,10)

0.08758

4

Pdf.hyper (4,30,4,10)

0.00766


58


MODUL III

4.2.1.2 Pengolahan Manual X 0 1 2 3 4

Tabel 4.4 Perhitungan Peluang Empiris dan Teoritis tally Fi fk empiris teoritis 0 0 0 0 0.176793 0 0 0 0 0.415982 ||||||| 7 7 0.7 0.311987 || 2 9 0.2 0.087575 | 1 10 0.1 0.007663 Jumlah 10 10 1 1

Berikut ini adalah contoh perhitungan manual: 1.

Contoh perhitungan manual frekuensi empiris : X=2;

2.

     =

= 0,7

Contoh perhitungan manual frekuensi teoritis : x = 0 : f x (0;30,10,0) =

( ) (  ) ( )   1 





/

 1

= 0,176793

4.2.1.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis Berikut ini adalah grafik perbandingan data empiris dengan data teoritis pada distribusi hipergeometrik:

Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis 0.8 s 0.6 a t i l i b0.4 a b o r P 0.2

empiris teoritis

0 1

2

3

4

5

Nilai X

Gambar 4.2 Grafik perbandingan data empiris dan data teoritis

Berdasarkan grafik diatas maka dapat dilihat bahwa pada perhitungan empiris dan teoritis distribusi hipergeometri terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis. Perbedaan yang signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili populasi. Jika sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis akan sama. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yuang ada sudah mewakili populasi.


59


MODUL III


Data distribusi eksponensial eksponensial yang diambil pada pada praktikum ini berupa pengambilan pengambilan bola ungu sebanyak 35 kali sekaligus dimana dalam pengambilannya waktu yang dibutuhkan dalam pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat praktikumhasil pengambilan data terdapat pada tabel 4.2. Selanjutnya data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS dan manual.

4.2.2.1 Pengolahan SPSS Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas 4 bola yang diambil, diantaranya rentang waktu yang dibutuhkan adalah antara 8.31 detik sampai 10.7 detik, sebagai berikut: 1.

Berikut ini merupakan pengolahan data dengan menggunakan SPSS : Mengaktifkan Variabel View Variabel View

2.

Mengisikan x dan CDF pada kolom Name

3.

Mengisi kolom Decimal dengan Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada CDF

4.

Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale

5.

Aktifkan Data View

6.

Isikan nilai x = dengan formulasi Cdf.exp (λ ,batas ,batas kelas)

7.

Pada Menu Bar klik Transform klik Transform >> Compute Variable

8.

Klik OK

9.

Hitung dengan cara yang sama untuk nilai x lain secara satu persatu, karena SPSS tidak dapat mengolah nilai probabilitas secara keseluruhan, berikut rekapan hasil dari kelas dengan interval 1.41-4.42 sampai 19.53-22.54 : Interval 1.41-4.42 4.43-7.44 7.45-10.46 10.47-13.48 13.49-16.5 16.51-19.52 19.53-22.54

Tabel 4.5 Rekapan Hasil Perhitungan CDF CDF Lamda ( ) 0,172217 CDF.EXP(4.42,0.172217) - CDF.EXP(1.41,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(7.44,0.172217) - CDF.EXP(4.43,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(10.46,0.172217) - CDF.EXP(7.45,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(13.48,0.172217) - CDF.EXP(10.47,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(16.5,0.172217) - CDF.EXP(13.49,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(19.52,0.172217) - CDF.EXP(16.51,0.172217) 0,172217 CDF.EXP(22.54,0.172217) - CDF.EXP(19.53,0.172217)

Hasil 0.31730 0.18862 0.11213 0.06666 0.03963 0.02356 0.01400

4.2.2.2 Pengolahan Manual Berikut ini adalah hasil pengolahan manual dalam distribusi eksponensial: 1.

Range Range = data terbesar – data terkecil = 19,67– 1,41= 18,26

2.

Banyaknya kelas (k) Banyak data (n) = 34 Jumlah kelas (k) = 1 + 3,322 3,3 22 Log n = 1 + 3,322 Log 34 = 1 + 5,087 = 6,087 ≈ 7 kelas


60

DISTRIBUSI PROBABILITAS 3.

Panjang interval kelas Panjang interval kelas =

4.

Distribusi Frekuensi

MODUL III

   

3,02

Tabel 4.6 Data Distribusi Eksponensial Interval

fi

xi

Fixi

empiris

teoritis

1.41-4.42

21

2,685

56,385

0,618

0,317

4.43-7.44

6

5,74

34,44

0,176

0,189

7.45-10.46

3

8,765

26,295

0,088

0,112

10.47-13.48

2

11,805

23,61

0,059

0,067

13.49-16.5

1

14,845

14,845

0,029

0,040

16.51-19.52

0

17,885

0

0

0,024

19.53-22.54

1

41,85

41,85 41,85

0,029

0,014

Jumlah

34

103,575

197,425

1

Berikut ini adalah cara perhitungan teoritis dengan menggunakan Microsoft Excel .

