Circulo de Mohr de tensiones [Concepto] [11/07/2006 ] El círculo de Mohr de tensiones es una aplicación del círculo de Mohr al cálculo de las tensiones en planos con distintas orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometido a un estado tensional ia!ial"
#i se diu$a un elemento di%erencial alrededor del punto analizado& con dos planos orientados se'(n un sistema de e$es plano !)* * el tercero inclinado un án'ulo 'en+rico $& estaleciendo el e,uilirio de %uerzas en las direcciones de s * t en dicho elemento se tiene-
.1
iidiendo las dos ecuaciones anteriores por la lon'itud 3 * teniendo en cuenta ,ue 453cos.$& 4353sen.$ se lle'a a-
.2
e!presión ,ue tami+n puede escriirse como-
. eriando la primera ecuación . respecto a $ e i'ualando a cero se otienen los alores de $ .inclinaciones del plano 3 para los ,ue la tensión normal es má!ima o mínima-
.8
Ecuación ,ue tiene dos soluciones de $" #ustitu*endo cada un a de las soluciones en la se'unda de las ecuaciones . se compruea ,ue la tensión cortante es nula para dichos planos * sustitu*endo en la primera de las ecuaciones . se otienen las tensiones normales má!ima * mínima .tensiones principales-
.9 :a e!presión de las tensiones en cual,uier plano con inclinación $ respecto a los planos principales& en %unción de las tensiones principales& se deduce tomando las direcciones !&* orientadas se'(n los planos principales * sustitu*endo en .-
.6
El círculo de Mohr de tensiones es un círculo diu$ado en el plano s)t en el ,ue cada punto de su circun%erencia representa las tensiones normales * cortantes en un plano 3 con una inclinación cual,uiera" sí los puntos ; e < de la ='ura corresponden corresponden a los planos perpendiculares a los e$es ! e *" *" Como se osera se sit(an en puntos pun tos opuestos del círculo& a 1>0?" :os puntos de corte de la circun%erencia con el e$e t 50 corresponden a los planos principales * de la ='ura se deduce ,ue el alor de s en dichos puntos es el alor de las tensiones principales .s1&s2 otenido mediante las ecuaciones .9" Estos planos están i'ualmente separados un án'ulo de 1>0? en el círculo& indicando ,ue el án'ulo entre los planos principales es de @0? en la realidad" En 'eneral& dos planos entre los cuales ha* un án'ulo $ en la realidad están separados un án'ulo 2$ en el círculo de Mohr" Mohr" En la ='ura se osera tami+n ,ue el án'ulo $ entre los planos principales * los planos !&*& otenido mediante la e!presión e!presión .8 ,ueda representado por 2$ en el círculo de Mohr"
El círculo de Mohr se utiliza como recurso 'rá=co para el análisis de las tensiones en estados tensionales ia!iales"
Aara diu$ar correctamente correctamente el círculo de Mohr deen tenerse en cuenta los si'uientes detalles-
El sentido de 'iro del án'ulo $ en el círculo se corresponde con el sentido de 'iro del plano 3 en la realidad" El si'no de las tensiones tan'enciales .t se toma como positio si 'iran en sentido de las a'u$as del relo$ alrededor del elemento di%erencial * ne'atio en caso contrario" El án'ulo entre dos radios del círculo e,uiale al dole del án'ulo entre los planos reales correspondientes"
Círculo de Mohr
:a Circun%erencia de Mohr .Bncorrectamente llamado Círculo de Mohr& *a ,ue no se traa$a con un área sino con el perímetro es una t+cnica usada en in'eniería * 'eo%ísica para representar 'rá=camente un tensor sim+trico .de 2!2 o de ! * calcular con ella momentos de inercia& de%ormaciones * tensiones& adaptando los mismos a las características de una circun%erencia .radio& centro& etc" ami+n es posile el cálculo del es%uerzo cortante má!imo asoluto * la de%ormación má!ima asoluta" Este m+todo %ue desarrollado hacia 1>>2 por el in'eniero ciil alemán Christian 4tto Mohr .1>9)1@1>" Contenido [ocultar] 1 Circun%erencia de Mohr para es%uerzos 1"1 Caso idimensional 1"2 Caso tridimensional 2 Circun%erencia de Mohr para momentos de inercia Enlaces e!ternos [editar]Circun%erencia de Mohr para es%uerzos
[editar]Caso idimensional
