MAKALAH STATISTIKA MATEMATIKA I “DISTRIBUSI NEGATIF BINOMIAL”
Disusun oleh : Kelompok 5/ PMtk 3C 1. Tri Yunita
(1714500010) (1714500010)
2. Desi Arumsari
(1714500045) (1714500045)
Universitas Pancasakti Tegal Jl. Halmahera Km. 1 Kota Tegal – Telp Telp (0283) 351082 2015
DISTRIBUSI NEGATIF BINOMIAL
Distribusi negatif binomial adalah distribusi hasil percobaan Bernoulli yang diulang sampai mendapatkan sukses ke-k. Seperti yang di jelaskan pada sub bab sebelumnya, distribusi binomial merupakan percobaan yang terdiri atas ulangan-ulangan dengan pemulihan yang mempunyai dua kemungkinan. Sekarang kita akan mencoba suatu percobaan yang mirip dengan binomial, tetapi dengan pengulangan yang terus menerus sampai terjadi sejumlah keberhasilan tertentu. Bila x menyatakan banyaknya ulangan yang menghasilkan x keberhasilan, probabilitas terjadinya keberhasilan pada ulangan bebas ke k didahului oleh keberhasilan k – 1 dan k – x kegagalan, distribusi peubah acak x merupakan banyaknya ulangan sampai terjadinya x keberhasilan. Akan tetapi , karena masingmasing ulangan bebas satu sama lain, mereka perlu dikalikan dengan semua probabilitas p dan kegagalan dengan q = 1 – p. Dengan demikian, probabilitas x
k-x
urutannya berakhir pada keberhasilan, yaitu p q . Sekarang tinggal menghitung banyaknya kombinasi yang mempunyai keberhasilan x dan kegagalan (k – x). Selanjutnya banyak titik kombinasi ini dikalikan dengan p xqk – x untuk mendapatkan rumus umum distribusi binomial negatif. Dengan kata lain, jika suatu percobaan binomial negatif mempunyai probabilitas keberhasilan p dan probabilitas kegagalan q, distribusi probabilitas peubah acak x adalah banyaknya ulangan sampai terjadinya x keberhasilan sehingga secara matematis distribusi binomial negatif dirumuskan menjadi :
∗; , = −,
= , + , + , …
Di pandang percobaan Binomial, misal X menyatakan banyaknya percobaan yang dibutuhkan untuk memperoleh r sukses yang pertama. Maka distribusi peluang X adalah distribusi binomial negatif, dinotasikan X~NB(r,p), dan fdp diskritnya diberikan dengan :
−, ; , = − −
= , + , …
( )
Persamaan (1) dapat diperoleh langsung dari distribusi binomial. Kejadian
− 1 sukses pada x − 1 trial yang pertama, dan satu sukses pada trial ke-x. Peluang r − 1 sukses pada x − 1 trial − merupakan peluang binomial −−(− )−, dan sukses pada trial ke-x {X = x} dapat terjadi hanya jika terdapat tepat r
mempunyai peluang p. Sehingga dengan menggandakan kedua peluang ini, diperoleh persamaan (1). Distribusi binomial negatif kadang didefinisikan dalam pengertian variabel random Y: banyaknya kegagalan sebelum memperoleh r sukses. Secara statistik, rumusan ini akan ekuivalen dengan rumusan dalam pengertian X di atas, karena Y = X – r. Dengan menggunakan hubungan antara Y dan X, alternatif lain dari distribusi binomial negatif adalah
; , = + − ,
= , , …
Masalah binomial negatif kadang menunjuk pada sampling invers binomial. Misalkan X~NB(r,p) dan W~B(n,p), dapat diperoleh
≤ = ≥ Yakni, W ≥ r berkaitan dengan kejadian memperoleh r atau lebih sukses dalam n trial, dan ini berarti sebanyak n atau kurang trial akan diperlukan untuk memperoleh r sukses pertama. Jelasnya, distribusi binomial negatif dapat diekspresikan dalam pengertian fdk binomial dengan hubungan
; , = ≤ = − − ; , = ( − ; , )
Contoh Soal :
1. Probabilitas 3 4
campuran
beton
tidak
rusak
ketika
dijatuhkan
adalah
. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 campuran beton yang dijatuhkan
tidak rusak? Penyelesaian : Diket
: Di asumsikan “sukses = tidak rusak” x=2
Ditanya
p=
k=4
3
q=1
4
−
3 4
=
1 4
: Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 campuran beton yang
dijatuhkan tidak rusak?
p q − b∗ 2;4, = ( ) (1 − ) − = ( ) ( ) = (0.5625)(0.0625)
: b∗ x;k,p =
Jawab
3 4
k x
x k x
4 2
3 2 4
4 2
3 2 1 2 4 4
3 4 2 4
4 2
= 0.2109375
Jadi, probabilitas 2 dari 4 campuran beton yang dijatuhkan tidak rusak adalah 0.2109375.
