ROTACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO (X,Z) PARA UNA CONDICION DE CARGA VERTICAL E INFINITAMENTE EXTENSA EN LA DIRECCIÓN Y DE LA FIGURA.
Figura 1. Condiciones físicas y geométricas del problema.
ENUNCIADO: A partir de la figura 1, al igual que de las expresiones de los esfuerzos principales actuando en el punto (X, Z) y del conocimiento de que el incremento del esfuerzo principal mayor ocurre en el sentido de la bisectriz del ángulo α, demostrar que las expresiones de los incrementos de esfuerzos en la orientación de los ejes X, Y, Z están dados por las ecuaciones a), b), c) y d).
[ ] [] ] [] METODOLOGÍA:
Nota: Las expresiones para los incrementos de los esfuerzos principales están dados por
Para el desarrollo de este problema, se parte
las ecuaciones e) y f).
las expresiones anteriormente mostradas
[] [] ]
para poder definir así completamente la ubicación del círculo de Mohr cuando sea
de la determinación del signo del dominio de
necesario. Por información previa y dado el enunciado, fue dicho que la orientación del esfuerzo
principal mayor estaba dirigido en sentido de
cuando α sea positivo y (como ya se
la bisectriz del angulo alfa (α). Sabiendo esto,
mencionó antes) independiente del signo de
se determina la rotación necesaria sobre la
δ, los incrementos de esfuerzos serán
figura 1 para alcanzar el estado de esfuerzos requerido.
siempre positivos.
Ahora, se utiliza el método de rotación de
principales, la rotación que debería llevarse a
esfuerzos a partir del círculo de Mohr
cabo en el sistema para encontrar las
mencionado de forma gráfica dada su
expresiones requeridas por el enunciado
sencillez para desarrollar los cálculos, de
debería ser Ѱ como se muestra en la figura
donde para completar el desarrollo del
1.
problema, en primera medida fue definir las expresiones algebráicas que lograrían llevar a
De la figura 2, se observa que la rotación
su solución (características geométricas del círculo). Para esto, se aprovechó la condición del problema de poseer las expresiones de esfuerzos principales y así fácilmente hallar la ubicación del centro del círculo y también de la magnitud de su radio. Cabe
mencionar
que
lo
Si se inicia en la orientación de los ejes
necesaria en el círculo de Mohr para alcanzar el estado de esfuerzos en la orientación de los ejes coordenados corrientes es de 2Ѱ, y por esto, el ángulo de interés para el manejo geométrico del problema sería Ѳ luego si se tiene que:
anteriormente
mencionado logró demostrar las expresiones para los incrementos de esfuerzos
,
sin
embargo,
expresión de
para
y
demostrar
la
se utilizaron las ecuaciones
constitutivas elásticas para cálculo de la
deformación en “y” donde se aprovechó su condición de nula deformación, y finalmente, se recurrió a las expresiones halladas inmediatamente antes.
DESARROLLO: En primera medida es esencial analizar el dominio de las expresiones a) a la f), donde se determina el signo de estas para efectos del manejo del problema. A partir de la figura 1, el ángulo α se observa que es positivo para cualquier punto en el plano X, Z positivos. El ángulo δ podrá tomar valores
Figura 2. Circulo de Mohr para el cálculo de estados de esfuerzos requeridos.
Entonces:
positivos o negativos, sin embargo, en las ocasiones donde el signo sea negativo, la
suma , seguirá siendo positiva por simple observación gráfica. Mirando también
Debido a que el radio del círculo es
las gráficas de estas expresiones en función
cuenta con los esfuerzos principales:
tanto de δ o α, se concluye que siempre y
equivalente a “t”, y aprovechando que se
Luego, simplificando términos se tendría:
Calculando la posición del centro del círculo “S”, y de igual forma aprovechando las expresiones de esfuerzos principales:
Reemplazando las ecuaciones (9) y (10) en (5) y (7):
Observando la geometría del círculo, para calcular la magnitud de se tendría que:
* + * + De donde se encuentra que:
Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en (5) se llega a que:
( ) ( ) Análogamente para hallar el incremento del
:
esfuerzo
Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en (7) se llega a que:
( )( ) Reemplazando (d) y (c) en (3) para hallar
: [] []
algebráicamente la magnitud de
[] [] Finalmente, reemplazando la ecuación (2) en las ecuaciones (11) y (12):
[] [] Por otro lado, para demostrar la ecuación (c) para , de la geometría del círculo de la
figura 2 se tendría que:
Reemplazando la ecuación (9) en la ecuación (13), se llega a que:
Donde, reemplazando la ecuación (2) en la
Luego, simplificando términos se tendría:
ecuación (14) se llega a que:
De la misma manera, reemplazando (d) y (c)
Por último, para hallar la expresión que
en (4) para hallar magnitud de :
representa el incremento de esfuerzo
algebráicamente
[] []
la
,
se utilizan las ecuaciones constitutivas que relacionan deformaciones en función de los esfuerzos aplicados. Acá, teniendo en cuenta que el problema se desarrolla en una
condición
plana
dirección
“y”,
de se
deformaciones tendría
que
en
A su vez las expresiones de los
esta
incrementos
deformación estaría dada como:
Sin embargo, dado que la condición plana de
BIBLIGRAFÍA
(17) se encuentra:
[] [] Luego:
CONCLUSIONES El signo de las expresiones de la a) a la f) será positivo para cualquier punto en el plano X, Z positivos, lo cual sigue el sentido común en cuanto a que no es lógico un relajamiento de esfuerzos en el suelo luego de una aplicación de carga de una cimentación. Se facilita en gran medida la resolución de este problema con respecto a otros similares, debido a su condición plana de deformaciones gracias a la infinita longitud de la carga distribuida en el sentido Y. De las expresiones se observa que los
incrementos
de
esfuerzos
disminuyen conforme al aumento en la profundidad del punto estudiado, y de su mayor lejanía con respecto a la cimentación ángulo α).
(disminución
RODRIGUEZ,
F.
2008.
Reemplazando las ecuaciones (11) y (12) en
HERNANDEZ
Incrementos de esfuerzos. Universidad Nacional. Septiembre de
normal en “y” es nula, se afirma que:
esfuerzos
sí.
deformaciones implica que la deformación
los
normales tienden a igualarse entre
de
del
Poulos and Davis. Elastic Solutions for soil and rock Mechanics.