Gambar 4.3 Cara perhitungan teoritis menggunakan Microsoft Excel

Contoh perhitungannya:

̅ ∑∑     ̅     =

λ =

5,8066176

0,172217

Cara menghitung data empiris: Untuk kelas = 1;

     

∑ 

Tabel 4.7 Perhitungan Teoritis Distribusi Eksponensial

No 1

2

3

4

Probabilitas λ k P = (1 – e 2) – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 4,42) – (1 – 2.71828 0,172217x1.41) P = 0,532894-0,215592=0,31 0,532894-0,215592=0,317302 7302 λ k λ k P = (1 – e 2) – (1 – e 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 7,44) – (1 – 2.71828 0,172217 x 4,43) P = 0,722323 - 0,533698= 0,188625 P = (1 – e -λ k 2) – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 10,46) – (1 – 2.71828 0,172217 x 7,45) P = 0,834931 - 0,722801= 0,11213 P = (1 – e -λ k 2) – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 13,48) – (1 – 2.71828 0,172217 x 10,47) P = 0,901872 - 0,835215= 0,066657

No

Probabilitas P = (1 – e – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 16,5) – (1 – 2.71828 0,172217 x 13,49) P = 0,941667 - 0,902041= 0,039625 P = (1 – e -λ k 2) – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 19,52) – (1 – 2.71828 0,172217 x 16,51) P = 0,941767 - 0,965323= 0,023556 P = (1 – e -λ k 2) – (1 – e -λ k 1) P = (1 – 2.71828 0,172217 x 22,54) – (1 – 2.71828 0,172217 x 19,53) P = 0,979368 - 0,965383= 0,014003 -λ k 2)

5

6

7


61


MODUL III

Gambar 4.4 Rekapan hasil perhitungan pada SPSS

4.2.2.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis Grafik Perbandingan Perbandingan Hasil Perhitungan Empiris dan Teoritis 0.700 n 0.600 a g n 0.500 u t i 0.400 h r e 0.300 P l i s 0.200 a H0.100

Empiris Teoritis

0.000 1.41- 4. 4.42

4.43-7. 44 44

7.45-10.46

10. 47 47 -1 -13.48

13. 49 49 -1 -16. 5

16. 51 51- 19 19. 52 52 19.53-22.54

Interval

Gambar 4.5 Grafik perbandingan hasil perhitungan empiris dan teoritis

Pada grafik diatas terlihat terlihat antara perhitungan empiris empiris dan teoritis hasil pengolahan data hasilnya hampir sama. namun pada interval pertama ada sedikit perbedaan pada hasil perhitungan empiris dan teoritis. hal ini dikarenakan sampel yang digunakan sudah mewakili populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yang ada sudah mewakili populasi.


62


MODUL III

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari praktikum modul 3 ini adalah sebagai berikut: 1.

Distribusi Hipergeometrik adalah banyaknya sukses dalam sampel sampel random berukuran berukuran n yang diambil dari populasi N (di mana di dalam N terkandung k sukses dan N- k gagal). Dalam pengolahan data distribusi hipergeometrik pada perhitungan empiris dan teoritis terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis. Perbedaan yang signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili populasi. Jika sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis akan sama. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yuang ada sudah mewakili populasi. Peluang terambilnya 0 bola kuning 0.176793, peluang terambilnya 1 bola kuning 0.415982, peluang terambilnya 2 bola kuning 0.31199, peluang terambilnya terambilnya 3 bola kuning 0.087575 dan peluang terambilnya terambilnya 4 bola bola kuning 0.007663.

2.

Distribusi Eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi eksponensial (distribusi eksponensial negatif alias) adalah keluarga dari distribusi probabilitas kontinu. Ini menggambarkan menggambarkan waktu antara peristiwa dalam proses Poisson, yaitu proses di mana peristiwa terjadi terus menerus dan mandiri pada tingkat rata-rata konstan. Ini adalah analog kontinu dari distribusi geometrik. Dalam pengolahan data distribusi eksponensial perhitungan empiris dan teoritis hasil pengolahan

data hasilnya hasilnya hampir sama. namun namun pada interval pertama pertama ada sedikit

perbedaan pada hasil perhitungan empiris dan teoritis, hal ini dikarenakan sampel yang digunakan sudah mewakili populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yang ada sudah mewakili populasi.

3.2 Saran Saran yang dapat diberikan untuk praktikum modul 3 adalah: 1.

Diharapkan lebih akurat dalam mencari data agar tidak terjadi kesalahan data.

2.

Diharapkan praktikan lebih teliti dalam perhitungan empiris dan teoritis agar tidak terjadi perbedaan data yang signifikan.


63

Modul 3 Distribusi Probabilitas

Recommend Documents