~Oleh: Prana Ugiana Gio~ DISTRIBUSI PROBABILITAS
Distribusi Binomial Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel acak (random variable) bersifat terhitung ( countable). Andaikan sebuah koin dilemparkan sebanyak kali dan tertarik untuk mengamati banyaknya kemunculan sisi angka. Misalkan banyaknya kemunculan sisi angka dalam kali percobaan melemparkan sebuah koin dilambangkan dengan . Sebagai contoh misalkan sebuah koin dilambungkan sebanyak kali, banyaknya kemunculan sisi angka yang mungkin .
0,1,2
2
Selanjutnya andaikan menyatakan probabilitas kemunculan sisi angka dan merupakan probabilitas gagal muncul sisi angka dalam sekali percobaan melemparkan sebuah koin. Andaikan sebuah koin dilempar sebanyak dua kali, maka probabilitas pada pelemparan pertama sama dengan probabilitas pada pelemparan kedua. Dalam hal ini, probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan pertama
sama dengan probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan kedua . Percobaan
Bernoulli merupakan suatu percobaan yang hanya memiliki dua hasil (outcome) yang mungkin terjadi, yakni “sukses” atau “gagal”, “gagal”, serta probabilitas pada percobaan percobaan pertama dengan dengan probabilitas pada percobaan selanjutnya tidak berubah-ubah atau sama. Berikut rumus untuk menghitung probabilitas kemunculan sisi angka tepat kali dalam percobaan.
. ! ! !
Keterangan : merupakan probabilitas kejadian sukses dalam satu kali percobaan. merupakan probabilitas kejadian gagal dalam satu kali percobaan. merupakan jumlah percobaan yang dilakukan. merupakan banyaknya kejadian sukses yang terjadi dalam kali percobaan.
Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Andaikan tertarik untuk mengamati banyaknya sisi angka yang muncul dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali. Misalkan merupakan suatu variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul dalam 4 kali pelemparan sebuah koin. Nilai-nilai yang mungkin adalah . Nilai berarti banyaknya sisi angka yang muncul dalam 4 kali pelemparan sebuah koin sebanyak 1 kali, berarti dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali, tidak ada muncul sisi angka sekalipun. Berikut akan dihitung probabilitas untuk setiap kejadian yang mungkin terjadi.
0,1,2,3,4
1 0
0
0,0625
1
0,25
2
0,375
3
0,25
4
0,0625
Jumlah
1
Tabel 1 Distribusi Probabilitas Variabel Acak
1
0, 0, 1, 1, 2 , 3 , dan 4. 2 2 42 0,5 0,50,5 0,5 0 0 40 0,5 0,50,5 0,5 2 2 0,375 0 0 4 4!00! 0! 0,5 0,50,5 0,5 4 0,5 0,5 3 3 0,5 0,5 3 0 0 0,0625 3 3 0,25 1 1 41 0,5 0,50,5 0,5 4 0,5 0,5 4 4 4 0,5 0,5 1 1 0,25 4 4 0,0625. Menghitung probabilitas untuk
Distribusi Poisson Distribusi Poisson juga merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel acak bersifat terhitung (countable). Seorang ilmuwan matematilka dari Prancis memperkenalkan distribusi Poisson bernama Sim -Dennis Poisson. Berikut diberikan fungsi probabilitas dari distribusi Poisson.
́
! .
0,1,2,�
Keterangan : merupakan banyaknya suatu kejadian yang sedang diamati, merupakan nilai rata-rata atau harapan . merupakan nilai dari bilangan eksponensial, yakni didekati dengan bilangan
2,71828.
Distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi dengan pendekatan distribusi Poisson ketika
50 dan 5 dengan nilai kecil, yakni mendekati 0. Sebagai contoh misalkan diketahui probabilitas sebuah bola lampu akan rusak ketika diproduksi di suatu pabrik bola lampu sebesar 0,0005. Dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, tentukan probabilitas:
Terdapat tepat 1 bola lampu yang rusak. Terdapat tepat 2 bola lampu yang rusak. Terdapat 3 bola lampu yang rusak.
Berikut penyelesaian dari permasalahan tersebut.
1
0,270671
2
0,270671
3
0,180447
Tabel 2 Probabilitas untuk
, , dan
4000 dan 0,0005 sehingga 4000 40000,0005 0,0005 2. Berikut akan dihitung 1, 1, 2 , 3 .
Diketahui probabilitas untuk
2
2,71828 2 1 1 1! 10,135335 0,135335 1 1 1 1 1 1 0,27067 2 2 2 2,71828 2!
2 2 0,270671 2,71828 2 3 3 3! 3 3 0,180447. 0,180447.
Perhatikan bahwa dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, probabilitas terdapat tepat 1 bola lampu rusak sebesar 0,27067, tepat 2 bola lampu yang rusak sebesar 0,270671, dan terdapat tepat 3 bol a lampu yang rusak sebesar 0,180447.
