DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL Joko Susilo Program Studi Teknik Informatika, STMIK Provisi Semarang Email :
[email protected] :
[email protected] ABSTRAK Di str ibusi B inomi al ditemukan oleh seorang seorang ahl i matematika matematika berk berk ebangsaan bangsaan Swiss Swiss bern bern ama Jacob Bern Bern auli .Oleh kar ena i tu distribusi binomi al in i dik enal j uga se sebagai bagai distri busi busi bernaul i. Di stri busi busi bin omial berasal berasal dari percobaa percobaan n bin omial yaitu suatu prose proses Bern Bern oull i yang diul ang se sebanyak banyak n k ali dan salin salin g bebas bebas.. Suatu distribusi Bernoul li dibentuk dibentuk oleh suatu suatu percobaa percobaan n Bernoul li ( Bernoul li tri al). Se Sebuah percobaan percobaan Bernoul li h arus memenuhi memenuhi syarat:K syarat:K elu aran (outcome) (outcome) yang mungki n hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka probabil it as gagal q = 1 – – p.
) Rumu s : ( )
( ( ))
Keywords : Distribusi Binomial; Bernoulli; Statistika; Diskret I.
PENDAHULUAN
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial.Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. II.
LANDASAN TEORI
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yangdihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial Suatu percobaan akan dinamakan dengan percobaan Bernoulli bila memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. Percobaan diulang sebanyak n kali.
2.
Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas,misal:
3. 4.
“SUCCESS” or “FAILED”. “SIANG” atau “MALAM” “YA” atau “TIDAK”; “BAIK “ atau “CACAT” “MENANG” atau “KALAH”
Peluang berhasil, yang dilambangkan p, untuk setiap ulangan sama, tidak berubah-ubah. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas dan tidak sama.
Peluang berhasil atau sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1- p. Setiap ulangan bersifat bebas (independen), satu dengan lainnya. Percobaannya terdiri atas n ulangan. Dan: a. Tiap percobaan dirumuskan dengan dengan ruang sampel {A,B}yaitu, sukses atau gagal. b. Probabilitas sukses pada tiap percobaan haruslah sama dan dan dinyatakan dengan p. c. Setiap percobaan harus bersifat bebas ( independent ). d. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu. Simbol peristiwa Binomial b (x,n,p) • b=binomial • x=banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random) • n= Jumlah trial p= peluang sukses dalam satu kali trial.
( )
( )
Dimana: • P(x)/b = Nilai probabilitas binomial • p = Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan • x = Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
n = Jumlah total percobaan q = Probabilitas gagal suatu kjadian yang diperoleh dari q = 1 – p III. PEMBAHASAN Contoh Soal : • •
1. X = Banyaknya Gambar Yang mucul dari 5kali pelemparan uang koin / 5 uang koin d engan 1x lemparan: S={aaaaa = 0 , aaaag = 1 , aaaga = 1 , aaagg = 1 , aagaa = 1 , aagag = 1 , aagga = 2 , aaggg = 2 , agaaa = 2 , agaag = 2 , agaga = 2 , agagg = 2 , aggaa = 2 , aggag = 2 , aggga = 2 , agggg = 2 , gaaaa = 3 , gaaag = 3 , gaaga = 3 , gaagg = 3 , gagaa = 3 , gagag = 3 , gagga = 3 , gaggg = 3 , ggaaa = 3 , ggaag = 3 , ggaag = 4 , ggagg = 4 , gggaa = 4 , gggag = 4 , gggga = 4 , ggggg = 5 }=32 0=1;1=5;2=10;3=10;4=5;5=1 P(X=0)=(1/2)^5=1/32 P(X=1)=1/32x5=5/32 P(X=2)=(5x4)/2!=20/2=10x(1/32)=10/32 P(X=3)=5!/3!=10x(1/32)=10/32 P(X=4)=5!/4!=5x(1/32)=5/32 P(X=5)=(1/2)^5=1/32 Total = 1/32+5/32+10/32+10/32+5/32+1/32 32/32 =1
P(X)=(n!/X!(n-X)!).(1/32) n= 5 (lemparan/koin) X= 2 (Gambar yang mucul) 32= Total Elment P(X=2)=(5!/2!(5-2)!).(1/32) 5!/(2!x3!).(1/32) ((5x4x3!)/2!x3!).(1/32) (5x2).(1/32) 10/32 2. PT Moena Jaya Farm (MJF) mengirim buah semangka ke Hero supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang dikirim lolos seleksi. PT MJF setiap hari mengirim 15 buah semangka dengan berat 5-6 Kg. a. Berapa probabilitas 15 buah diterima? b. Berapa probabilitas 13 buah diterima? c. Berapa probabilitas 10 buah diterima? Selain menggunakan rumus diatas kita dapat juga menggunakan formula atau rumus bawan dari Aplikasi Microsoft Office yang khususnya Microsoft Excel. Untuk penggunaanya cukup mudah : 1. Dari lembar baru Microsoft Excel pilih Formula (Excel 2007-2013)
2. Kemudian pilih Insert Function yang berada paling kiri. Pada bagian “Or select a category” pilih Statistical 3. Selanjutnya pilih BINOMDIST dan klik OK
4. Isikan nilai yang akan di proses dengan ketentuan sebagai berikut : a. Number_s (x) = banyaknya sukses yang di inginkan b. Trails (n) = Jumlat Trial / Percobaan c. Probability_s (p) = Peluang sukses dalam satu kali Trial
Peristiwa Sukses
Jumlah Percobaan
Probabilitas Sukses
Binomial
A
15
15
90%
0.206
B
13
15
90%
0.267
C
10
15
90%
0.010
15 = 0,206 x100% = 20,6% 13 = 0,267 x100% = 26,7% 10 = 0,01 x 100% =10,0% Jadi probabilitas untuk diterima 15 buah = 20,6%, diterima 13 buah = 26,7% dan diterima 10 buah = 10,0% IV. KESIMPULAN
Distribusi Binomial di temukan oleh ahli matematika dari kebangssan Swiis yang bernama Jacob Bernauli. Sehingga Distribusi Binomial sering disebut DIstribusi Bernauli yang merupakan percobaan yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Dengan syarat : adanya keluaran (outcome) Sukses atau Gagal. Jika Probabilitas Sukses (p), maka Probabilitas Gagal (q) = 1-p. V. DAFTAR PUSTAKA Chris Bouncher, Wolfram Demonstrations Project, 2007. "Binomial
Distribution" http://demonstrations.wolfram.com/BinomialDist ribution/ 1:03:55 PM Friday, June 28, 2013. http://cyber-learn.blogspot.com/2008/09/modul-distribusi binomial.html 1:04:52 PM Friday, June 28, 2013. http://www.gudangmateri.com/2009/12/distribusi-binomialsuatu-percobaan.html 1:05:37 PM Friday, June 28, 2013. http://berandakami.wordpress.com/citama/ 1:07:47 PM Friday, June 28, 2013
