iden identi tida dade de simp simpli lifi fica ca om
expr expres esio ione ne
apli aplica ca
lg na
trig trigon onom omet etri rica ca
fund fundam amen enta tale les. s.
trig trigon onom omet etri rica cas. s. stra strate tegi gi
para para
erif erific ic cion cion de iden iden idad idades es
la dife difere renc ncia ia de angu angulo los. s. un
Como Como usar usar la calc calcul ulad ador or
'E'E
A c
128
notacion
graf graf1c 1cad adar ar de
da
para para veri verifi fica ca
iden identi tida dade de ma
par factor factoriza izar. r.
Para Para come comenz nzar ar el estu estudio dio de las identi identidad dades es trigo trigono nome metr tric icas as nece necesi sita ta reco record rdar ar las defi definic nicio ione ne de las[un las[unci cione one trig trigon onom om tric tricas as adema adema de la op raci racion ones es on expr expres esio ione ne alge algebr brai aica ca cont contin inua uaci cion on te pr sent sentam amos os un esum esumen en de ayud ayuda. a. DEFI DEFINI NICI CION ON
DE LA
FUNC FUNCIO IONE NE
if renc rencia ia
TRIG TRIGON ONOM OMET ETRI RICA CA
b'
sen
(a
Trin Trin rnio rnio
COS
a'
2ab
x2
sx'
ub
b)(a
ab
uadr uadrad ad
erfe erfe to (a
b)2
tan cot
(x'
s=a+b
sec
a)(x"
b)
p==a
11
es
a(x2n PROD PRODUC UCTO TO
bY.:'
in
NOTA NOTABL BLES ES
3a (a
b)2
a'
c)
3ab
b'
2ab
bx
ay
by
(a
(a
b)
(x
a)(x
(px
3a
OPER OPERAC ACIO IONE NE
(a
a)(qx
pqx'
b)x
ab
(pb
aq)x
CO
tr
_!!:_±..!z___=
(ax
ay
(b
a(x
y)
bt»
y)(a
b)
a(x
ax
z)
if re ia
a±b
,c
=1'=
A__,
_ ! ! : _ -7- ! 2 _ _
(a
y)
io
S_
_!
by
FRAC FRACCI CION ONES ES
=1'=
Mult Multip iplic licac acio io division Ante Ante de mult multip ipli lica ca divi dividi di fr ccio ccione ne plif plific icar ar si posi posibl bl
FACTORIZACION
b'
bY
(a
debe debe
im
0, =1'=
0,
=1'=
0,
radica 1.
ro la ductos:
le
b) (O,3a
(5x'
7)
2ab)2
d) ( y o n
2. Fact Factor oriz iz erif erific ic tu resu result lt do duct duct de su fact factor ores es a) X'''
3r
c) (2
40
b)
4i
d)
fecn fecnia ia la oper oper cion ciones es indi indica cada da posible. a)
3x-1
3x
Xl
x'
x+l
b)
i ' 1
~-1
7)(x
a) (~
io
3x
1) 1 )( )( y2 y2 "
y'
ef ctua ctuand nd
1)
propro-
ab
c)
a+b
4. Racion Racionali aliza za
simplifica
ma posi posibl ble. e.
a)_2_
by 64
b)
if
VxX}'
x-
c)
'"
d)
_1_
\1'3+1
'"
'';:::;
'"
";"
IDENTIDADES RE AC ONE rtir rtir mo st
D EN E N T D AD AD E la
F UN U N DA D A M EN E N TA T A LE LE S
efin efinic icio io es re
ho rela rela io
la seis seis fu io es trig trigon on rn tric tric
on en
mo rela relaci ci ne
ra de rr
iden identi tida dade de
fund fundam amen enta tale le '"
otras.
Relacionesreciprocas
inversas fun-
ciones ciones recipr reciproca oca laciones: sen
re
esc
cos
tamb tambie ie
ra
ra
sen
::::::::?
sec
tan
la
lIe
esc
I"
cot
tili tili ad
sen
esc
esc _1 sen
______ ___ ______ ______ _____ __sc sc
cos
::::::::?
tan
cot
ane=~cot
::::::::?
tan
--J,v'
_ T o _ m _a _ n _ o t _ a Iden Identi tida dade de
tr
tiIi tiIi mo
la de inic inicio io
ocie ocient nt
de un io
tenemos:
cofu cofunc ncio iona nale le
sen
9) sen (90
tan
9)
sen cos
.L:
_L
__!_
_:
_L
tan
::::::::?
cot
::::::::?