Distribusi Normal Beberapa fenomena dalam kehidupan mendekati kurva dari distribusi normal. Sebagai contoh fenomena-fenoma yang mendekati kurva dari distribusi normal seperti fenomena mengenai nilai IQ manusia, tinggi badan, berat badan, dan sebagainya. Distribusi normal termasuk ke dalam salah satu distribusi probabilitas nondiskrit. Dalam distribusi normal, variabel acak dinyatakan dalam interval dan bersifat tidak dapat dihitung ( uncountable). Sebagai contoh variabel acak dinyatakan dalam interval , dengan . Berikut diberikan fungsi probabilitas dari distribusi normal.
01
1 √ 2 2 . Perhatikan bahwa merupakan rata-rata populasi, sedangkan merupakan standar deviasi populasi. Gambar 1 merupakan contoh dari kurva distribusi normal.
Garis vertikal
Gambar 1
Luas bagian kiri adalah 0,5.
Luas bagian kanan adalah 0,5.
Gambar 2
Dalam kurva distribusi normal, garis vertikal yang di tarik dari rata-rata membuat luas daerah sisi kiri sama dengan luas daerah sisi kanan, sehingga distribusi normal bersifat simetri. Luas di bawah 3
kurva dari distribusi normal adalah 1, sehingga luas bagian kiri dan luas bagian kanan terhadap ratarata, masing-masing adalah 0,5 (Gambar 2).
1
Dalam distribusi normal terdapat dua parameter, yakni rata-rata dan standar deviasi . Nilai standar deviasi selalu lebih besar dari atau . Suatu distribusi normal dikatakan distribusi normal standar ( standard normal distribution) jika dan . Luas daerah di bawah kurva dari distribusi normal standar dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar. Tabel distribusi normal standar disajikan pada bagian lampiran. Jika dalam distribusi normal dan , maka distribusi normal tersebut dapat ditransformasi atau diubah ke dalam distribusi normal standardizing a normal distribution). standar (standardizing
0
0 0
0
1
Andaikan variabel acak dari distribusi normal dilambangkan dengan . Berikut rumus untuk mentransformasi variabel acak normal menjadi variabel acak normal terstandarisasi.
0 1 0 42 30
.
Variabel acak normal terstandarisasi yang merupakan hasil transformasi dari variabel a cak normal mempunyai dan . Tabel distribusi normal standar pada bagian lampiran menunjukkan menunjukkan luas daerah antara sampai atau . Andaikan merupakan variabel acak yang berdistribusi normal dengan rata-rata 40 dan standar deviasi 5. Berikut akan dikonversi atau ditransformasi dan menjadi nilai-nilai variabel acak normal terstandarisasi.
0
42 40 40 0,4. 42 5
0 0,4 0,4 0,1554.
0 Z 0,4 40 2. 30 5 40 0 2 2 0 2 2 0,4772.
2 0 Distribusi Geometri
Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan menyatakan probabilitas terjadinya gagal untuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan sampai terjadi sukses pertama kali. Maka disebut variabel acak geometri (geometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
1
11 ; 1,2,� 2,� 4
Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang/probabilitas seorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 4 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar. Diketahui peluang untuk muncul sisi gambar dalam sekali pelemparan sekeping koin yang setimbang adalah 0,5. Maka
4 4 11 0,5 0,50,5 0,5 0,0625. Terdapat 16 kejadian yang mungkin, yakni : AAAA AAAG AAGA AGAA GAAA
AAGG AGAG AGGA GGAA GAAG GAGA
AGGG GAGG GGAG GGGA GGGG
Kejadian yang diinginkan, yakni pada saat pelemparan keempat terjadi kejadian sukses pertama kali.
Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 4 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah
161 0,0625. Andaikan memerlukan 3 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 10,5 10,50,5 0,5 0,125. Terdapat 8 kejadian yang mungkin, yakni : AAA AAG AGA GAA
AGG GAG AGG GGG
Kejadian yang diinginkan, yakni pada saat pelemparan ketiga terjadi kejadian sukses pertama kali.
Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 3 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah
18 0,125. Andaikan memerlukan 2 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 3 11 0,5 0,50,5 0,5 0,25. Andaikan memerlukan 1 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 3 10,5 10,50,5 0,5 0,5. Berikut disajikan hasil perhitungan dan grafik berdasarkan SPSS.
5
Gambar 3
.
Peluang seorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 4 lantunan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah 0,0625.
