Las Técnicas para Memorizar ( Mnemotecnia), han sido aplicadas aquí, con el fin de revolucionar el Aprendizaje de las Relaciones e Identidades Trigonométricas. A través de unos dibujos, divertidos y fáciles de aprender, podrás descubrir Un Gran Secreto: El Hexágono Trigonométrico. Si ubicas las Funciones Trigonométricas en torno a un Hexágono, podrás literalmente… ¡Entrar a una Nueva Dimensión!.
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Las letras ilustradas, representan de forma simplificada los nombres de las funciones trigonométricas:
S C T CT SC CSC
LA TORTUGA
=Seno =Coseno =Tangente =Cotangente =Secante =Cosecante
La tortuga o Hexágono Trigonométrico es la base de todos los demás dibujos, con el tiempo y la práctica bastará dibujar esta, para recordar la mayoría de las fórmulas trigonométricas. CLIC AQUÍ PARA VER COMO SE DIBUJA FACILMENTE LA TORTUGA
¡ Es fácil !
1. traza las líneas superior e inferior de un cuadrado imaginario. 2. Luego, pon a cada lado un punto guía de modo que se esboce un hexágono.
S
3. Después traza las líneas faltantes.
C CT
T 4. Por último escribe las Funciones en el orden ilustrado.
SC
CSC REGRESA
LA flor sobre esta. esta… Esta es igual a…
Con La flor podrás Jugar con 3 funciones Que se encuentren Vecinas. Mira dos relaciones: 1) Cada una de las funciones, es igual al producto de las que estén a cada lado suyo.
esta…
Ejemplos:
sobre esta.
CT Como podrás apreciar, las relaciones son multidireccionales. Puedes avanzar tanto en el sentido de las manecillas del reloj (de izquierda a derecha), como en el sentido antihorario (de derecha a izquierda). Una forma sencilla de recordar la 2ª relación es recorriendo toda la flor en una dirección, señalando con el dedo índice a partir de cada función, diciendo: “Esta, es igual a Esta sobre Esta”.
= C x CSC
CSC = SC x CT 2) Cada una de las funciones, es igual a la función vecina, sobre la siguiente función vecina tomada en la misma dirección. Ejemplos: T = S/C T = SC/CSC
El siguiente es un listado de todas las relaciones que podrás encontrar con la flor : S
=TxC
S
= C / CT
S
= T / SC
C
= S x CT
C
= CT / CSC
C
=S/T
CT
= C x CSC
CT
CT
=C/S
CSC SC T
= CT x SC = CSC x S = SC x S
= CSC / SC
CSC
CSC
SC
= SC / T
T
= T/S
¡Uff!... ¡Que montón de formulas!...Pero fresco solo tienes que aprenderte el dibujito de la flor y las relaciones que viste en la diapositiva anterior para recordarlas TODAS… ¡Super, ¿verdad?!
SC T
= CT / C = CSC / CT = SC / CSC
= S/C
Recuerda, siempre podrás relacionar 3 funciones que esten juntas. Si por ejemplo hay un ejercicio donde te den los valores de Seno y Coseno, al mirar la flor te darás cuenta que estos datos son suficiente para deducir tanto la Tangente, como la Cotangente.
También, si en otro ejercicio te dan por ejemplo: SC / CSC al usar la flor, rapidamente podrás ver que se puede simplificar a Tangente.
Latelaraña telarañate también te ayuda a La ilustra una nueva recordar las fórmulas dirección, dentro debásicas toda la de las funciones trigonométricas. multidireccionalidad de estas ayudas. En ellas se relacionan los lados de un frente triángulo, Si miras a frente, simplificados aquí de la siguiente diametralmente, Podrásforma: relacionar:
LA telaraña
Opuesto S ( Ocon ), Adyacente ( A ), CSC, e Hipotenusa C con SC,( H ). y Relación: T con CT.
Listado Mirade lasfórmulas siguientes quefórmulas se obtienen ay través compara de con estaelrelación: dibujo: SCC = 1O//CSC SSC H CSC = 1 / S CSC = H / O
CS = 1 A // SC H SC = 1 / C SC = H / A
TC CT CT
=O 1 // CT A = 1 / T =A/O
•Cada función es igual al lado Relación: que tiene arriba, sobre el lado •Cualquier que tiene abajo, en la función estelaraña. igual a 1 sobre la función que tenga Por ejemplo, al frente. S = O / H, pues si usas la telaraña, verás que en línea, tiene por arriba a O, Y por abajo a H.
