PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg
5400kg
σx = P/A
σy =0
σx = 5400kg/6x9cm2
xy =0
σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo: y J xy 2 máx = ± x 2 máx = ±√ (5400-0)2/2+02 2
tmax= ±500 Kg/ cm2
21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:
=20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0
xy =0 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t= 321.39 Kg/ cm2
22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una
carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30º 2240kg
2240kg σx = P/A
σy =0
σx = -2240kg/2x2cm2
xy =0
σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t= -242.49 Kg/ cm2
23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0
xy =0 θ=30º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-280 a = (σx - σy)/2
R=280 2θ=60º
t
a=280 b= xy =0 s n,t 280
280Sen60º 2
s min=-560
DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2
t= 280Cos60º t= -140 Kg/ cm2
C=-280
O
s max=0
s
24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σx =
210
cm2,
Kg/
σy =0,
xy =280 Kg/ cm2 ,
determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado =45ºcon el eje X. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0
xy =280 Kg/ cm2
=45º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t= 105 Kg/ cm2
25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las
tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0
xy =280 Kg/ cm2
=45º a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x y 2
x y 2
2
2 XY
σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280
2
σmax =404.04 Kg/ cm2
σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ
min=-194.04
2
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones:
tan2 p
2 xy
x y
Tan2 p=-2x280/210 2 p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2 p=20.554 2 p1=20.554+90º p1=55º16´
2 p2=20.554+270º p2=145º16´
c) Cortante máximo:
máx = ±
máx =
x y 2
2
J xy 2
±√ (210-0)2/2+2802
tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 c=(σx- σy)/2 xy
c=10º16´41”
26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0
xy =280 Kg/ cm2 =45º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=105
R=299.04
a = (σx - σy)/2
t
a=280 b=
210
xy =280
t max=299.04kg/cm² s x,t xy
280
2qp2
s min=-194
O
C=105 R=299
280
s max=404.04
2qp1
2qc
s y,t xy
105
t max=-299.04kg/cm² DEL GRÁFICO: Sen2 c=105/299 2 c=20.55 2 p=20.55+90º
s
2 p=110.55 27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos:
280 kg/cm2
210kg/cm2
210kg/cm2 280 kg/cm2
xy =-280 kg/cm2
σx =-210 kg/cm2
σy = 0
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x y 2
x y 2
2
2 XY
σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280
2
σmax =194.04Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ
min-404.04Kg/
2
cm2
Hallamos las direcciones:
tan2 p
2 xy
x y
Tan2 p=-2x-280/-210 2 p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2 p=20.554 2 p1=20.554+90º
2 p2=20.554+270º
p1=55º16´
p2=145º16´
b) Cortante máximo:
máx = máx =
±
x y 2
2
J xy 2
±√ (-210-0)2/2+-2802
tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 c=(σx- σy)/2 xy
c=10º16´41” 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos:
xy =-280 kg/cm2
σx =-210 kg/cm2 σy = 0
=30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t= -230 Kg/ cm2
29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2, σy =560 kg/cm2 y
determinar analíticamente la tensión cortante
máxima que existe en el elemento. Datos:
xy =0
σx =560 kg/cm2 σy =560 kg/cm2 Cortante máximo:
y J xy 2 máx = ± x 2 máx = ±√ 560-560)2/2+02 2
tmax= 0 30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones
descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2
xy =0
σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2 C=560 a = (σx - σy)/2
-RADIO R2=a2+b2 R=0
t
a=0 b= xy =0
El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.