Gambar 4
Dalam distribusi geometri, probabilitas dari nilai variabel acak adalah kali dari probabilitas nilai variabel acak . Sebagai contoh misalkan probabilitas terjadinya sukses dalam sekali percobaan adalah . Maka
Sama saja dengan
6
Distribusi Binomial Negatif
Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan menyatakan probabilitas terjadinya gagal untuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke- terjadi. Maka disebut variabel acak binomial negatif (binomial negative random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
1
11 1 ; , 1, 2,� Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang bahwa seseorang yang melemparkan sebuah uang logam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga . Diketahui
dalam sekali pelemparan sebuah uang logam adalah . Maka 11 1 1 2 1 1 1 1 3 1 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 8 4 0,25. Terdapat 2 8 kejadian yang mungkin, yakni : probabilitas muncul sisi gambar
AAA AAG AGA GAA
GGG GGA GAG AGG
Peluang seseorang melemparkan sebuah uang logam logam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga adalah
18 18 28 14 0,25. Contoh lain berikut akan dihitung peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga. Diketahui probabilitas muncul semuanya sisi gambar dalam sekali pelemparan dua uang logam adalah
AA AG
GA GG
14. Maka peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga adalah
11 1 1 6 1 3 1 3 1 3 3 2 1 1 4 4 2 4 4 64 0,09375.
7
Pelemparan I
Pelemparan II
AA AG GA GG Terdapat
AA AG GA GG
Pelemparan III AA AG GA GG
4 64 kejadian yang mungkin, yakni : AA AA AA AA
AA AA AA AA
AA AG GA GG
AA AA AA AA
AG AG AG AG
AA AG GA GG
dan seterusnya. Kejadian yang diinginkan sebagai berikut. AA AG GA GG GG GG
GG GG GG AA AG GA
GG GG GG GG GG GG
Terdapat 6 kejadian yang diinginkan.
Peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga adalah
6 0,09375. 64 Distribusi Hipergeometri Andaikan suatu kotak berisi bola putih kecil dan bola hitam kecil. Kemudian misalkan dilakukan percobaan pengambilan suatu bola kecil di dalam kotak tersebut secara acak, warnanya dicatat, namun bola tersebut tidak dikembalikan ke dalam kotak. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan jumlah bola putih kecil yang terpilih dalam percobaan. Maka disebut variabel acak
hipergeometri (hypergeometric hypergeometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
, ��� ���0, 0, ,�,��� ,�,���, , . Andaikan sebuah kotak berisi 3 bola putih kecil dan 1 bola kecil hitam. Suatu percobaan dilakukan di mana satu bola kecil dipilih secara acak dan warnanya diamati, namun bola kecil tersebut tidak diganti/dikembalikan. Berikut akan dihitung probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih. 8
32 3 1 2 2 2 3 1 3 32 11 3 1 3 3 4 4 4 0,75. 3 Kejadian-kejadian yang mungkin adalah sebagai berikut.
,, ,, ,, ,,. Kejadian yang diinginkan atau diharapkan
,, ,, ,,. Probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih adalah 3 0,75. 4
9
~Oleh: Prana Ugiana Gio~ PENYELESAIAN DALAM SPSS
Distribusi Binomial Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 1. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 2). Pada Gambar 2, ketik fx dalam kotak Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Binom. Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.BINOM(x,4,0.5). Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 3.
Gambar 1
pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.BINOM(x,4,0.5).
Pada Function group , pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Binom.
Gambar 2
Gambar 3
10
Distribusi Poisson Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 4. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 5). Pada Gambar 5, ketik fx dalam kotak Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Poisson. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.POISSON(x,2). Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 6.
Gambar 4
Gambar 5
Gambar 6
Distribusi Normal Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 7. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 8). Pada Gambar 8, ketik z dalam kotak Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik (x-40)/5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya disajikan pada Gambar 9. Kemudian pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak doalog Compute Variable (Gambar 10). Ketik fz pada kotak Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik CDF.NORMAL(ABS(z),0,1)-0.5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya disajikan pada Gambar 11.
11
Gambar 7
Telah terbentuk variabel acak normal terstandarisasi.
Gambar 8
Gambar 9
Gambar 10
Gambar 11
Distribusi Geometri
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 12. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 13). Pada Gambar 13, ketik fx dalam kotak Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Geom. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.GEOM(x,0.5). Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 14.
Gambar 12
12
Gambar 13
Gambar 14
Distribusi Binomial Negatif
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 15. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 16). Pada Gambar 16, ketik fx dalam kotak Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Negbin. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.NEGBIN(x,2,0.5). Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 17.
Gambar 15
Gambar 16
13
Gambar 17
Distribusi Hipergeometri Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 18. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 19). Pada Gambar 19, ketik fx dalam kotak Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables, pilih Pdf. Hyper . Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.HYPER(x,4,3,3). Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 20.
Gambar 18
menyatakan jumlah bola putih kecil akan terpilih, 4 merupakan jumlah seluruh bola kecil, 3 menyatakan jumlah bola kecil yang diambil, dan 3 menyatakan banyaknya bola putih kecil.
Gambar 19
Gambar 20
Referensi th
1. Mann, P. S. dan C. J. Lacke. 2001. Introductory Introductory Statistics, International Student Version, 7 Edition. Asia: John Wiley & Sons, Inc.
2. Montgomery, D.C. dan G.C. Runger. 2011. Applied Statistics and Probability for Engineers, th 5 Edition. United States of America: John Wiley & Sons, Inc. rd 3. Spiegel, M.R. dan L. J. Stephens. 1999. Statistics, 3 Edition. United States of America: McGraw-Hill Companies.
14