Circun%erencia de Mohr para es%uerzos" En dos dimensiones&la Circun%erencia de Mohr permite determinar la tensión má!ima * mínima& a partir de dos mediciones de la tensión normal * tan'encial sore dos án'ulos ,ue %orman @0?-
D4- El e$e ertical se encuentra inertido& por lo ,ue es%uerzos positios an hacia aa$o * es%uerzos ne'atios se uican en la parte superior" sando e$es rectan'ulares& donde el e$e horizontal representa la tensión normal * el e$e ertical representa la tensión cortante o tan'encial para cada uno de los planos anteriores" :os alores de la circun%erencia ,uedan representados de la si'uiente maneraCentro del círculo de Mohr-
Fadio de la circun%erencia de Mohr-
:as tensiones má!ima * mínima ienen dados en t+rminos de esas ma'nitudes simplemente por-
Estos alores se pueden otener tami+n calculando los alores propios del tensor tensión ,ue en este caso iene dado por-
[editar]Caso tridimensional El caso del estado tensional de un punto A de un sólido tridimensional es más complicado *a ,ue matemáticamente se representa por una matriz de ! para la ,ue e!isten alores propios& no necesariamente di%erentes"
En el caso 'eneral& las tensiones normal .G * tan'encial .H& medidas sore cual,uier plano ,ue pase por el punto A& representadas en el dia'rama .G&H caen siempre dentro de una re'ión delimitada por circulos" Esto es más comple$o ,ue el caso idimensional& donde el estado tensional caía siempre sore una (nica circun%erencia" Cada uno de las circun%erencias ,ue delimitan la re'ión de posiles pares .G&H se conoce con el nomre de circun%erencia de Mohr"
I [editar]Circun%erencia de Mohr para momentos de inercia
Aara sólidos planos o casi)planos& puede aplicarse la misma t+cnica de la circun%erencia de Mohr ,ue se usó para tensiones en dos dimensiones" En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un e$e ,ue se encuentra inclinado& la circun%erencia de Mohr puede ser utilizado para otener este alor" ami+n es posile otener los momentos de inercia principales" En este caso las %órmulas de cálculo del momento de inercia medio * el radio de la circun%erencia de Mohr para momentos de inercia son análo'as a las del cálculo de es%uerzosCentro de la circun%erencia-
Fadio de la circun%erencia-
Círculo de Mohr
La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Círculo de Mohr , ya que no se trabaja con un área sino con el perímetro) es una técnica usada eningeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de x) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc)! "ambién es posible el cálculo del esfuer#o cortante máximo absoluto y la deformaci$n máxima absoluta!
%ste método fue desarrollado &acia '2 por el ingeniero ciil alemán *&ristian +tto o&r ('-. '/')! Contenido 0ocultar 1
' *ircunferencia de o&r para esfuer#os o
'!' *aso bidimensional
o
'!2 *aso tridimensional 2 *ircunferencia de o&r para momentos de
inercia
%nlaces externos
0editar 1*ircunferencia 0editar 1Caso
de o&r para esfuer#os
bidimensional
*ircunferencia de o&r para esfuer#os!
%n dos dimensiones,la *ircunferencia de o&r permite determinar la tensi$n máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensi$n normal y tangencial sobre dos ángulos que forman /34
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior !
5sando ejes rectangulares, donde el eje &ori#ontal representa la tensi$n normal ertical representa la tensi$n cortante o tangencial
y el eje
para cada uno de los planos anteriores!
Los alores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera4
*entro del círculo de o&r4
6adio de la circunferencia de o&r4
Las tensiones máxima y mínima ienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por4
%stos alores se pueden obtener también calculando los alores propios del tensor tensi$n que en este caso iene dado por4
0editar 1Caso
tridimensional
%l caso del estado tensional de un punto 7 de un s$lido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matri# de x para la que existen alores propios, no necesariamente diferentes!
