statistik probabilitas

Diktat Kuliah Statistik Probabilitas – STMIK PROVISI Semarang Oleh : Achmad Solechan, S.Kom., S.Kom., M.Si.

TEORI PROBABILITAS PROBABILITAS (PERTEMUAN KEDUA)

A. PROB PROBAB ABIL ILIT ITAS AS Untuk menghadapi keadaan yang tidak pasti, biasanya orang hanya mengandalkan tebakan. tebakan. Dari tebakan tersebut, tersebut, muncul muncul kemungkinan kemungkinan atau peluang peluang atau probabili probabilitas tas kejadi kejadian an yang yang bersan bersangku gkutan tan yang yang kemudi kemudian an melahi melahirka rkan n sebuah sebuah teori teori yang yang dikena dikenall dengan teori probabilitas. Teori ini bermula dari permainan judi di Eropa yang kemudian dirint dirintis is secara secara ilmiah ilmiah pada pada sekita sekitarr abad abad ke-17. ke-17. Dimula Dimulaii dari dari surat surat menyur menyurat at antara antara Cheval Chevalier ier de Mere Mere seoran seorang g bangsa bangsawan wan Peranc Perancis is dengan dengan seoran seorang g bernam bernama a Blaise Blaise Pascal yang merupakan seorang ilmuwan. Penemu Penemu probab probabili ilitas tas lainny lainnya a antara antara lain lain : Jacob Jacob Bernou Bernoulli lli,, Abraha Abraham m de Moivre Moivre,, Reverand Reverand Thomas Bayes serta Josep. Josep. Teori-teori Teori-teori umum mengenai mengenai probabili probabilitas tas lahir lahir sekitar abad ke-19 setelah Pierre Simon dan Marquis Laplace menyatukan konsepkonsep dari para pendahulunya. Probabilit Probabilitas as juga sering diterjemahkan diterjemahkan ke dalam kata peluang. peluang. Teori probabilitas probabilitas sangat sangat luas penggunaannya penggunaannya,, baik dalam kehidupan kehidupan sehari-hari sehari-hari maupun maupun di kalangan kalangan ilmuwan. Sering kita mendengar perkataan mungkin dia sakit; kemungkinan besar hari ini akan akan huja hujan; n; mung mungki kin n saya saya bisa bisa mend mendap apat at nila nilaii A dala dalam m pela pelaja jara ran n Stati Statisti stika ka,, dan dan sebagainya. Perkataan-perkataan kemungkina kemungkinan n tersebut tersebut di dalam dalam teori probabilitas probabilitas diterjemahka diterjemahkan n menjad menjadii angkaangka-ang angka, ka, sehing sehingga ga untuk untuk selanj selanjutn utnya ya dapat dapat diolah diolah dengan dengan menggu menggunak nakan an Matema Matematika tika.. Seoran Seorang g manage managerr pemasa pemasaran ran terlebih terlebih dahulu dahulu melihat melihat besamya besamya peluang peluang produknya untuk merebut pasar, sebelum dia melemparkan produknya. Teor Teorii prob probab abililit itas as ini ini seri sering ng digu diguna naka kan n oleh oleh para para peng pengam ambi bill kepu keputu tusa san n untu untuk k memutuskan apa yang harus dilakukan selanjutnya atau apa yang harus dipilih. Sebelum mempe mempela laja jari ri perhi perhitun tunga gan n di dalam dalam proba probabi bilit litas, as, terle terlebi bih h dahu dahulu lu akan akan dije dijela laska skan n beberapa istilah yang sering digunakan. digunakan. Dala Dalam m statis statisti tika ka kita kita meng menggu guna naka kan n kata kata perc percob obaa aan n untu untuk k suat suatu u pros proses es yang yang menghasilkan data, baik data dalam jumlah kecil ataupun besar. Sebelum melakukan percoba percobaan an kita sudah sudah dapat dapat menduga menduga kemungkin kemungkinan-ke an-kemung mungkina kinan n hasil hasil yang akan keluar jika percobaan telah berlangsung. Jika kita mencabut satu kartu secant acak dari satu set kartu bridge, maka kita dapat menduga bahwa kemungkinan kartu itu adalah As, King, 10 speed, speed, dan lain-lai lain-lain. n. Kita dapat membuat dugaan sebanyak 52 sesuai dengan jumlah kartu dalam satu set kartu bridge. Ke-52 kemungkinan ini disebut ruang contoh untuk percobaan mencabut satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge. 1

Diktat Kuliah Statistik Probabilitas – STMIK PROVISI Semarang Oleh : Achmad Solechan, S.Kom., S.Kom., M.Si.

Defenisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan S. Untu Untuk k memp memper erje jela las s peng penger erti tian an ruan ruang g conto contoh h di alas alas,, mari marila lah h kita kita baya bayang ngka kan n percobaan melempar mata uang. Kemungkinan hasil yang akan kcluar ada dua sisi yaitu sisi sisi inuka inuka dan belaka belakang. ng. Maka Maka ruang ruang contoh contoh percob percobaan aan melemp melempar ar mata mata uang uang sekali sekali adalah sisi muka dan belakang. Conto Contoh h untuk untuk pele pelemp mpar aran an mata mata uang uang memp mempun unya yaii 2 titik titik conto contoh h yait yaitu u M dan dan B. Percobaan mencabut satu kartu dari satu set kartu bridge mempunyai 52 titik contoh. Titik contoh yang terhingga dapat didata ke dalam bentuk himpunan seperti contoh di atas, atau ke dalam bentuk label.

B. HIMP IMPUNA UNAN Himpunan merupakan sekumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda dibeda-be -bedak dakan. an. Setiap Setiap objek objek yang yang secara secara kolekt kolektif if memben membentuk tuk himpun himpunan an terseb tersebut ut disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut. Himpun Himpunan an dilamban dilambangka gkan n dengan dengan pasanga pasangan n kurung kurung kurawal kurawal {

} dan bilanga bilangan n

biasanya dinyatakan dengan huruf besar seperti A, B, C. Anggota himpunan ditulis dengan dengan lambang lambang ∈, bukan bukan anggot anggota a himpun himpunan an dengan dengan lambin lambing g ∉. Dala Dalam m stati statisti stic, c, himpunan dikenal sebagai populasi. 1.

Unsur himpunan

Unsur himpunan ditulis satu per satu dengan contoh : A = {a, i, u, e, o} B = {1, 2, 3, 4, 5} 2.

Ciri-ciri himpunan

Ciri-c Ciri-ciri iri himpun himpunan an dituli ditulis s dengan dengan menyeb menyebutka utkan n ciri-c ciri-ciri iri dari dari himpun himpunan an tersebu tersebut, t, contoh : A = {X : x huruf hidup} B = {X : 1 < x < 2 }

3.

Operasi himpunan

a. Operasi gabungan (simbol = ∪) Gabungan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B atau di dalam A dan B sekaligus. Contoh A ∪ B digambarkan sebagai berikut :

2

Diktat Kuliah Statistik Probabilitas – STMIK PROVISI Semarang Oleh : Achmad Solechan, S.Kom., M.Si.

S

A

B

Diagram Venn dari A ∪ B

Contoh soal : Jika diketahui S = {X: 0 ≤ x ≤ 10} P = {2,3,5,7} G = {2,4,6,8,10} Tentukan P ∪ G ! Jawaban : P ∪ G = {2,3,4,5,6,7,8,10}

LATIHAN 1 Perhatikan ruang sampel berikut S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang} yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian antara lain : A = {bus, kereta api dan pesawat terbang} B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang} C = {sepeda} Tentukan A ∪ B ∪ C !

b. Operasi irisan (simbol = ∩ ) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure yang termasuk di dalam A dan B. Irisan dari himpunan A dan B dilambangkan A ∩ B atau AB dan dituliskan A ∩ B = {X : x∈ A dan x∈ B}

3


S

A

B

Diagram Venn dari A ∩ B Contoh soal : Jika diketahui S = {X: 2 ≤ x ≤ 8} P = {2,3,5,7} G = {2,3,4,6} Tentukan P ∩ G ! Jawaban : P ∩ G = {2,3}

LATIHAN 2 Perhatikan ruang sampel berikut S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang} yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian antara lain : A = {bus, kereta api dan pesawat terbang} B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang} C = {sepeda} Tentukan A ∩ B ∩ C !

c. Operasi selisih (simbol -) Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A ∩ BC. Dituliskan {X: x ∈ A dan x ∉ B} atau {X: x ∈ A dan x ∉ BC}

4


S

A

B

Diagram Venn dari A - B Contoh soal : Jika diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} P = {2,3,5,7} G = {2,4,6,8} Tentukan P - G ! Jawaban : P - G = {3,5,7}

d. Kardinalitas himpunan Teori yang ada : n(A∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(A∪ B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AB) - n(AC) - n(BC) + n(ABC) Kardinalitas himpunan disimbolkan dengan n(A) artinya bilangan kardinalitas himpunan A atau jumlah anggota himpunan A.

