PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR
20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza
de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg
5400kg σy =0
σx = P/A
σx = 5400kg/6x9cm2
xy
=0
σx = 1000 Kg/ cm 2
Cortante máximo: má x = má x
±
x
2
y J xy 2 2
= ±√ (5400-0)2 /2+02
tmax=
±500 Kg/ cm2
21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que
actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:
=20º
σx = 1000 Kg/ cm 2 σy =0
21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que
actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:
=20º
σx = 1000 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=0
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t=
22.
321.39 Kg/ cm2
Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una
carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30º
22.
Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una
carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30º 2240kg
2240kg
σx = P/A
σy =0
σx = -2240kg/2x2cm2
xy
=0
σx = -560 Kg/ cm2
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t=
23.
-242.49 Kg/ cm2
Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de
23.
Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=0
θ=30º MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-280 a = (σx - σy)/2
R=280 2θ=60º
t
a=280 b=
xy
=0 s n,t
280 280Sen60º 2
s min=-560
DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2 t= t=
280Cos60º
-140 Kg/ cm 2
C=-280
O
s max=0
s
24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones ,
σx = 210 Kg/ cm 2, σy =0,
xy
=280 Kg/ cm2 , determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado =45ºcon el eje X. Datos: σx = 210 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=280 Kg/ cm2
=45º
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t=
25.
105 Kg/ cm2
Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las
tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar.
25.
Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las
tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=280 Kg/ cm2
=45º
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x
y 2
2
x y 2 2
XY
σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280 σmax =404.04 Kg/ cm 2
σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ
min=-194.04
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones: tan2 p
2 xy x
y
Tan2 p=-2x280/210 2 p=-2.667 IIQ, IVQ
2
2
c) Cortante máximo: 2
má x = ±
x y J xy 2 2
máx =
±√ (210-0)2 /2+2802
tmax=
±299.04 Kg/ cm2
Tan2 c=(σx- σy)/2 xy
26.
c=10º16´41
”
Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=280 Kg/ cm2
=45º
MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=105 a = (σx - σy)/2 a=280
R=299.04
t
210
26.
Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm 2 σy =0 xy
=280 Kg/ cm2
=45º
MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=105
R=299.04
a = (σx - σy)/2
t
a=280 b=
xy
210
=280
t max=299.04kg/cm² s x,t xy
280
2qp2
s min=-194
O
C=105 R=299
280
s max=404.04
2qp1
2qc
s y,t xy
105
t max=-299.04kg/cm²
DEL GRÁFICO: Sen2 c=105/299 2 c=20.55
2 p=20.55+90º
s
2 p=110.55
Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: 27.
a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos:
280 kg/cm2
210kg/cm 2
210kg/cm2 280 kg/cm2
σx =-210 kg/cm2
xy
=-280 kg/cm2
σy = 0
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
y
x
2
2
x y 2 2
XY
σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280
2
σmax =194.04Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)- √ ((210- 0) /2+280 σ
min-404.04Kg/
2
cm2
Hallamos las direcciones: tan2 p
2 xy x
y
Tan2 p=-2x-280/-210 2 p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2 p=20.554 2 p1=20.554+90º
2 p2=20.554+270º
p1=55º16´
p2=145º16´
b) Cortante máximo: 2
máx = ±
x y J xy 2 2
±√ (-210-0)2 /2+-2802
máx = tmax=
±299.04 Kg/ cm2
Tan2 c=(σx- σy)/2 xy
c=10º16´41
”
28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones
normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos: σx =-210 kg/cm2
xy
=-280 kg/cm2
σy = 0
=30º
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t=
-230 Kg/ cm2
29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2,
σy =560 kg/cm2 y
determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. Datos: xy =0 σx =560 kg/cm2 σy =560 kg/cm2
Cortante máximo: 2
má x = má x
±
x y J xy 2 2
= ±√ 560-560)2 /2+02 tmax=
0
¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones
30.
descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2
xy
=0
σy =560 kg/cm2 MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2 C=560 a = (σx - σy)/2
-RADIO R2=a2+b2 R=0
t
a=0 b=
xy
=0
El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.
O
C=560
s
31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2
y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: xy =0 σx =560 kg/cm2 σy =-560 kg/cm2
Cortante máximo: má x = má x
±
x
2
y J xy 2 2
= ±√ 560--560)2 /2+02
tmax=
± 560 kg/cm 2
Tan2 c=(σx- σy)/2 xy 2 c=45º 32.
Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones
Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2
xy
=0
σy =-560 kg/cm2
=30º
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t=
484.974 Kg/ cm 2
33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las
tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: xy =0 σx =560 kg/cm2 σy =-560 kg/cm2
=20º
MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=0
R=560
t
a = (σx - σy)/2 a=560 b= xy =0 2 =40º DEL GRÁFICO: t =560sen40º t =-359.961
kg/cm2
σn =560cos40º σn =-428.985kg/cm2
sn
s y,t xy -560
t
s x,t xy
40º R=560
O=centro
560
s
34.
Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada,
sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 560 kg/cm2 560kg/cm2
560 kg/cm2
560 kg/cm2 Datos: σx =0
xy
=560 kg/cm2
σy =0
Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x
y 2
2
x y 2 2
XY
σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560
2
σmax =560 Kg/ cm2 σmin =( (0+ 0) /2)- √ ((0- 0) /2+560 σ
min=-560
2
Kg/ cm2
t 560
DEL GRÁFICO:
s x,t xy
2 p=45º
2qp O=centro
-560
s y,t xy
s
35.
Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la
figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones. b)Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2
560kg/cm2 1400 kg/cm2
1400 kg/cm2 560 kg/cm2
560 kg/cm2 840 kg/cm2
Datos: σx =1400 kg/cm2
=-560 kg/cm2
xy
σy = 840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x
y 2
2
x y 2 2
XY
σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 σmax =1746.099 Kg/ cm2 σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ
min=493.901
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones: tan2 p
2 xy x
y
Tan2 p=-2x-560/1400-840 2 p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 p2=+63.435
2=31º43´03”
2 p1=+63.435 +180º
1=121º46´57”
2
2
c) Cortante máximo: 2
má x = ±
máx =
x y J xy 2 2
±√ (1400-840)2 /2+-5602
tmax=
±626.099 Kg/ cm2
Tan2 c= (σx- σy)/2 xy Tan2 c= (1400- 840)/2(-560) 2 c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2
36.
c=76º43´03”
Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2
xy
=-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2 MOHR
-CENTRO
-RADIO
36.
Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2
xy
=-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2 MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2 a=280 b=
xy
=-560
t t max=626.099kg/cm²
(8400,560)
2qp O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
s max=1746.099kg/cm²
2qc
(1400,-560) -560
s
Considerar
37.
nuevamente
el
problema
35.
Determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos: σx =1400 kg/cm2
xy
=-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2
=20º
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx- σy)/2+ xy Cos2 t=
Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t=
-249 Kg/ cm2
Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de Mohr. 38.
Datos: σx =1400 kg/cm2
xy
σy = 840 kg/cm2
=-560 kg/cm2
=20º
MOHR
-CENTRO C= σ + σ ) /2
-RADIO R2=a2+b2
Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de Mohr. 38.
Datos: σx =1400 kg/cm2
xy
σy = 840 kg/cm2
=-560 kg/cm2
=20º
MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2
2 =40º
a=280 b=
xy
=-560 t max=626.099kg/cm²
(8400,560)
s t
b
40º
a O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
s max=1746.099kg/cm²
(1400,-560) -560
626.099
626.099sena
b senb=560/626.099 b=63.435
b=63.435 a=23.435
626.099
a=23.435 626.099cosb 626.099sena=249
t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²
s
39.
Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la
figura, determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2
700kg/cm2 560 kg/cm2
560 kg/cm2 700kg/cm2
700 kg/cm2
Datos: σx =-560 kg/cm2
840 kg/cm2 xy
=700 kg/cm2
σy = -840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales:
1, 2
x
y 2
2
x y 2 2
XY
σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700
2
σmax =13.863 Kg/ cm 2 σmin =( -560+-840) /2)- √ ((-560--840) /2+700 σ
min=-1413.863
2
Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones: tan2 p
2 xy x
y
Tan2 p=-2x-700/-560--840 2 p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2 p1=11.3099+90º 2 p2=11.3099+270º
p1=50º39´18”
p2=140º39´18”
c) Cortante máximo: 2
má x = ±
máx =
x y J xy 2 2
±√ (-560--840)2 /2+7002
tmax=
±713.863 Kg/ cm2
Tan2 c= (σx- σy)/2 xy Tan2 c= (-560--840)/2(700) 2 c=11.3099 (IIQ, IVQ)
40.
c=5º39´17.88”
Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.
Datos: σx =-560 kg/cm2
xy
=700 kg/cm2
σy = -840 kg/cm2 MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-700
R=713.86
a = (σx - σy)/2 a=140 b=
xy
=700
t
40.
Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.
Datos: σx =-560 kg/cm2
xy
=700 kg/cm2
σy = -840 kg/cm2 MOHR
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-700
R=713.86
a = (σx - σy)/2 a=140 b=
xy
=700
t t max=713.86kg/cm²
s x,t xy
2qc R=713.86
2qp
700
2
s min=-1413.86
C=-700
s y,t xy t max=-713.86kg/cm² 840
O
s max=13.86
s
