CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26
Identidades Trigonométricas Las identidades trigonométricas son igualdades igualdades que que invol involucra ucran funciones funciones trigonométricas, trigonométric as, verificables rificables para cual cualqui quieer valor alor permis rmisible de la variable riable o variables riables que que se cons consider deren (es decir decir,, para cual cualqui quieer valor alor que que pud pudieran toma tomar los ángul ángulos sobre los que que se aplica ican las funciones) funciones).. Estas identi dentidades, dades, son útiles útiles siempre mpre que que se pre precise cise simpl implifica ificar expr expres esion iones es que que incl incluye uyen funciones funciones trigonométricas trigonométric as.. Otra Otra aplica icación importa importante nte es el cál cálcul culo de inte integrales grales inde indefini finidas das de funciones funciones no-trigonométricas: no-trigonométric as: se suele usar sar una una regla de sustitución con una un a función trigonométrica, trigonométric a, y se simpl implifica ifica entonces ntonces la inte integral gral resu esultante nte usan sando identi dentidades dades trigonométricas trigonométric as.. Las funciones trigonométricas matemáticas, máticas, son rela r elacion ciones es angula ngularres; gua guardan dan rela r elación ción con trigonométricas, en ma el estu estud dio de la geom omeetría tría de los triángul triángulos y son de gra gran importa importancia ncia en fís física, ica, astronomí astronomía, a, cartogra rtografía, fía, náutica, náutica, telecomunic elecomunicaaciones, ciones, la represe present ntaación de fenóm nómeenos nos periód riódicos, icos, y otras otras muchas muchas aplica icaciones ciones.. En trigonome trigonom etría tría exi existen va varias rias identi dentidades dades funda fundam mentales, ntales, entre ntre ellas encontra ncontramo moss las:
Recíprocas De división Por el teorema de Pitágoras Práctica 0. Crea Crea una una carpe rpeta y llám llámala ala Identi dentidades dades para gua guardar dar tod todos los ejercicio ejercicioss de est este tema. 1. Ab Abre GeoGeb oGebrra, daño daño cl clic sobre el icono corres correspon pond diente: nte:
2. Col Coloca oca el apuntad puntador or del mouse mouse sobre el área área de gra grafica ficación y pulsa pulsa el botón der derecho del mouse, mouse, con la fin final aliidad de realiz ealizaar un acerca rcamie miento del 200%.
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3. Abre la herramienta Nuevo Punto y selecciona Intersección de Dos Objetos, marca con ella la intersección de los ejes, con ello tenemos un punto A
4. Crearemos una barra de deslizamiento a la que llamaremos E1, para esto en la barra de entrada da clic sobre el símbolo que se encuentra a la derecha, luego introduces guión bajo e el número 1, enseguida escribes = 20, como se muestra a continuación:
Si no aparece el deslizador, en la ventana o vista algebraica, da clic sobre E1.
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5. Enseguida coloca el apuntador sobre la barra que acabas de crear y da clic derecho sobre ella para activar las propiedades y cambiar el rango de 0 a 90.
6. Dibu ja una circunferencia con centro en el punto A y radio = 1
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6. Introduce por medio de la barra de entrada el punto D, para ello escribe D = (1, 0) 7. Ahora vamos a introducir un ángulo sobre el eje x·x, para ello activa la herramienta Angulo y enseguida selecciona la opción Angulo dada su Amplitud. Para ello se requiere un punto lateral (D) y el vértice (A). En Amplitud escribimos E _ 1 y finalmente damos clic en OK
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8. Unimos el punto A con el D· mediante un segmento, el cual se encuentra en la herramienta Recta.
9. Colocamos el apuntador sobre el segmento a y con clic derecho, activamos propiedades, para cambiar el nombre del segmento, ahora lo llamaremos r .
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 10. Mueve el deslizador para ampliar el ángulo.
11. Trace una perpendicular al eje x·x que pase por el punto D·. Active para ello el icono Per pendicular.
Recta
12. Marque el punto de intersección de la perpendicular y el eje x·x, utilice la herramienta Intersección de dos Objetos .
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 13. Enseguida ocultaremos los ejes y la perpendicular creada en el paso 11. Para ocultar los ejes da clic derecho sobre ellos y enseguida en E jes. Para la perpendicular, clic derecho sobre ella y Ocultar Objeto.
14. Uniremos los puntos A, B y B, D· mediante segmentos. Luego renombraremos los puntos D· y B, así como los segmentos formados, para que nos quede de la siguiente manera:
15. Oculte el punto D, y proceda a medir los catetos y la hipotenusa del triángulo formado:
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16. Introduciremos la definición de las seis funciones trigonométricas, para ello utilizaremos la herramienta Inserta Texto.
17. Introduzca los siguientes textos: "Sen()= Sin(" + + ")=" + (sin()) "Cos ()= Cos (" + + ")=" + (cos()) "Tan ()= Tan (" + + ")=" + (tan()) Estas son las únicas funciones que GeoGebra tiene definidas, por ello debemos encontrar una forma de calcular las tres restantes, por lo que procederemos ahora a calcular estas funciones a partir de su definición.
18. Introduzca los siguientes textos: "Sen ( ) =Sin(" + + ")= b/r =" + b + "/" + r + " =" + ( b / r) "Cos ( ) =Cos(" + + ")= a/r =" + a + "/" + r + " =" + (a / r) "Tan ( ) =Tan(" + + ")= b/a =" + b + "/" + a + " =" + (b / a) Continuemos con las otras tres funciones (Cotangente, Secante y Cosecante) a partir de sus definiciones.