Contoh soal : Suatu kelas yang jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang diantaranya senang statistic, 40 orang senang matematika, serta 30 orang senang statistic dan matematika. a. Berapa orang yang tidak senang statistic dan matematika b. Gambarkan diagram venanya ? Jawaban :

1. Menghitung orang yang tidak senang statistic dan matematika n(S) = 70 orang, n(S t) = 50 orang, n(M) = 40 orang, n(S t∩ M) = 30 orang. n(St∪ M)

= n(St) + n(M) - n(S t ∩ M) = 50 + 40 – 30 = 60 orang 5


n(St∩ M)c

= n(St) - n(St ∩ M) = 70 – 60 = 10 orang

2. Diagram vennnya sebagai berikut :

S 30

20

10 10

St

M

Diagram Venn dari A - B

LATIHAN 3 Apabila diketahui : A = {1,2,3,4,5…13} B = {2,3,5,7,11,13} P = {2,4,6,8,10} Tentukan anggota himpunan berikut ini :

a. A ∪ B b. A ∩ B c. P

d. B ∩ A e. A - B C. FAKTORIAL Faktorial adalah perkalian dari semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan yang bersangkutan atau sebaliknya. Faktorial dilambangkan dengan “

!

“

Contoh soal : Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut :

a. 5 ! b. 3! X 2 !

c. 6! / 2! 6


Jawaban

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 b. 3! = 3 x 2 x 1 = 12 c. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 4!

4x3x2x1

D. PERMUTASI Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu. Contoh :

1. Ada tiga obyek yaitu ABC, pengaturan obyek tersebut adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 obyek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda. Sehingga rumusnya : 4P4 = 4! = 24

2. Pengaturan 4 huruf dari 6 huruf pertama dalam abjad menghasilkan 360 cara yang berbeda Sehingga rumusnya : 6! 6P4 = _____________ = 360 ( 6 –4 )!

3. Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorang ketua, sekretaris dan bendahara.

a. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih ? b. Tuliskan kemungkinan susunannya ? Jawaban : n = 4 dan r = 3 a.

4! 4x3x2x1 4P3 = _____________ = ____________________ = 24 ( 4–3)! 1

b.

Kemungkinan susunannya adalah : ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

7


4. Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam beberapa cara keempat orang itu dapat diatur sekeliling meja tersebut. Jawaban : n=4 P=

(n-1)!

=

(4-1)!

=

(3)!

=

6 cara

LATIHAN 4 Tentukan nilai dari permutasi berikut ini ! 7

a.

P 3

b.

P 3

c.

P 4

d.

P 5

6

9

8

E. KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan obyek tersebut. Contoh : Ada 4 objek yaitu A, B, C, D. kombinasi 3 dari obyek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan obyek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu : ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ABD = ADB = BAD = BDA= DAB = DBA ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DBC Rumus-rumus kombinasi antara lain :

1. Kombinasi r dari n obyek yang berbeda dirumuskan : n

C r

=

n! r !( n

−r )!

, n ≥ r

Contoh : a. Tentukan nilai dari

Jawab :

6

C 4

=

6

C 4

6! 4!(6 − 4)!

= 15

8


b. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk ?

Jawab :

5

C 2

=

5! 2!(5 −2)!

= 10

2. Hubungan permutasi dengan kombinasi Hubungan antara permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut : n

n

n

P r = r !.C r

n

atau

C r

=

P r

, n ≥ r

r !

Contoh : Tentukan nilai permutasi dari kombinasi dari

4

P 3

dan

4

C 3

Jawab : 4

P 3

= 3!.C 34 = 3! x

4! = 6 x 4 = 24 3!( 4 3)!

−

4

4 C 3

=

P 3

3!

= 24 / 6 = 4

LATIHAN 5 Seorang mahasiswa diminta untuk menjawab 7 dari 10 pertanyaan yang diberikan. Hitunglah kombinasi soal yang mungkin dapat dikerjakannya dalam ujian tersebut !

9


TEORI PROBABILITAS (PERTEMUAN KETIGA)

A. KAIDAH BAYES Kaidah Bayes atau Teori Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Inggris tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Kaidah Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace. Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi. Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (missal A) dengan syarat peristiwa lain (misal X) telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa X dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas. Kaidah Bayes ini menyatakan jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exclusive) yaitu misalkan A1, A2, A3, …. An yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila ada peristiwa lain (missal X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A 1, A2, A3, … . An dengan diketahui peristiwa X tersebut, maka : P(Ai / Xi ) =

P(A i )P(X i /A i ) R

Keterangan : i = 1,2,3,4 … n R=

∑P(A

i

). P ( X i /

Ai )

R = P(A1) . P(X1/ A1) + P(A2) . P(X2/ A2) + … + P(An) . P(Xn/ An)

Pada kaidah ini, terdapat beberapa bentuk probabilitas yaitu :

1. Probabilitas awal (probabilitas prior) yaitu probabilitas berdasarkan informasi yang tersedia (sebelum ada tambahan informasi) yaitu P(A 1)

2. Probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa didahului oleh terjadinya peristiwa lain, yaitu P(X 1/A1)

3. Peristiwa ganda, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas (probabilitas gabungan) yaitu

∑P(A

i

). P ( X i /

Ai )

4. Probabilitas posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi tambahan yaitu P(Ai / Xi ).

10


Contoh pertama : Tiga buah kotak masing-masing memiliki dua laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Di dalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak ? Jawab : A1 peristiwa terambil kotak I A2 peristiwa terambil kotak II A3 peristiwa terambil kotak III X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas X ini merupakan tambahan informasi 1. Probabilitas awal (probabilitas prior) P(A1) = P(A2) = P(A3) =

1 3 1 3 1 3

=0,33 =0,33 =0,33

2. Probabilitas bersyarat P(X/A1) = 1 P(X/A2) = 0 P(X/A3) =

1 =0,5 2

3. Probabilitas ganda (R) R = P(A1) . P(X/A1) + P(A2) . P(X/A2) + P(A3) . P(X/A3) R = (0,333) (1) + (0,333) (0) + (0,333) (0,5) R = 0,333 + 0 + 0,1665 R = 0,4995

4. Probabilitas posterior P(A3/X) =

P(A i )P(X i /A i ) R

=

(0,333)(0, 5) 0,4995

11

=

0,1665 0,4995

= 0,333


Contoh kedua : Diketahui bahwa penyajian mata kuliah statistic 2 diikuti oleh 40 mahasiswa semester III, 20 mahasiswa semester V, dan 10 mahasiswa semester VII. Hasil ujian akhir (final test) menunjukkan bahwa 10 mahasiswa semester III, 7 mahasiswa semester VII dan 5 mahasiswa semester VII mendapat nilai A. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak dan diketahui mendapat nilai A, berapa probabilitas ia berasal dari semester VII ? Jawab : A1 peristiwa terpilihnya semester III A2 peristiwa terpilihnya semester V A3 peristiwa terpilihnya semester VII X peristiwa mendapat nilai A P(A1) =

40 70

P(X/A1) =

P(A3/X)

=0,57

10 40

=

= =

P(A2) =

=0,25

20 70

P(X/A2) =

=0,29 7

20

P(A3) =

=0,35

10 70

P(X/A3) =

=0,14 5

10

=0,5

P(A 3 ).P(X/A 3 ) P(A 1 ).P(X/A 1 ) + P(A 2 ).P(X/A 2 ) + P(A 3 ).P(X/A 3 ) (0.14).(0. (0.57).(0.

25)

+(0.29).(0.

5) 35)

+(0.14).(0.

5)

0,223

B. HARAPAN MATEMATIKA Harapan matematika atau nilai harapan adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Jika X adalah suatu variabel random yang memiliki harga-harga X 1, X2,… Xn dengan probabilitas variabel randomnya adalah P(X) serta probabilitas masing-masing harga adalah P(X1), P(X2), … P(Xn) maka harapan matematikanya adalah : E (X) = Σ X . P(X) E (X) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + … + Xn . P(Xn)

12


Contoh pertama : Berapa nilai harapan untuk bermain satu kali dalam sebuah permainan, jika seorang akan menang Rp. 150.000 dengan probabilitas 0,35 dan Rp. 100.000 dengan probabilitas 0,45 ? Jawab : X1= 150000 X2= 100000 P(X1) = 0,35 P(X2) = 0,45 E (X)

= X1 . P(X1) + X2 . P(X2) = (150000) (0,35) + (100000) (0,45) = 97500

Contoh kedua : Seorang akuntan menghadapi pilihan dan keputusannya tidak dapat ditunda. Ia harus mengambil keputusan apakah akan menerima atau menolak suatu pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000 dengan harapan memperoleh pekerjaan lain dengan gaji Rp. 400.000 per bulan. Apabila menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 berapa probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 per bulan ? Jawab : Akuntan menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 per bulan Jika harapan matematikanya lebih kecil daripada pekerjaan yang gajinya Rp. 400.000 atau harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 lebih besar daripada harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000. Jadi, probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji sebesar Rp. 400.000 adalah : X . P(X) > 250000 400000 P > 250000 P > 250000 / 400000 P > 0,625

13


LATIHAN 6

1. Berikut ini data dari sekelompok mahasiswa yang telah menyelesaikan studinya dan telah bekerja Bekerja Tidak Bekerja Jumlah Laki-laki 520 60 580 Wanita 180 240 420 Jumlah 700 300 1000 Jika seorang dipilih secara random dan diketahui orang tersebut tidak bekerja, berap probabilitas orang tersebut wanita ?

2. Tiga kartu diambil secara random dari satu set kartu bridge. Hitung probabilitas bahwa kartu tersebut adalah kartu diamond !