Ángulo θ Lado Adyacente (A)
Lado Opuesto (O)
po i H
H) ( sa u ten
Como recordar la telaraña:
Dibuja primero las líneas aquí pintadas de negro, luego las de rojo, después las de azul, a continuación los círculos verdes y por último las letras. Las letras de las funciones ya las debes saber: SC C T CT SC CSC Los lados puedes memorizarlos así: Aprende esta palabra: “OAHAO”. (como si algo te sorprendiera y dijeras: ¡OAHAO!) luego colocas letra por letra siguiendo una dirección en forma de “Z”, como la ilustrada al dar clic.
El Boxeador
Adentro: El número 2 en la camiseta del boxeador te recuerda que se trata de suma de cuadrados. Todas las sumas (o restas) son iguales a 1. S² + C² = 1 SC² - T² = 1 CSC² - CT² = 1
Con El boxeador recordarás sumas de cuadrados y derivadas. Adentro del hexágono están las pistas para un grupo de relaciones. Afuera, las del otro grupo.
Las flechas a izquierda y derecha te informan cual de las dos funciones se resta.
El Boxeador
La línea que bordea la cabeza del Boxeador relaciona las funciones Seno y Coseno. Los “ojos y cejas” te ayudan a recordar los signos de las derivadas de esas funciones.
Afuera: En la parte externa del hexágono están las ayudas para recordar derivadas. Esta vez, los signos más (+) y menos (-), no representan sumas y restas, sino los signos de las funciones.
Por ejemplo: Se que la derivada del Coseno es igual a Seno (con signo menos), porque si sigo la línea desde el Coseno hasta el Seno, bordeando la cabeza del Boxeador, esta dirección coincide con la que marca la ceja que cubre el signo negativo. Derivada de… Es igual a… S= C C= -S
Por ejemplo:
El Boxeador
Si quieres encontrar la derivada de la Cotangente, sigue la línea del guante que sale desde esa función, luego verás que la línea toca en dos ocasiones a la Cosecante (la primera vez con signo negativo). Es decir, derivada de CT= -CSC x CSC, o sea derivada de CT= -CSC².
Siguiendo las líneas de los “guantes”, encontramos las demás derivadas: Derivada de… T= SC = CT =
Es igual a… SC² SC x T - CSC²
Si por el contrario quieres encontrar la derivada de la Cosecante, sigue la línea del guante que sale desde esa función, luego verás que la línea la toca de nuevo (pero esta vez con signo negativo) y por ultimo toca a la Cotangente. En otras palabras: Cosecante, es igual a menos Cosecante (menos no de resta, sino como signo) multiplicado por la Cotangente.
¡Bueno… ¡Bueno… aa practicar! practicar! Solo cuando desarrolles ejercicios sobre el tema visto, ya sea en tu etapa estudiantil Como en la profesional, te darás cuenta De la gran utilidad de estas ayudas. Por lo pronto, Aquí te va un ejemplo. Se trata de un punto de un parcial de cuando vi matemáticas en la “U” Y el cual muy pocos logramos resolver. Para mí fue muy sencillo gracias a:
El Hexágono Trigonométrico.
Análisis: Integrar:
Ves que tienes Secante y Cosecante. Si miras en el Hexágono trigonométrico y recuerdas las relaciones explicadas en “La Flor", te darás cuenta que las puedes simplificar a Tangente (Observa el dibujo). Para ello debes igualar las potencias, sacando a un lado una Secante al cuadrado.
6
Sec x dx 4 Csc x 4
=
=
Sec x . Sec x 4 Csc x
4
Tan x . Sec x
2
2
dx
dx
Si… T= SC CSC
4
4
SC entonces… T= CSC 4
Después de lo anterior, descubres que cumples los los requisitos para poder resolver la integral de la forma:
=
µ4
=
µ5 5
.
dµ
µ
n
µ
.d
…Gracias a “El Boxeador”, que te confirma que la derivada de Tangente es Secante al cuadrado. Por último solo nos queda integrar… y ¡Listo!
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Imprime, recorta alrededor, dobla por la mitad, y has laminar estas ayudas mientras te las aprendes.
