1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
1.13.
Círculo de Mohr para deformaciones
Construcción del círculo de Mohr para deformaciones: 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con como abscisa, positivo hacia la derecha, y como ordenada, positivo hacia abajo. 2. Localice el centro del círculo en el punto con coordenadas y = 0.
=
+ 2
3. Localice el punto A que representa las condiciones de deformación sobre la cara 1 del elemento mostrado en la Fig. (1.50), marcando sus coordenadas = y . Note que el punto corresponde a = 0 . 4. Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento mostrado en la Fig. (1.50) , trazando sus coordenadas = y − . Observe que el punto
sobre el círculo corresponde a = 90 .
5. Dibuje una línea del punto al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro . Los puntos y , que representan las deformaciones sobre los planos a 90 uno del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el círculo. 6. Con el punto como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos y . El círculo dibujado de esta manera tiene radio .
=
sµ
− 2
¶2
+ 2
7. Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.50)
ε12 = ± 8. Cálculo del ángulo de la ec. (1.65)
2 = tan
µ
2 −
9. Cálculo del la deformación cortante máxima,
c °Gelacio Juárez, UAM
¶
m´ ax ,
y del ángulo .
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1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Figura 1.50: Trazo círculo de Mohr para deformaciones.
m´ ax
=
Nota: En el círculo de Mohr para deformaciones, algunos autores, utilizan la deformación angular, 2, en lugar de la deformación por cortante , que están relacionadas como: =
1.13.1.
2
(1.115)
Ejemplo
En un punto de la superficie plana de un sólido se colocan tres deformímetros extensométricos como se muestra en la Fig. 1.51.Después de someter el sólido a la acción de cargas se registran las siguientes deformaciones unitarias: = 0006; = 0004; y = −0008;
(1.116)
Figura 1.51: Arreglo de deformímetros.
c °Gelacio Juárez, UAM
68
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones Calcular la deformación angular definida por el ángulo recto de los deformímetros a y b, las deformaciones y sus direcciones principales , así como la deformación cortante máxima. Calculo de la deformación angular Al expresar los ejes cartesianos (,), como los ejes definidos, respectivamente, por los deformímetros a y b, las deformaciones se definen como: = = 0006 = = 0004
(1.117)
= = −0008 = 12
Expresando la deformación como la proyección de las otras deformaciones. = n · ε · n
(1.118)
donde el vector normal es:
n=
"
cos(90◦ + ) cos
#
(1.119)
y el tensor de deformaciones:
ε=
"
#
(1.120)
sustituyendo las ecs. (1.119) y (1.120) en la ec. (1.118)
=
h
cos(90◦ + ) cos 2
◦
i
"
2
#
cos(90◦ + ) cos ◦
= cos (90 + ) + cos + 2 cos(90 + ) cos
(1.121)
sustituyendo los valores de la ec. (1.117) en la (1.121) −0008 = 0006 cos2 (135◦ ) + 0004 cos2 (45◦ ) + 2 cos(135◦ ) cos(45◦ ) obteniéndose el valor de la deformación por cortante; = 0013 La deformación angular, , se calcula de la ec. (1.115): = 2 = 0026 c °Gelacio Juárez, UAM
(1.122) 69
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones Calculo de deformaciones principales El tensor de deformaciones es: ε=
"
0006 0013 0013 0004
#
Cálculo del centro =
0006 + 0004 = 0005 2
Cálculo del radio
=
sµ
0006 − 0004 2
¶2
+ (0013)2 = 001304
Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.52)
1 = 0005 + 0013 = 0018 2 = 0005 − 0013 = −0008
Figura 1.52: Trazo Mohr. El ángulo se calcula 1 = tan−1 2 La deformación cortante máxima,
µ
2(0013) 0006 − 0004
m´ ax ,
m´ ax
¶
= 4280◦
corresponde al radio del círculo: = = 0013
el ángulo es:
c °Gelacio Juárez, UAM
70
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones = 22◦ Las deformaciones principales y por cortante máximo se muestran en la fig. 1.53.
Figura 1.53: Deformaciones principales y cortantes máximas.
1.13.2.
Ejemplo
Una roseta con deformímetros espaciados un ángulo , mostrada en la Fig. 1.54a, se adhiere a una superficie libre de un sólido. Bajo la deformación del sólido, las deformaciones lineales medidas por los deformímetros a, b y c son, respectivamente, , y . 1) Derive la ecuaciones para determinar las componentes de deformación en términos de , y en función de las deformaciones medidas , y . 2) Determine los resultados del inciso 1 para rosetas Rectangulares, = 45◦ ,Fig. 1.55a ,y Delta , = 60◦ , Fig. 1.55b.