3. Suatu kelas statistic berisi 65% mahasiswa perempuan. Pada waktu pengukuran tinggi badan, diperoleh 35% dari mahasiswa laki-laki dan 5% mahasiswa perempuan tingginya lebih dari 160 cm. Seorang mahasiswa dipilih secara random dan ternyata tingginya lebih dari 160 cm. Berapa probabilitas bahwa mahasiswa yang dipilih itu adalah perempuan ?

4. Ada tiga buah keranjang yaitu P, Q, dan R. Keranjang P berisi 35 telur ayam dan 25 telur itik Keranjang Q berisi 47 telur ayam dan 18 telur itik Keranjang R berisi 28 telur ayam dan 42 telur itik Sebuah keranjang dipilih secara random dan sebuah telur diambil dari keranjang tersebut. Jika yang terambil adalah telur ayam, berapa probabilitas bahwa telur itu berasal dari keranjang P ?

5. Menjelang hari raya, penjual ayam akan untung Rp. 100.000 per hari, tetapi pada bulan-bulan lain penjual ayam kadang mengalami kerugian Rp. 7500 per hari. Jika probabilitas penjual ayam akan untung adalah 0,65 berapakah harapan matematika penjual ayam tersebut ?

14


6. Seorang eksportir bawang putih hendak mengekspor di salah satu Negara A atau B. Eksportir tersebut telah memperhitungkan dengan teliti, jika mengekspor ke Negara A akan memperoleh 45 milyar rupiah per tahun dengan probabilitas 0,80 dan jika gagal akan mengalami kerugian 12 milyar rupiah per tahun. Jika mengekspor ke Negara B ia akan memperoleh 60 miliar rupiah dengan probabilitas 0,60 dan jika gagal akan rugi 20 miliar rupiah. Dimana sebaiknya eksportir tersebut akan mengekspor bawang putihnya ?

15


DISTRIBUSI SAMPLING (PERTEMUAN KEEMPAT)

A. Populasi

Populasi yaitu sekelompok orang, kejadian atau segala sesuatu yang mempunyai karakteristik tertentu. Masalah populasi timbul terutama pada penelitian opini yang menggunakan metode survei sebagai teknik pengumpulan data.

B. Sampel

-

Sampel adalah sebagian dari elemen-elemen populasi.

Peneliti dapat meneliti seluruh elemen populasi yang disebut dengan pengambilan sampel yang disebut penelitian populasi atau sensus. Alasan menggunakan penelitian sensus karena elemen-elemen populasi yang relatif sedikit dan variabilitas setiap elemen relatif tinggi (heterogen). Sensus juga lebih layak dilakukan jika penelitian dimaksudkan untuk menjelaskan karakteristik setiap elemen dari suatu populasi. -

Kendala yang dihadapi peneliti umumnya masalah keterbatasan

waktu, biaya dan tenaga yang tersedia. Alasan penelitian sampel atau sensus antara lain : 1. Jika jumlah elemen populasi relative banyak, peneliti tidak mungkin mengumpulkan seluruh elemen populasi, karena akan memerlukan biaya dan tenaga yang relatif tidak sedikit. 2. Kualitas data yang dihasilkan oleh penelitian sampel sering lebih baik dibandingkan dengan hasil sensus, karena proses pengumpulan dan analisis data sampel yang relatif lebih teliti. 3. Proses penelitian dengan menggunakan data sampel relatif lebih cepat dibandingkan sensus, sehingga dapat mengurangi jangka waktu antara saat timbulnya kebutuhan informasi hasil penelitian dengan saat tersedianya informasi yang diperlukan. 4. Alasan lain yang menghendaki penelitian dengan sampel, terutama dalam kasus pengujian yang bersifat merusak.

16


C. Hubungan Populasi dan Sampel

Analisis data sampel untuk penelitian kuantitatif akan menghasilkan statistik sampel ( sample statistic) yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter populasinya ( population parameters). Statistik merupakan ukuran numeris yang dihitung dari pengukuran sampel. Parameter adalah ukuran deskriptif numeris yang dihitung dari pengukuran populasi. Statistik sampel digunakan untuk membuat inferensi mengenai parameter populasinya.

D. Kriteria Pemilihan Sampel

Penelitian dengan menggunakan sampel yang representatif akan memberikan hasil yang mempunyai kemampuan untuk digeneralisasi. Kriteria sampel yang representative tergantung pada dua aspek yang saling berkaitan yaitu : 1.

Akurasi yaitu sejauhmana statistik sampel dapat mengestimasi parameter

populasi dengan tepat. Akurasi berkaitan dengan tingkat keyakinan (confidence level ). 2.

Presisi

yaitu

sejauhmana

hasil

penelitian

berdasarkan

sampel

dapat

merefleksikan realitas populasinya dengan teliti. Presisi menunjukkan tingkat ketepatan hasil penelitian berdasarkan sampel yang menggambarkan karakteristik populasinya.