O
C=560
s
31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: σx =560 kg/cm2
xy =0
σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo: y J xy 2 máx = ± x 2 máx = ±√ 560--560)2/2+02 2
tmax= ± 560 kg/cm2 Tan2 c=(σx- σy)/2 xy 2 c=45º
32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones
Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2
xy =0
σy =-560 kg/cm2
=30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t= 484.974 Kg/ cm2 33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2
xy =0
σy =-560 kg/cm2
=20º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=0
R=560
a = (σx - σy)/2
t
a=560 b= xy =0 2 =40º
DEL GRÁFICO:
sn
s y,t xy
t =560sen40º t =-359.961 kg/cm2 σn =560cos40º σn =-428.985kg/cm2
-560
t
s x,t xy
40º R=560
O=centro
560
s
34. Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada,
sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 560 kg/cm2 560kg/cm2
560 kg/cm2
560 kg/cm2 Datos:
xy =560 kg/cm2
σx =0 σy =0
Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x y 2
x y 2
2
2 XY
σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560
2
σmax =560 Kg/ cm2 σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 σ
min=-560
2
Kg/ cm2
t 560
DEL GRÁFICO:
s x,t xy
2 p=45º
2qp O=centro
-560
s y,t xy
s
35. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la
figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2
2
560kg/cm 1400 kg/cm2
1400 kg/cm2 560 kg/cm2
560 kg/cm2 840 kg/cm2
Datos:
xy =-560 kg/cm2
σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x y 2
x y 2
2
2 XY
σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 σmax =1746.099 Kg/ cm2 σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ
min=493.901
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones:
tan2 p
2 xy
x y
Tan2 p=-2x-560/1400-840 2 p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 p2=+63.435
p2=31º43´03”
2 p1=+63.435 +180º
p1=121º46´57”
2
2
c) Cortante máximo:
máx = ±
máx =
x y 2
2
J xy 2
±√ (1400-840)2/2+-5602
tmax= ±626.099 Kg/ cm2 Tan2 c= (σx- σy)/2 xy Tan2 c= (1400- 840)/2(-560) 2 c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2
c=76º43´03”
36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de
Mohr. Datos:
xy =-560 kg/cm2
σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2 a=280 b= xy =-560
t t max=626.099kg/cm²
(8400,560)
2qp O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
s max=1746.099kg/cm²
2qc
-560
(1400,-560)
s
37.
Considerar
nuevamente
el
problema
35.
Determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos:
xy =-560 kg/cm2
σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2
=20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2
σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t= -249 Kg/ cm2
38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2
xy =-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2
=20º
MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2
2 =40º
a=280 b= xy =-560
t t max=626.099kg/cm²
(8400,560)
s t
b
40º
a O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
626.099
560
(1400,-560)
-560
senb=560/626.099 b=63.435
560
a=23.435
b=63.435 a=23.435
626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45
626.099sena
b senb=560/626.099 b=63.435
626.099
626.099sena
b
626.099
s max=1746.099kg/cm²
b=63.435 a=23.435
626.099
a=23.435
t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²
626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45
t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9
s
39. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la
figura, determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2
2
700kg/cm 560 kg/cm2
560 kg/cm2 700kg/cm2
700 kg/cm2 840 kg/cm2
Datos:
xy =700 kg/cm2
σx =-560 kg/cm2
σy = -840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x y 2
x y 2
2
2 XY
σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700
2
σmax =13.863 Kg/ cm2 σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 σ
min=-1413.863
2
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones:
tan2 p
2 xy
x y
Tan2 p=-2x-700/-560--840 2 p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2 p1=11.3099+90º 2 p2=11.3099+270º
p1=50º39´18”
p2=140º39´18”
c) Cortante máximo:
máx = ±
máx =
x y 2
2
J xy 2
±√ (-560--840)2/2+7002
tmax= ±713.863 Kg/ cm2 Tan2 c= (σx- σy)/2 xy Tan2 c= (-560--840)/2(700) 2 c=11.3099 (IIQ, IVQ)
c=5º39´17.88”
40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.
Datos:
xy =700 kg/cm2
σx =-560 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-700
R=713.86
a = (σx - σy)/2 a=140 b= xy =700
t t max=713.86kg/cm²
s x,t xy
2qc R=713.86
2qp
700
2
s min=-1413.86
C=-700
s y,t xy t max=-713.86kg/cm² 840
O
s max=13.86
s