Figura 1.54: Deformaciones principales y cortantes máximas. 1) Los vectores normales con los cosenos directores, Fig. 1.54b, son:
n =
"
1 0
#
; n =
"
cos sin
#
; n =
"
cos 2 sin 2
#
;
La proyección del tensor de deformaciones sobre una dirección dada por un vector normal se c °Gelacio Juárez, UAM
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1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Figura 1.55: Rosetas tipo: a) Rectangulares y b) Delta. determina como: = n · ε · n Por lo que la proyección del tensor de deformaciones sobre las direcciones a, b y c son:
= n ·ε · n =
= n ·ε · n = cos2 + sin2 + 2 cos sin
(1.123)
= n ·ε · n = cos2 2 + sin2 2 + 2 cos 2 sin 2 La ecuación anterior puede escribirse como: ⎡
⎤
⎡
1
0
0
⎤⎡
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ = ⎢ cos2 sin2 ⎥ ⎢ ⎥ cos sin ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ cos2 2 sin2 2 cos 2 sin 2
(1.124)
Resolviendo el sistema anteior para , y , se tiene:
= ( − 2 ) sin 4 + 2 sin 2 = 2 ¢ ¡ ¢ ¡ 42 sin 2 sin 2 2 2 sin cos 2 − sin 2 cos2 + 2 sin2 2 − sin2 = 4 sin2 sin 2
(1.125)
1) Para el caso de Rosetas tipo Rectangular , = 45◦ , se tienen las siguientes relaciones cos = √ √ 1 2, sin = 1 2, cos 2 = 0 y sin 2 = 1, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:
c °Gelacio Juárez, UAM
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1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
= =
(1.126)
= −
1 ( + ) 2
2) Para el caso de Rosetas tipo Delta , = 60◦ , se tienen las siguientes relaciones cos = 12, √ √ sin = 32, cos 2 = +12 y sin 2 = 32, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:
= 2 ( + ) − = 3 − √ = 3
1.13.3.
(1.127)
Ejemplo
El desplazamiento en un sólido está dado por el siguiente vector: ⎡
⎡
⎤
⎤
⎥ ⎢ ⎥ −3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u=⎢ ⎣ ⎦ = ⎣ √ + 2 ⎦ 10 4 2 + 3
1) Determine el tensor de deformación y 2) las deformaciones y respectivas direcciones principales. Las componentes del vector de deformación se calculan con las siguientes derivadas: = = =
= 1 · 10−3
= 1 · 10−3
= 3 · 10−3
El tensor de deformación es: ⎡
³ ´ = 12 + = 0 ¡ ¢ −3 √4 = 12 + ´= 2 · 10 ³ −3 = 12 + = 1 · 10 1
⎢ ε=⎢ ⎣ 0
√4 2
0 1 1
√4 2
⎤
⎥ −3 1 ⎥ ⎦ 10 3
Las deformaciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, tiene las siguientes magnitudes: 1 = 5 · 10−3 , 2 = 1 · 10−3 , 3 = −1 · 10−3 Las direcciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, correspondientes a cada deformación principal son:
c °Gelacio Juárez, UAM
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1.13 Círculo de Mohr para deformaciones ⎡
0551
⎤
⎡
−0333
⎤
⎡
−0765
⎤
⎥ 2 ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ v1 = ⎢ ⎣ 0195 ⎦ ; v = ⎣ 0943 ⎦ ; v = ⎣ −0270 ⎦ ; 0811 0 0585
Figura 1.56: Representación de valores principales: a) direcciones y b) deformaciones.
1.13.4.
Tarea
1) De las ecs. (1.126) y (1.127) determine las expresiones de deformaciones y direcciones principales para rosetas Rectangulares y tipo delta en función de , y
12
+ ± = 2
sµ
2 = tan
µ
− 2
2 −
¶2
+ 2
¶
2) En una Roseta rectangular se obtuvieron las siguientes deformaciones: = 552 · 10−4 ; = 1286 · 10−4 ; y = 1301 · 10−4 ;
(1.128)
Determine: a) las deformaciones , y . b) las deformaciones 1 , 2 y m´ax . c) direcciones principales.
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