CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS COMBINADOS El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Propiedades del Círculo de Mohr El centro del circulo de Mohr se encuentra en el eje en !prom. "#. $os puntos del circulo que está arriba del eje !es decir, % negati&o# corresponde a las caras que tiene un esfuerzo cortante que act'a en el sentido de mo&imiento de las manecillas manecillas del reloj los punto que están a bajo del eje !es decir % positi&o# positi&o# corresponde a caras que tienen el esfuerzo cortante en sentido in&erso al mo&imiento de las manecillas de reloj. El radio del círculo se determina aplicando el teorema de (itágoras al triangulo cuyos catetos son )xy y !x*y+#
A!lisis de es"uer#os $a%o car&as co'$iadas
El procedimiento de análisis que se describirá a continuaci-n se aplicara para resol&er &arios problemas de análisis de esfuerzos, que implican di&ersas combinaciones de tipo de carga axial, de torsi-n y de flexi-n.
Procedi'ie(o de a!lisis de es"uer#o para car&as co'$iadas El siguiente procedimiento de tres pasos es 'til para calcular los esfuerzos debidos para cargas combinadas. a# /eterminar las resultantes internas, esto, naturalmente, implica trazar diagramas de cuerpo libre y plantear ecuaciones de equilibrio. (ara los problemas estáticamente indeterminados también se debe tomar en cuenta el comportamiento del material y la geometría de la deformaci-n. b# 0alcular los esfuerzos indi&iduales para calcular la distribuciones de esfuerzos causados por las di&ersas resultantes de esfuerzos se emplean f-rmulas como los de la lista de la tabla presenta f-rmulas para esfuerzos en recipientes a presi-n de pared delgada. c# 0ombinar los esfuerzos indi&iduales este paso consiste en sumar algebraicamente los esfuerzos a fines !por ejemplo, en la misma cara# o emplear el círculo de Mohr cuando los esfuerzos son distintos por ejemplo, x y y . En la mayor parte de los casos se piden los esfuerzos principales y el fuerzo cortante máximo y se pueden obtener por medio del circulo de Mohr de esfuerzos.
ESFUERZOS NORMALES M)*IMOS +eoría, 1$a falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia2
Es"uer#os pricipales
3iempre es importante obtener los &alores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los &alores admisibles del material que se está e&aluando. El esfuerzo normal máximo se deduce deri&ando 4x5 con respecto al ángulo 6 d4x5 +d6 7 " 7 * ! 4x * 4y # !sen 6# 8 6xy !cos 6# tan 6 7 6xy + ! 4x * 4y # $a soluci-n de esta ecuaci-n son dos ángulos que &alen 6 y 6 8 9" :l e&aluar usando estos &alores para el ángulo 6 se obtienen los esfuerzos normales máximo ! 4;# y mínimo !4#. Es importante destacar que si se iguala 6x5y5 7 " se obtiene la misma expresi-n que la deri&ada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales !4; y 4# se produce que el esfuerzo cortante &ale cero. En definiti&a 4; , 4 7 ! 4x 8 4y # + 8 + * El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, deri&ando la expresi-n correspondiente con respecto al ángulo 6. dtx5y5 + d6 7 " 7 * 6xy !sen 6# * ! 4x * 4y # !cos 6# tan 6 7 * ! 4x * 4y # + 6xy Esta expresi-n nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definiti&a 6; y 6 7 8 + *
ESFUERZO COR+AN+E
$as fuerzas aplicadas a un elemento estructural pueden inducir un efecto de deslizamiento de una parte del mismo con respecto a otra. En este caso, sobre el área de deslizamiento se produce un esfuerzo cortante, o tangencial, o de cizalladura !figura ;<#. :nálogamente a lo que sucede con el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante se define como la relaci-n entre la fuerza y el área a tra&és de la cual se produce el deslizamiento, donde la fuerza es paralela al área. El esfuerzo cortante !t # ser calcula como !figura ;=# Esfuerzo cortante 7 fuerza + área donde se produce el deslizamiento t 7
>+:
donde, t
es el esfuerzo cortante
> es la fuerza que produce el esfuerzo cortante : es el área sometida a esfuerzo cortante
Fi&ura -., Es"uer#os cor(a(es/
$a fuerza ( debe ser paralela al área : >igura ;= 0álculo de los esfuerzos cortantes. $as deformaciones debidas a los esfuerzos cortantes, no son ni alargamientos ni acortamientos, sino deformaciones angulares g , como se muestra en la figura ;?
>igura ;? /eformaci-n debida a los esfuerzos cortantes. @ambién puede establecerse la $ey de AooBe para corte de manera similar a como se hace en el caso de los esfuerzos normales, de tal forma que el esfuerzo cortante !t #, será funci-n de la deformaci-n angular ! g # y del m-dulo de cortante del material !C# t 7
C g
$os m-dulos de elasticidad E y C están relacionados mediante la expresi-n C 7 E + ! !; 8 µ## /onde,
µ
es la relaci-n de (oisson del material
EL C0RCULO DE MOHR Es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico
!de
x
o
de
y
calcular
con
ella momentos
de
inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia !radio, centro, etc#. @ambién es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformaci-n máxima absoluta. $as dos formas del círculo de Mohr se muestran en la >ig. ;.<", la diferencia son el ejes de las coordenadas Ƭ y su correspondiente sentido positi&o de los ángulos.
Pasos para la cos(rucci1 del círculo de Mohr, ;. /ibujo de un sistema de ejes de coordenadas con como la abscisa, positi&o hacia la derecha, y Ƭ como ordenada, positi&o hacia abajo. . $ocalice el centro 0 del círculo en el punto con coordenadas
<. $ocalice el punto : que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara elemento mostrado en la >ig. ;.<;, marcando sus coordenadas . Dote que el punto : corresponde a
.
del
=. $ocalice el punto que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la >ig. ;.<;, trazando sus coordenadas
.