%n el caso general, las tensiones normal (8) y tangencial (9), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto 7, representadas en el diagrama (8,9) caen siempre dentro de una regi$n delimitada por circulos! %sto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una :nica circunferencia! *ada uno de las circunferencias que delimitan la regi$n de posibles pares (8,9) se conoce con el nombre de circunferencia de o&r! ; 0editar 1*ircunferencia
de o&r para momentos de inercia
7ara s$lidos planos o casi.planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de o&r que se us$ para tensiones en dos dimensiones! %n muc&as ocasiones es necesario
calcular elmomento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de o&r puede ser utili#ado para obtener este alor! "ambién es posible obtener los momentos de inercia principales! %n este caso las f$rmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de o&r para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuer#os4
*entro de la circunferencia4
6adio de la circunferencia4
INTRODUCCION %l desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuer#os y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar! %n esta inestigaci$n trataremos los siguientes temas4 La transformaci$n de esfuer#os y deformaciones en el estado plano, esfuer#os que ocurren en recipientes de presi$n de pared delgada, el uso del círculo de o&r para la soluci$n de problemas que implican transformaci$n de esfuer#o plano, esfuer#os principales, esfuer#os cortantes máximos, entre otros aspectos! %n las transformaciones de deformaci$n plana eremos las deformaciones en planos, ya sea xy, y#, x#! %xisten deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere conocimientos más profundos de la materia, que al niel estudiado no &a sido anali#ado! %n este tema emos como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llearlos(a traés de f$rmulas) a un plano conocido, para su fácil manejo! *omo tema de finali#aci$n, Las 6osetas de
TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO !
%l estado de esfuer#os cambia a otro equialente 8x? 8y? >x?y? que deben calcularse en base a los esfuer#os originales! "omando un tro#o de elemento plano se tiene que 4
7ara poder &acer suma de fuer#as y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuer#o por el área en la que se aplican para obtener las fuer#as inolucradas! *onsiderando que los esfuer#os inc$gnitos se aplican en una área @da?! =e tiene que este tro#o de cuAa tiene un área basal @da cos >? y un área lateral @da sen >? =uma de fuer#as en la direcci$n x? 4 8x? da B 8x da cos > cos > C 8y da sen > sen > C >xy da cos > sen > C >xy sen > cos > 8x? B 8x sen2> C 8y cos2> C 2 >xy cos > sen > 8x? B ( 8x C 8y )D2 C ( 8x . 8y )D2 (cos 2>) C >xy (sen 2>) =uma de fuer#as en la direcci$n y? 4 >x?y? da B 8y da cos > sen > . >xy da sen > sen > C >xy cos > cos > . 8x da sen > cos > >x?y? B 8y cos > sen > . >xy sen2> C >xy cos2>. 8x sen > cos > >x?y? B >xy (cos 2>) . ( 8x . 8y )D2 (sen 2>) *on estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuer#o equialente a partir de un estado inicial! La siguiente aplicaci$n permite calcular estos alores automáticamente! *ompruebe los resultados que se obtienen!
ESFUERZOS PRINCIPALES =iempre es importante obtener los alores máximos de los esfuer#os tanto los normales como los de corte para compararlos con los alores admisibles del material que se está ealuando! %l esfuer#o normal máximo se deduce deriando 8x? con respecto al ángulo > 4 d8x? Dd> B B . ( 8x . 8y ) (sen 2>) C
2 >xy (cos 2>)
tan 2> B 2 >xy D ( 8x . 8y ) La soluci$n de esta ecuaci$n son dos ángulos que alen 4 > y > C / El ealuar usando estos alores para el ángulo > se obtienen los esfuer#os normales máximo ( 8') y mínimo (82)! %s importante destacar que si se iguala >x?y? B se obtiene la misma expresi$n que la deriada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuer#os principales (8' y 82) se produce que el esfuer#o cortante ale cero! %n definitia 4
8' , 82 B ( 8x C 8y ) D 2 C D . %l esfuer#o cortante máximo se obtiene de forma similar, deriando la expresi$n correspondiente con respecto al ángulo >! dtx?y? D d> B B .2 >xy (sen 2>) . ( 8x . 8y ) (cos 2>) tan 2> B . ( 8x . 8y ) D 2 >xy %sta expresi$n nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuer#os cortantes máximos, queda en definitia 4
>' y >2 B C D .
ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS %l esfuer#o cortante máximo difiere del esfuer#o cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema %sfuer#o s 7rincipales! Edemás, puesto que las dos raíces de la ecuaci$n tan 2> B . ( 8x . 8y ) D 2 >xy sit:an el plano a /F, este resultado significa también que son iguales los alores numéricos de los esfuer#os cortantes en planos mutuamente perpendiculares! %n esta deducci$n, la diferencia de signo de los dos esfuer#os cortantes surgen de la conenci$n para locali#ar los planos en que act:an estos esfuer#os! en la ecuaci$n >x?y? B >xy (cos 2>) . ( 8x . 8y )D2 (sen 2>) un esfuer#o cortante positio indica que este act:a en el sentido supuesto y iceersa! La determinaci$n del esfuer#o cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte! E diferencia de los esfuer#os principales cuyos planos no ocurren esfuer#os cortantes, los esfuer#os cortantes máximos act:an en planos que usualmente no están libres de esfuer#os normales! La situaci$n de > de la ecuaci$n
tan 2> B . ( 8x . 8y ) D 2 >xy en la 8x? B ( 8x C 8y )D2 C ( 8x . 8y )D2 (cos 2>) C >xy (sen 2>) muestra que los esfuer#os normales que act:an en los planos de los esfuer#os cortantes máximos son 8G B( 8x C 8y )D2 por consiguiente, el esfuer#o normal act:a simultáneamente con el esfuer#o cortante máximo a menos que se anule 8x C 8y!
=i 8x y 8y de la ecuaci$n >' y >2 B C D . son esfuer#os principales, >xy es cero y la ecuaci$n se simplifica en >max B( 8x . 8y )D2
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO. Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuaci$n de circunferencia 4 =e tiene que 4 8x? B ( 8x C 8y )D2 C (( 8x . 8y )D2 (cos 2>)) C >xy (sen 2>) >x?y? B >xy (cos 2>) . (( 8x . 8y )D2 ) (sen 2>) La primera ecuaci$n se acomoda de la siguiente forma 4 8x? . ( 8x C 8y )D2 B (( 8x . 8y )D2 (cos 2>)) C >xy (sen 2>) %leando al cuadrado se tiene 4 (8x? . (8x C 8y)D2)2 B(8x . 8y)2DH (cos 2>)2 C (8x . 8y) (cos 2>) >xy (sen 2>) C >xy2 (sen 2>)2 %leando al cuadrado la segunda ecuaci$n se tiene 4 >x?y?2 B >xy2 (cos 2>)2 . >xy (cos 2>) (8x . 8y) (sen 2>) C (8x . 8y)2DH (sen 2>)2 =umando ambas expresiones 4 (8x? . ( 8x C 8y )D2)2 C >x?y?2 B >xy2 C (( 8x . 8y )2D2)2
Los esfuer#os originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces 4 >xy2 C (( 8x . 8y )2D2)2 B b2 ( 8x C 8y )D2 B a 6escribiendo queda 4 (8x? . a)2 C >x?y?2 B b2 =i los ejes son 4 x B 8x? y B >x?y? "enemos 4 ( x . a )2 C y2 B b2 ue representa a una circunferencia con centro en x B a J y B con un radio r B b! %sta circunferencia se denomina *írculo de o&r (+tto o&r '/-) que en definitia tiene las siguientes características 4 *entro en 4 x B ( 8x C 8y )D2 J y B 6adio de 4 r2 B >xy2 C (( 8x . 8y )2D2)2 La figura siguiente muestra el círculo de o&r creado a partir de un problema 4
ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADA Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicaci$n importante del análisis de esfuer#o plano! *omo sus paredes oponen poca resistencia a la flexi$n, puede suponerse que las fuer#as internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente! %l análisis de esfuer#os en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia4 recipientes cil#ndricos y esf$ricos!
*onsiderando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presi$n =e an a determinar los esfuer#os ejercidos sobre un pequeAo elemento de pared con lados respectiamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro!
Los esfuer#os ' y 2 mostrados en la figura son por tanto esfuer#os principales! %l esfuer#o ' se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera! %l esfuer#o 2 es el esfuerzo longitudinal" 7ara determinar los esfuer#os de costilla se retira una porci$n del recipiente y su contenido limitado por el plano !y y por dos planos paralelos al plano yz con una distancia K de separaci$n entre ellos! =e aclara que p es la presi$nmanom$trica del fluido!
