Resistencia de Materiales II. Tema: Circulo de Mohr en deformaciones planas. Nombre: Benavides Paredes Luis David.
Profesor: Ing. Paul Torres Cuenca 2015
Circulo de Mohr en deformaciones planas. Resumen. El presente trabajo de aborda el tema del circulo de mohr y sus aplicaiones en la deformaciones planas, desarrollándolo como método para encontrar los cortantes y nos permite entender mejor el caso general de esfuerzo sobre un punto. Se trataran dichos temas siguiendo el orden de introducción, donde se detallara lo que es el circulo de mohr, sus aplicaciones y el proceso de realización del mismo, observaremos la situación física de un modelo sometido a esfuerzos planos para posteriormente pasar a la presentación de las formulas usadas en el mismo. Continuando con el análisis de los resultados presentados entre la resolución, finalizando con las conclusiones y observaciones presentadas en la resolución del presente documento.
Introducción. Objetivos. -
Investigar y adquirir conocimientos sobre el círculo de mohr y sus aplicaciones en la industria. Dar solución al problema presentado dentro de la situación física. Describir los conceptos aplicados para facilitar la compresión de los mismos.
Circulo de Mohr. Para mejorar la comprensión sobre el tema trataremos con los conceptos de:
Esfuerzo. El esfuerzo o tensión se define como una fuerza por unidad de área, con unidades en psi o MPa. En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una función continuamente variable dentro del continuo del material. Cada elemento infinitesimal en el material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que debemos considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro de la pieza.
Esfuerzo Plano.
El estado de esfuerzos en 2 dimensiones, es decir biaxial, se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascaron delgado puede también tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujeción
Deformación Plana. Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales es igual a cero, y las deformaciones restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, n3, este se conocerá como deformación plana. Esta situación ocurre en geometrías particulares. Por ejemplo, si una barra larga, solida, prismática esta cargada únicamente en la dirección transversal, aquellas regiones dentro de ella que estén lejos de cualquier restricción en sus extremos tendrán en esencia una deformación igual a cero en la dirección a lo largo del eje de la barra, y se tratara de una deformación plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es igual a cero en la dirección de deformación igual a cero).
Circulo de Mohr. El circulo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.) También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el Ing. Civil Christian Otto Mohr (1835-1918). En dos dimensiones, la circunferencia de mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de 2 mediciones de la tensión normal y tangencial sobre 2 ángulos que forman 90®.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos.
Modelo Matematico. Circulo de Mohr para deformaciones. 1- Dibujo un sistema de ejes coordenados con εn (deformación normal) como abscisa, positivo hacia la derecha y εxy (deformación debida al cortante) positivo hacia abajo. 2- Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas εprom y εxy=0. εprom= (εx+ εy)/2 3- Localice el punto A que representa las condiciones de deformación sobre la cara x1 del elemento, marcando sus coordenadas εn= εx y εxy. Note que el punto A corresponde a θ=0 4- Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento mostrado, trazando sus coordenadas ε= εy y – εxy. Observe que el punto B sobre el circulo corresponde a θ=90. 5- Dibuje una línea del punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del circulo y pasa por el centro C. Los puntos A y B, que representan las deformaciones sobre los planos a 90 uno del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el circulo. 6- Con el punto C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B. El circulo dibujado de esta manera tiene radio R.
7- Calculo de las deformaciones principales y ubicación. 8- Calculo del angulo θ
9- Calculo de la deformación cortante máxima, εxy max, y del angulo β. εxy max=R
En el circulo de mohr para deformaciones, algunos autores, utilizan la deformación angular, ϒxy/2, en lugar de la deformación por cortante εxy, que están relacionadas como:
Situación Física. Determine las deformaciones y direcciones principales del estado de deformaciones mostrado. El tensor de deformaciones es:
ε =0.008 0.011 0.011 0.006 Calculo el centro del círculo de mohr:
ε prom=
0.008+0.006 =0.007 2
Calculo del radio:
R=
√(
0.008+ 0.006 2 +0.011 2=0.01303 2
)
Calculo de las deformaciones principales y ubicación. ε1= εprom+ ε=0.007+0.011=0.018 ε2= εprom- ε=0.007—0.011=-0.004 El ángulo θ se calculó:
1 2∗0.011 θ= tan−1 =42,40° 2 0.008−0.006
(
)
La deformación cortante máxima, εxy max, corresponde al radio del círculo: εxy max=R=0.01303 rad
Conclusiones. -
En el desarrollo del presente documento se observó la utilidad y las distintas aplicaciones en la resolución de problemas del círculo de mohr. La ayuda de elementos gráficos como es el círculo de mohr facilitan la comprensión de la materia y su aplicación en la vida profesional. La expresión matemática de las formulas puede resultar un tanto difícil de comprender al momento de graficar.
Bibliografía. -
Libro Mecanica de Materiales- Ferdinand P. Beer https://www.academia.edu/7313990/Circulos_de_mohr