E. Metode Pemilihan Sampel

Ada banyak cara yang dapat digunakan untuk memilih sampel. Metode pemilihan sampel secara garis besar dikelompokkan menjadi dua yaitu : 1.

Metode pemilihan sampel probabilitas ( probability sampling methods) atau

metode pengambilan sampel secara acak (randomly sampling methods ) yaitu terdiri dari metode pemilihan sampel antara lain : a.

Simple random sampling

Atau dinamakan metode pemilihan sampel secara acak sederhana yang memberikan kesempatan yang sama yang bersifat tidak terbatas pada setiap elemen populasi untuk dipilih sebagai sampel. b.

Systematic sampling

Yaitu memilih secara acak setiap elemen dengan nomor tertentu. Kelemahan metode ini yaitu memungkinkan terjadinya bias atau sistematisasi yang digunakan oleh peneliti dalam pemilihan sampel tersebut. 17


c.

Stratified random sampling

Yaitu dengan mengklasifikasikan sampel secara acak suatu populasi ke dalam subsub populasi berdasarkan karakteristik tertentu dari elemen-elemen populasi. Cara pemilihan sampel ini disebut dengan metode pemilihan sampel secara acak berdasarkan strata. d.

Cluster sampling

Pemilihan sampel berdasarkan kelompok dapat dilakukan melalui satu tahap (one stage ) atau beberapa tahap (multi stage ). Elemen populasi dikelompokkkan ke

dalam unit-unit sampel seperti yang dilakukan dalam pemilihan sampel dengan stratifikasi. e.

Area sampling

Yaitu metode pemilihan sampel berdasarkan kelompok yang digunakan untuk memilih sampel dari populasi yang lokasi geografisnya terpencar. Metode ini diterapkan jika faktor lokasi menjadi pertimbangan penting dalam pemilihan sampel. 2.

Metode pemilihan sampel non probabilitas (non-probability sampling

methods) atau metode pengambilan sampel secara tidak acak (non-randomly sampling methods) yaitu terdiri dari metode pemilihan sampel antara lain :

a.

Convenience sampling

Metode ini memilih sampel dari elemen populasi yang datanya secara mudah dapat diperoleh oleh peneliti. Metode ini ada beberapa pakar yang mendefinisikan sama dengan metode accidental sampling. b.

Purposive sampling

Ada dua jenis metode pemilihan sampel dengan metode purposive sampling ini yaitu : 1)

Judgement sampling

Merupakan tipe pemilihan sampel secara tidak acak yang informasinya diperoleh dengan menggunakan pertimbangan tertentu.

18


2)

Quota sampling

Pemilihan sampel secara tidak acak dengan berdasarkan pada kuota (jumlah tertinggi) untuk setiap kategori dalam suatu populasi.

F. Penentuan Ukuran Sampel

Salah satu cara untuk menentukan ukuran sampel dari suatu populasi dapat digunakan rumus Slovin sebagai berikut : n=

N 1 + N.e

2

Keterangan : n

:

ukuran sampel

N :

ukuran populasi

e

presentase kelonggaran penelitian (error), dapat menggunakan tingkat

:

confidence (confidence level 1%, 5% atau 10%)

G. Distribusi Sampling • Sensus = pendataan setiap anggota populasi • Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan sampel • Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena: 1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang 2. ketelitian pekerjaan yang melibatkan sampel lebih tinggi dibanding pekerjaan yang melibatkan populasi 3. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semua donat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual? • Sampel yang baik → Sampel yang representatif Besaran/ciri sampel (Statistik Sampel) memberikan gambaran yang tepat mengenai besaran/ciri populasi (Parameter Populasi)

19


Masih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? Perhatikan tabel berikut: Ukuran/Ciri Statistik Sampel Parameter Populasi Rata-Rata Selisih 2 Rata-rata Standar Deviasi = Simpangan Baku Varians = Ragam Proporsi Selisih 2 proporsi

µ : myu

x x 1 − x 2 mutlak s

: nilai

: nilai

mutlak σ : sigma

s² p atau p $ p1 − p2

µ1 − µ2

σ² π : phi atau p : nilai

mutlak

π 1 −π 2

: nilai

mutlak

catatan : pada Nilai Mutlak, nilai negatif diabaikan misal :  3 - 7  =  -4  = 4 atau gunakan asumsi p1 adalah nilai yang selalu lebih besar dari p2 atau p 1 > p 2 •

Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut : 1. keacakannya (randomness) 2. ukuran 3. teknik penarikan sampel ( sampling) yang sesuai dengan kondisi atau sifat populasi

• Sampel Acak = Contoh Random → dipilih dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota sampel. • Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi : a. Sampel Besar jika ukuran sampel (n) ≥ 30 b. Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30 • Beberapa Teknik Penarikan Sampel :

a.

Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling) Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program komputer. b. Penarikan Sampel Sistematik ( Systematic Sampling) Tetapkan interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampel Contoh : Ditetapkan interval = 20 Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1 sampel maka : Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 sampel Anggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 sampel, dst.

20


c.

Penarikan Sampel Berlapis (Stratified Sampling) Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara acak. Perhatikan !!!! Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) sama (homogen). Contoh : Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akan diambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkat kepuasan, maka sampel acak dapat diambil dari : Kelas Eksekutif : 50 orang Kelas Bisnis : 50 orang Kelas Ekonomi : 50 orang

d. Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling) Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota Perhatikan !!!! Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) berbeda (heterogen). Contoh : Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari 100 orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 × 100 = 4000. Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yang diperlukan = 600 orang, maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas, ambil secara acak 6 kelas. e.

Penarikan Sampel Area ( Area Sampling) Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling. Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif. Contoh : Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan sampel, misalnya terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung.

Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel lain. Selanjutnya, pembahasan akan menyangkut Penarikan Sampel Acak. • Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

a.

Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian: setelah didata, anggota sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel

b. Penarikan sampel dengan pemulihan : bila setelah didata, anggota sampel dikembalikan ke dalam ruang sampel. 21


Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling • Jumlah Sampel Acak yang dapat diambil dari suatu populasi adalah sangat banyak. • Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel. • Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel yang kita ambil. • Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi peluang yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel Statistik sampel yang paling populer dipelajari adalah Rata-Rata (x) 2. Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata Beberapa notasi : : ukuran sampel • : rata-rata sampel x s : standar deviasi sampel : rata-rata dari semua rata-rata sampel µ x

σ x

N µ ó

: ukuran populasi : rata-rata populasi : standar deviasi populasi

: standar deviasi antar semua rata-rata sampel = standard error = galat baku

22


PENDUGAAN PARAMETER (PERTEMUAN KELIMA)

A. Pendugaan dan Penduga

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat diketahui. Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauih suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel). Secara umum, parameter diberi lambang theta

sedangkan penduga diberi lambang

(theta topi).

B. Pendugaan Interval untuk Rata-rata

1.

Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi

Tidak Terbatas, dengan Pengembalian Sampel dan

diketahui.

Untuk populasi yang tidak terbatas atau dari populasi terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan diketahui simpangan baku (σ ), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

σ

X - Zα /2 .

n

σ

< µ < X + Zα /2 .

n

Contoh 1 Warung nasi Bu Sum mengadakan penelitian perkiraan pengeluaran karyawan perusahaan yang digunakan untuk membeli makanan di warngnya selama setahun. Untuk keperluan penelitian tersebut diambil sampel yang terdiri dari 300 karyawan. Ternyata, rata-rata pengeluaran untuk membeli makanan adalah 406.000 setahun dengan simpangan baku 165.000. Lakukan pendugaan pengeluaran karyawan untuk membeli makanan dalam setahun degan interval keyakinan 95%.

23


Jawab : n = 300 X = 406.000 σ = 165000

1- α = 95% α = 5%

Zα

/2

= 1,96 σ

X - Zα /2 .

n

σ

< µ < X + Z α /2 .

406.000 – (1,96) (

165000 300

n

) < µ < 406.000 – (1,96) (

165000 300

)

387.328,49 < µ < 424.671,51 Artinya : Dugaan bahwa rata-rata pengeluaran karyawan yang berada diantara 387328,49 sampai 424671,51 akan benar 95% dari keseluruhan waktu, jika pendugaan itu dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.

2.

Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi

Terbatas, Tanpa Pengembalian Sampel dengan Pengembalian dan

diketahui.

Untuk populasi yang terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan diketahui simpangan baku (σ ), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

σ

X - Zα /2 .

n

N − n

N - 1

σ

< µ < X + Zα /2 .

n

N − n

N - 1

Contoh 2 Perusahaan PT. Maju Terus memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu, ingin diketahui rata-rata lama jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam, dugalah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut !

24


Jawab : N = 250 (populasi) n = 35 (sampel) X = 39,76 σ = 0,93 (simpangan baku) α = 90% (tingkat keyakinan/kebenaran) α = 10% = 0,1 (tingkat kesalahan)

Zα

/2

= 1,65 N − n

σ

X - Zα /2 .

n

σ

< µ < X + Z α /2 .

N - 1

0,93

39,76 – (1,65)

250 − 35

35

250 - 1

n

N − n

N - 1

< µ < 39,76 + (1,65)

0,93 35

250 − 35 250 - 1

39,53 < µ < 39,99 Jadi, rata-rata jam kerja karyawan perusahaan dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 sampai 39,99 jam per minggu.