Fbser&e que el punto sobre el círculo corresponde a ?. /ibuje una línea del punto : al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro 0. $os puntos : y, que representan los esfuerzos sobre planos a
uno del
otro están en extremos opuestos del diámetro !y por lo tanto están a
uno del
otro sobre el círculo. G. 0omo punto 0 cono centro, trace el círculo de Mohr por los puntos : y . El círculo dibujado de esta manera tiene un radio H.
I. 0alculo de los esfuerzos principales y ubicaci-n en la >ig. ;.<; J. 0alculo del ángulo Ɵ.
9. 0álculo del esfuerzo cortante máximo,
, y del ángulo K.
I(roducci1 El siguiente método a estudiar es el más conocido y 'til aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnol-gicos, dicho método se utiliza para determinar los esfuerzos máximos y mínimos de compresi-n y tensi-n además de los esfuerzos cortantes el cual se llama 0irculo de Mohr, con ésta una técnica también es posible en ingeniería representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones, adaptando los mismos a las características de un círculo !radio, centro, etc.#. $as aplicaciones de esta construcci-n gráfica tienen su fundamento en las leyes de transformaci-n de ciertas entidades matemáticas. Lna de sus características más importantes es que aunque se trata de una soluci-n gráfica, su construcci-n no exige en la mayoría de las aplicaciones, medidas a escala tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la soluci-n de algunos problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecánica.
Coclusi1 El 0írculo de Mohr es muy 'til dentro de la ingeniería para encontrar de una manera rápido todos los esfuerzos que act'an en un punto. :l momento de encontrar los esfuerzos normales y esfuerzos cortantes debemos tener cuidado con los signo para encontrar de una forma efecti&a los datos para armar nuestro 0irculo de Mohr.
0uando los ángulos se miden del &értice en el centro del 0írculo de Mohr en sentido del giro del elemento es igual al sentido del giro en el 0írculo de Mohr, ya que se duplica el &alor del ángulo rotado. $as ecuaciones de transformaci-n de esfuerzos y su representaci-n gráfica dentro del 0írculo de Mohr son aplicadas a cualquier material ya que han sido obtenidos a partir de consideraciones de equilibrio.
HE(N$O0: F$OP:HO:D: /E PEDEQLE$: MODO3@EHOF /E$ (F/EH (F(L$:H (:H: $: E/L0:0ORD LDOPEH3O@:HO:, 0OED0O: S @E0DF$FCT: LDOPEH3O/:/ (F$O@U0DO0: @EHHO@FHO:$ /E (:HO: 1$LO3 M:HO:DF HOPEH:2 (HFCH:M: D:0OFD:$ /E >FHM:0ORD ED ME0VDO0: 3:EH /O3EWF /E E$EMED@F3 ME0VDO0F3 0:HN(:DF * E3@:/F 3L0HE
0TH0L $F /E MFAH FACILI+ADOR,
PAR+ICIPAN+E
ODC. 0:H$F3 (EW:
XEPOD 0:H::$$F. :/HO:D: E3@::.
3E(@OEMHE ";?
F1r'ulas, . El radio del círculo se determina aplicando el teorema de (itágoras al triangulo cuyos catetos son )xy y !x*y+#
El esfuerzo normal máximo se deduce deri&ando 4x5 con respecto al ángulo 6 d4x5 +d6 7 " 7 * ! 4x * 4y # !sen 6# 8 6xy !cos 6# tan 6 7 6xy + ! 4x * 4y #
$a soluci-n de esta ecuaci-n son dos ángulos que &alen 6 y 6 8 9" En definiti&a 4; , 4 7 ! 4x 8 4y # + 8 + * El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, deri&ando la expresi-n correspondiente con respecto al ángulo 6. dtx5y5 + d6 7 " 7 * 6xy !sen 6# * ! 4x * 4y # !cos 6# tan 6 7 * ! 4x * 4y # + 6xy Esta expresi-n nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definiti&a 6; y 6 7 8 + * t 7
>+: donde t es el esfuerzo cortante > es la fuerza que produce el esfuerzo cortante : es el área sometida a esfuerzo cortante t 7
C g
$os m-dulos de elasticidad E y C están relacionados mediante la expresi-n C 7 E + ! !; 8 µ## /onde µ es la relaci-n de (oisson del material
Pasos para la cos(rucci1 del círculo de Mohr, ;". /ibujo de un sistema de ejes de coordenadas con como la abscisa, positi&o hacia la derecha, y Ƭ como ordenada, positi&o hacia abajo. ;;. $ocalice el centro 0 del círculo en el punto con coordenadas
;. $ocalice el punto : que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la >ig. ;.<;, marcando sus coordenadas . Dote que el punto : corresponde a . ;<. $ocalice el punto que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la >ig. ;.<;, trazando sus coordenadas . Fbser&e que el punto sobre el círculo corresponde a ;=. /ibuje una línea del punto : al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro 0. $os puntos : y, que representan los esfuerzos sobre planos a uno del
otro están en extremos opuestos del diámetro !y por lo tanto están a uno del otro sobre el círculo. ;?. 0omo punto 0 cono centro, trace el círculo de Mohr por los puntos : y . El círculo dibujado de esta manera tiene un radio H.
;G. 0alculo de los esfuerzos principales y ubicaci-n en la >ig. ;.<; ;I. 0alculo del ángulo Ɵ .
;J. 0álculo del esfuerzo cortante máximo,
, y del ángulo K.