2. Seorang peneliti tengah menginokulasi beberapa tikus putih dengan menyuntikkan virus yang menyerang metabolisme pencernaan sampai ia memperoleh 3 ekor tikus putih terserang penyakit tersebut. Bila probabilitas terjangkit penyakit itu adalah 25%, berapa probabilitas bahwa dalam percobaan itu diperlukan 10 ekor tikus? Penyelesaian : Diket
:x=3
p= Ditanya
25 100
k = 10
= 0.25
q=1
− 0.25 = 0.75
: Berapa probabilitas bahwa dalam percobaan itu diperlukan 10
ekor tikus? Jawab
p q − b∗3; 10,0.25 = (0.25) (1 − 0.25) : b∗ x;k,p =
k x
10 3
x k x
3
−
10 3
(0.25) (0.75) = (0.015625)(0.133483886)
=
10 3
3
7
10 3
= 0.250282286 Jadi probabilitas diperlukannya 10 ekor tikus putih untuk 3 ekor tikus yang terserang penyakit adalah 0.250282286.
3. Tim A dan Tim B bertanding dalam seri pertandingan “seven-game”. Yaitu seri pertandingan akan berakhir apabila salah satu tim memenangkan empat pertandingan. Untuk setiap pertandingan, P(A menang) = 0.6 dan pertandingan diasumsikan independen. Berapa peluang bahwa seri pertandingan tersebut akan berakhir tepat pada pertandingan ke-enam? Penyelesaian : r=4
p = 0.6
q=1
− 0.6 = 0.4
Diket
:x=6
Ditanya
: Berapa peluang bahwa seri pertandingan tersebut akan berakhir
tepat pada pertandingan ke-enam? Jawab
: P(A menang dalam pertandingan ke-6)
xr −− 11 p q − − f(6;4,0.6) = − 0.6 1 − 0.6 − 5 = 0.6 0.4 3 5 = 0.1296 0.16 3
r x r
f x;r,p =
6 1 4 1
4
4
6 4
2
= 0.20736 P(B menang dalam pertandingan ke-6)
xr −− 11 p q − − f(6;4,0.4) = − (0.4) (1 − 0.4) − 5 = (0.4) (0.6) 3 5 = 0.0256 3
r x r
f x;r,p =
6 1 4 1
4
4
6 4
2
= 0.09216 P(seri berjalan 6 pertandingan) = 0.20736 + 0.09216 = 0.29952 Jadi, peluang bahwa seri pertandingan tersebut akan berakhir tepat pada pertandingan ke-enam adalah 0.29952.
4. Jika dalam contoh 3 kita tertarik menghitung peluang bahwa tim A memenangkan seri pertandingan dalam maksimal enam pertandingan, maka : x = 6, r = 4 dan p = 0.6 Penyelesaian : P(A menang dalam maksimal 6 kali pertandingan)
≤ x = P[X ≤ 6] = f x;r,p = f 6; 4, 0.6 − 1 (0.6) (0.4)− = 3 = B2; 6,0.4 6 = (0.4) (0.6) −
PX
6
4
4
=4
2
6
=0
= 0.5443 Ini berarti peluang memenangkan seri pertandingan dalam maksimal enam kali pertandingan ekuivalen dengan peluang menerima kekalahan dalam maksimal dua pertandingan dari enam pertandingan.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.rumusstatistik.com/2012/07/rumus-distribusi-binomial-negatif.html Chytrasari, A. Nina Rosana. (2005). Statistika Matematika I. Tegal: Universitas Pancasakti Tegal. http://hmtsfst.ukm.unsoed.ac.id/files/2012/06/distribusi-binomial-negatif-tugasstatistik1.pdf