3.

Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Kecil (n < 30) : Sampel

Kecil, dan

tidak diketahui.

Untuk sampel yang kecil dan tidak diketahui simpangan baku (σ atau s), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

s

X - tα /2 .

n 2

s=

Σ X

n −1

−

s

< µ < X + tα /2 . (Σ X )

n

2

n(n −1)

Contoh 3 Suatu sampel random yang terdiri atas 9 orang karyawan di sebuah perusahaan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu 14, 17, 15, 18, 18, 14, 15, 19, 15 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99% ! Jawab : n=9 Σ X = 145 25


Σ X2 = 2365

X = 145 / 9 = 16,11

1- α = 99% α = 1%

n-1 = 9-1 = 8 t(0,005; 8) = 3,355 2

s=

Σ X

n −1

−

(Σ X )

2

=

n(n −1)

2365 8

s

X - tα /2 .

n

(145 ) 2 = 1,9 − 72 s

< µ < X + tα /2 .

16,11 – (3,355) (

1,9 3

n

) < µ < 16,11 + (3,355) (

1,9 3

)

13,985 < µ < 18,235 4.

Penentuan Ukuran Sampel Pendugaan

Untuk pendugaan rata-rata, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus :

2

 Z .σ  n =  / 2   E  α

Contoh 4 Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk menyelidiki waktu ratarata yang digunakan oleh mahasiswa, untuk sebuah soal ujian statistik, jika digunakan interval keyakinan 95% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,08 menit dan simpangan baku 0,7 menit (rata-rata sampel tidak akan berbeda dari rata-rata populasi) ! Jawab : 1 - α = 95% (tingkat keyakinan/kebenaran) α = 5% (tingkat kesalahan)

Zα /2 = 1,96 (Z tabel



tabel uji Z)

E = 0,08 (kesalahan duga) σ = 0,7 2

 Z .σ  n =  / 2  =  E  α

2

 (1,96 ).( 0,7)     (0,08)  = 294,1225  

Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 294 orang.

Untuk pendugaan proporsi, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus : 26


2

 Z  .  / 2  4  E 

1

n =

α

Contoh 5 Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk mengetahui proporsi tinggi mahasiswa di perguruan tinggi dengan interval keyakinan 99% dan kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09 ! Jawab : 1 - α = 99% α = 1% = 0,01

Zα /2 = Z0,005 = 2,58 E = 0,09

n =

1 4

2

 Z .σ  .  / 2  =  E  α

1 4

2

 (2,58 )  .   (0,09)   = 205,44  

Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 205 orang.

LATIHAN 7 1. Perusahaan

MEKAR

mengadakan

penelitian

mengenai

IQ

para

karyawannya. Untuk keperluan tersebut, diambil sampel 80 karyawan secara acak. Jika diketahui rata-rata IQ sampel adalah 109 dengan simpangan baku populasinya 20, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ dengan tingkat keyakinan 97% !

2. Lima orang karyawan PT. TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya ialah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dengan tingkat keyakinan 99%. 3. Dari sampel random 400 orang yang makan siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 orang yang menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yang menyukai makanan tradisional untuk makan siangnya pada hari Sabtu di restoran tersebut, dengan menggunakan interval keyakinan 98%. 4. Sebuah populasi karyawan berukuran 500 orang, diambil sampel random sebanyak 160 orang yang senang merokok, ternyata 100 diantaranya lebih menyukai merek TOP.

27


-

Buatlah pendugaan interval proporsi populasi yang menyukai merek TOP, gunakan interval keyakinan 90%

-

Dengan tingkat keyakinan 95%, berapa kesalahan duga bila diduga proporsi perokok yang menyukai merek TOP sebesar 0,3 ?

5. Dari produksi bola lampu sebuah perusahaan, diketahui simpangan baku umur bola lampu adalah 40 jam. Berapa besarnya sampel yang diperlukan apabila kita ingin percaya 97% dengan kesalahan duga 10 jam dari rata-rata umur bola lampu sebenarnya ?

6. Ingin diselidiki, rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh sebuah mesin. Tentukan besarnya sampel yang harus diambil jika digunakan interval keyakinan 99% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,3 desiliter dan simpangan baku 1,5 desiliter. 7. Apabila ingin diketahui proporsi penduduk yang mendukung suatu program, berapa besar sampel yang harus diambil dengan interbal keyakinan 89% dan kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,02 dari proporsi populasi yang sebenarnya ?

8. Kita ingin percaya 92% bahwa proporsi sampel yang diperoleh akan terletak tidak lebih dari 0,05 proporsi populasi yang sebenarnya dari populasi perokok yang menyukai merek “X”. berapa besarnya sampel yang diperlukan ?

28

statistik probabilitas

Recommend Documents