sen cos
an
9) 9)
CD
-" -_.:;
esc
_C
sec
V1
razon
9)
esc (90
9)
-
./1'
cot
re
Relaciones
pitagoricas Ia siguiente
relacion:
(-;)2
(--;-)2
+cos-
sen"
(3
cos serr'B
see
tan
stas stas el ei ne
ob en da
I~~--:;:oe so validas
cual las
fl,
cos' valida 6,
90°, donde
da
Como
ocho rela relaci cion ones es recordar la ocho
es impa impar. r.
fundamentales
identidades
abam abamos os ment ment lmen lmen Ia repr repres es nt cion cion la Hn as trig trigon onom om tric tric unci uncion ones es en el prim primer er cual cualqu quie ie otro otro cuad cuadra rant nte, e, lueg lueg tene tenemo mos: s:
de la seis seis
cos+o;
~=[t
___ +=:::.:---"-='----:77
_~que:
cos"a :: ;:
cos'«
En /1,0
esc
En AOMC, OM
cot
/ l,l, O A F D A
ta
r=
sen'
=_1_
tan
cos
sec =_1_
cot
esc
por cociente en elllODR defini definimos mos Ia tangen tangente te empleando la representacion de cose coseno no tene tenemo mos: s: sen cos
tan
AD
R , donde
Eri el AOMC,
donde OM IlOAF
S IM IM P L F IC IC A C IO IO N D
line lineal al de seno seno
cos
co
sen
cos}
T e or or em em a d e P itit ag ag o ra ra s
sec
tau
El gm nt hipotenusa.
s ec ec a n
cot"
El s eg eg m en en t
e os os ec ec an an t e e s
es la
hipotenusa.
E XP X P RE R E S O N E T R G O NO N O M ET ET R C A S
::
operac operacion iones es algebr algebraic aicas as
una
mas relaci relacione one
Ejemplos:
Recuerda
1. Desa Desarr rrol olle lemo mo
simplifiquem.os:
Identidades
ey
cos
fundamentales
sen
sen
sen'
Reciprocas
b) (1
_I
se
cos' sen
_1 sen
sec a)(1
P o r c o ci ci en en t
cos
Conmutati-
sec'«
cos'
sen cos
sen
cot
2sen
(a
b)(a-
tan!«
tan
tan
(a
cos
sec 6)
cos
cc
cos
cos
sen
sen cos
sen
4)
cos sen
sen'
=-' ab
cos
Pitagoricas sen'
(it
cos'S sec' cot>
esc'
(3
2. Fact Factor oric icem em.o .o tan' tan'
simplifiquem.os:
esc'
tan'
1)
n? (esc'
ta 'e b) sen'
cos]
csc
•a
(sen
co x)(s x)(sen en
(sen
cos x)(l
sen sen
cos
Ii'
cos'
cos x)
(CSC2~
cot"
esc' ~2sen6-1)
trinomar
sen
plificancz
sen
3. Simp Simpli lifi fiqu quem em.o .os: s: tan
(1
coe
tan'
8)
sec/B
Fact Factor oriz izan ando do
sec ~.
cos se nd ca
i mp m p lili fifi c
senfe
c ad ad a e xp xp re re si si o
Y5
algebraica.
V a '!'! .
X2,
•Vx 5 -
'"
sen sec
Simplificand Simplificando, o,
cost'e
)5I1.,
sec
~~------~~--------------------------------------~ ----~
13
~sene
cos sen
cot
Simplif Simplifica icando ndo
b)
cos w)
+---
cos
cos
w)
1.
cos w)(l
(1
cos
_£
ad
be bd
cos COS"
esc-co
- -
sen
fu a) sen
sen a.
sen ex
b) cos
j3
sen
b)
cos'B
1)
tg
__
-;=:l~=~ sen' o;
VI sen
sen cos ex
sen
d) sec fl
sec
esc
b) cot j3
tan
sen
co
f)
sen-n
-t-
__ 1_
sen'
sen
co
cos ex sen ex
d) cot
tan'
esc'
cot
esc' j3
tan j3
sen'
c) -....:......-....:......--__ -....:......-... .:......--__:_ sen j3 cot j3
sec
d) sen
(esc j3
sen
cero.