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 19. Introduzca los siguientes textos: "Cot ( ) =Cot(" + + ")= a/b =" + a + "/" + b + " =" + (a / b) "Sec ( ) =Sec(" + + ")= r/a =" + r + "/" + a + " =" + (r / a) "Csc ( ) =Csc(" + + ")= r/b =" + r + "/" + b + " =" + (r / b) Observemos los que llevamos hasta este punto y tratemos de relacionar las funciones definidas.
Recordemos que una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene razones trigonométricas y que es verdadera, cualesquiera sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Para verificar este tipo de ejercicios, se sugiere trabajar con un solo miembro de la identidad, transformándolo (preferentemente ponerlo en términos de seno y coseno) hasta lograr la identidad con el otro miembro. 20. Con base en el archivo creado y la figura y texto construidos podemos estables las siguientes igualdades: Sen(45º) = Cos(45º) Tan(45º) = Cot(45º) Sec(45º) = Csc(45º) ¿Son estás igualdades identidades? Argumenta tu respuesta. Sugerencia: Mueve el deslizador y observa.
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 21. Analicemos las siguientes definiciones:
)=
sen(E) = csc(E
¿Qué pasa multiplicamos dos funciones:
si las
sen(E) csc(E) =
= = 1
Mueva el deslizador y observe los valores del seno y de la cosecante, con ayuda de la calculadora multiplique. ¿Es válido para todos los valores del ángulo? ¿Representa entonces una identidad? 22. Repita el procedimiento anterior para tratar de encontrar alguna relación entre coseno y secante, tangente y cotangente. ¿Es una identidad el producto del coseno por la secante?
¿Es una identidad el producto de la tangente por la cotangente?
23. Si en la expresión sen(E) csc(E) = 1, despejas para sen(E) nos queda:
)=
sen(E) =
y si se despeja csc(E) nos queda
csc(E
Por lo anterior se dice que el seno y la cosecante son recíprocos, o también suele decirse que las funciones seno y cosecante son funciones recíprocas.
24. Observemos las funciones seno, coseno y tangente a partir de su definición. sen(E) =
cos(E) =
tan(E) =
El numerador del seno (b) es el mismo para la tangente (b), mientras que el numerador del coseno (a) es el denominador de la tangente, por lo que podemos pensar que si hacemos el cociente del seno y coseno obtendremos la tangente, veamos
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Por lo que podemos concluir que:
tan(E) =
25. Observemos las funciones coseno, seno y cotangente a partir de su definición. cos(E) =
cot(E) =
sen(E) =
Podemos concluir también que:
cot(E) =
26. Identidades trigonométricas Pitagóricas. Tomemos nuestra construcción como base para deducir las tres identidades conocidas como Pitagóricas.
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 En el triángulo rectángulo ABC, se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir: a2 + b2 = r2 Si dividimos ambos miembros por r2, tendremos
Lo cual podemos simplificar de la siguiente forma:
O también como:
Pero sabemos que: sen(E) =
y que
cos(E) =
, por lo que podemos establecer que:
Compruébelo para diferentes ángulos llenando la siguiente tabla: Angulo (E)
sen(E)
cos(E)
suma
27. Utilice la relación a2 + b2 = r2 pero ahora divida los términos por a2 Escriba el procedimiento y la conclusión, repitiendo el procedimiento descrito en el numeral 26
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Angulo (E)
28. Utilice la relación a2 + b2 = r2 pero ahora divida los términos por b2 Escriba el procedimiento y la conclusión, repitiendo el procedimiento descrito en el numeral 26 Angulo (E)
29. Utilizaremos lo anterior para comprobar las identidades que se plantean: Sugerencia: Para verificar este tipo de ejercicios, trate de trabajar con un solo miembro de la identidad, transformándolo (preferentemente ponerlo en términos de seno y coseno) hasta lograr la identidad con el otro miembro. Dada una proposición trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas. a). Demostrar que sen x sec x = tan x Tomemos el miembro de la izquierda y recordemos que la sec(x) = Sustituyendo tendremos que:
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sen(x)
= =
y sabemos que la tan(x) =
sen (x) sec (x) = tan (x)
b. Demostrar que (sen x + cos x)2 = 1 +
, por lo que se comprueba que
Desarrollemos el miembro de la izquierda: (sen x + cos x)2 = sen2 x + 2*sen x * cos x + cos2 x (sen x + cos x)2 = (sen2 x + cos2 x) + 2 * sen x * cos x (sen x + cos
x)2
= 1 + 2*sen x (
(sen x + cos x)2 = 1 +
agrupando pero sen2 x + cos2 x = 1 y además cos x = por lo tanto
)
c. Demuestre que 2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 1 + sen2 x Tomemos el miembro de la izquierda y desarrollemos 2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 2 ² 2* cos2 x + cos2 x 2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 2 ² cos2 x
pero sen2 x + cos2 x = 1 o bien cos2 x = 1 ² sen2 x, sustituyendo
2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 2 ² (1 ² sen2 x) 2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 2 ² 1 + sen2 x 2(1 ² cos2 x) + cos2 x = 1 + sen2 x
d. Demuestre la identidad:
= sen
E
Trabajando con el miembro de la izquierda y reduciendo a senos y cosenos todas las funciones tenemos que:
= = = = sen = =
E
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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS DEL MAR No. 26 e. Demuestre la identidad: tan x * cos x * csc x = 1 Poniendo todo en términos del seno y coseno, tenemos que
= 1
f. Llene la tabla siguiente: Funciones Trigonométricas en función de las otras cinco Función sen cos tan
sen sen E
cos
tan
cot
sec
cos E
csc
cot sec csc
30. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas a) sen2 x +
= sen x
csc x
b)
2 + cos x = 1 + tan x cot x = csc2 x
c) tan2 x + sen x csc x = sec2 x
d)
e) sen2 x + cos2 x = cos x sec x
f) tan2 x + tan x cot x = sec2 x
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