a)
b)
cot
sec'
1)
1)
cot' esc cot
1)
esc'
sec'S
esc'
sec
sen
1)
1)
cos
cos
co
1)
(cos
1)
b) (sen
tan
1)
sen
esc A)2, cot"
(esc
1)
cos'
tan" A, sec'
cos'
d) _--= _--=.1__ .1__ 1- cos
esc
_--='~_, cos
sen
o -
tan
1)
g) (1
sen cos
sen cot'
tan sen i) sec
cos A), sen'
esc tan cos
sec tan
esc'
sen
esc' A,
k)~+~ sen t--'
cos sec
R. jJ
cos
k)
cot' cot
I)
esc
cos A)(l
j) co
sec' A-I
cos'
i)
esc'
sec' B), sec'
esc
h)
sen
sec'
a) cot
1)
-I
esc?
g)
1)
tan
1)
d)
sec' tan
sec+u
cot w, cos n)
cos'
0)
sen cot
cot' "I), sen
cos
p)
sen
jJ
esc
1, ec
jJ
q) cos 'Y
sen' cos
tan 'Y sen "I, sec "I cos
sec
SEGUND ND 5.3.2 SEGU
METO ME TODa Da
Tr baja baja im ltane ltane mente mente mentales.
mbos mbos mi mb os
No xi te na gl gene gene pa pu de da lg na ge ncia ncia mos:
olve olve id ntid ntid de no pe it
Interp Interpre reta ta
orre orre tame tamente nte la rela rela ione
Id ntif ntific ic
mi mb
Un
trig trigon onom om tric tric
ncio ncio
Factorizar
de ma dific dific lt
impli ic
de
mple mple nd
pu de
la ione ione
nd
trig trigon onom om tric tric pe ilit ilit te proc proc o.
ndame ndamenta ntale le pa xp
dame damente nte la
tr ns ormar ormarlo lo da
ncio ncio
xpr ione
ma
illo. illo.
de ot
resu resultante ltantes. s.
ec A.
Solucion De do la ge ncia ncia dada dada tom mos el prime prime miemmiembr pa tr ns or lo
amos amos las frac frac iones
::;:
2Sec
::
(1
Simplificamos:
11, sabemos
De qu
Cos
sA
luego,
2Sec
s2 Sec
Ef
146
tu ndo
ocie ociente nte
misma. Veamos:
Identidad dada:
Sen
Sen
1~+1+~ (1 A) (1
Efectuando:
Cos
A)
., pero
im plificando:
Cos
Cos
Reemplazando:
Cos
Cos
Ejemplo2 De ostr ostr
Cos
Ia id ntid ntid
Solucion
ltip ltipli li
os
nu
do
la onju onjugada gada de denominador:
da
Cos
(1
A) Cos A)
deno deno in do
-----------'--=
-Cos
Cos'' luego:
Cos
Sen
1,
~A{l
Cos
Sen'3.
Sim plificamos:
as
: -: -: ,
Sen
Cos
s610
At:. o.
Ana/ Ana/is isis is trlg trlgon onom omet etri rico co
Ejemplo3 De ostr ostr
qu Tg
Ctg
x.
Solucion Id ntida ntida
dada dada
Tg
nd la nci6 nci6 de tenemos:
Ctg
Cs
xp
Cos
Senx Cos
Cos
Sen x+COftx CosxSen
Efectuando: Pe
Cos
_ __ _ " = - -
_--,,1~_
Cos
____ ~1_ 1___
entonces:
_ _ ___ _ , 1 : _ _ Cos
Cos xSenx
Senx
--,,1~
Cos
Senx
fundamentales. a)
Sec
d)
Cos
csc
Ctg
Ctge
Tg
c)
f)
Sec
Tg
Cos a.
Tg
la Sen Sen
Sen/
a) Tg
tg
tg
j)
(Csc
Serr'
(1
e) Cos? f)
Ag2
rn)
Sec C05 148
I)
Ctg
Sen Ctg
Cos
Analis Analisjs js trigono trigonomet metric ric
CtgA
1 -
Serr'
g4
v)
Sen
Sec"
w)
r)
C05
y)
Ctg
3.
Sen
A)
Csc Sec
Sen A-
Cos/
C05
(C
C05
las sigu siguie ient ntes es
Demuestra
.A
x)
Cos
Sen
t)
Cos?
Cos
iden identi tida dade de
Se
a)
tg trigonometricas: 1-
gA
SecB
CosB (seA
TgA
1)
SecA
CtgA gA
c)
SecA
TgA
TgA
Sen Csc
SecA
Tg Ctg
Sen
Tg
j)
xC
TgB
4.)
sola
a)
Tg
e)
Csc Sen
Cos
funci6n
Sec
Ctg
t)
c)
C05 Csc
d)
Sec 2A
h)
Tg
149