La resultante de las fuer#as internas es igual al producto de y del área transersal 2tx! *on la ecuaci$n de sumatoria de fuer#a en # se concluye que para el esfuer#o de costilla4
*on el prop$sito de determinar el esfuer#o longitudinal 2, &aremos un corte perpendicular al eje x y se considerará el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la i#quierda de la secci$n! "omando en cuenta las f$rmulas del área y longitud del cilindro y la sumatoria de fuer#as en #, finalmente se concluiría que4 2 B pr D 2t %l esfuer#o en la costilla es el doble del esfuer#o longitudinal! Luego se dibuja el *írculo de o&r y se llega a que4 max(en el plano)B 2B pr D Ht %ste esfuer#o corresponde a los puntos % y E y se ejerce sobre un elemento obtenido mediante la rotaci$n de H-F del elemento original de dic&a figura, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente! %L esfuer#o cortante máximo en la pared del recipiente es mayor! Es igual al radio del c#rculo de dimetro OA y corresponde a una rotaci&n de '()alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo"
*onsiderando a&ora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presi$n manométrica p! Maciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el alor del esfuer#o!
Esí concluye que, para un recipiente
' B 2 B pr D 2t
Na que los esfuer#os principales ' y 2 son iguales, el circulo de o&r para la transformaci$n de esfuer#os, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto! %l esfuer#o normal en el plano es constante y que el esfuer#o máximo en el plano es cero! 7odemos concluir maxB ' B pr D Ht
TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA %n este tema se &a de anali#ar las transformaciones de la deformaci&n cuando los ejes coordenados giran! %ste análisis se limitará a estados de deformaci&n plana, es decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos! =i se escoge el eje # (er figura I) perpendicular a los planos en los cuales la deformaci$n tiene lugar, tenemos Ez B *+z! B *+zy B , las :nicas componentes de deformaci$n que restan son E!, Ey y *+!y" "al situaci$n ocurre en una placa sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rígidos y lisos ver figura - )! "ambién se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por ra#ones de simetría, los elementos situados en un plano transersal no pueden salirse de el! %ste modelo ideali#ado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas transersales uniformemente distribuidas ver figura -- ), existe un estado de esfuer#o plano en cualquier secci$n transersal que no este locali#ada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra!
figura I figura II
figura III =up$ngase que existe un estado de esfuer#o plano en el punto z B ?N#x B *+z B ), definido por las *omponentes de deformaci$n %z, Ey y *+!y asociadas *on los ejes ! y y" E sto significa que un elemento cuadrado de centro , con lados de longitud .s respectiamente paralelos a los ejes ! y y, se transforma en un paralelogramo con lados de longitud .s (' C% !/ y .s (' C%y/, formando ángulos de OD2 0*+!y y f C *+!y entre si vea figura --/)!*omo resultado de las deformaciones de los otros elementos locali#ados en el plano !y, el elemento considerado también puede experimentar un moimiento de cuerpo rígido, pero tal moimiento es insignificante en lo referente a la determinaci$n de las deformaciones en el punto y no se tendrá en cuenta en este análisis! %l prop$sito es determinar en términos de % !,Ey, *+!y y las *omponentes de deformaci$n % !,Ey" y *+!*y* asociadas con el marco de referencia !* y ? obtenido mediante la rotaci$n de los ejes ! y y u n ángulo ! *omo se muestra en la figura IP, estas nueas componentes de la
deformaci$n definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados respectiamente paralelos a los ejes !* y y?!
FIGURAS COMPLEMENTARIAS
figuras: I! a! "! I.#r$s%& 7rimero se deriará una expresi$n para la deformaci$n normal % ( / a lo largo de una línea A1 que forma un ángulo arbitrario con el eje !" 7ara &acerlo considere el triángulo rectángulo EQ* con A1 como &ipotenusa vea figura 2a/ y el triángulo oblicuo A*1*3*, en el cual se transforma el triángulo A13 vea la figura 2b), se tiene
A*b*/456 A*3*/ 45 7 3*1*/ 45 0A*3*/3*1*/cos.85 7 +!y/ .s/ 45 9 7 E/;6 .!/ 45 7E!/ 45 7 .y/ 45 Ey/ 45
& #a& 05.!/7E!/ .y/7Ey/ cos.85 7 +!y pero de la figura 2a, .!6 .s/ cos() .y6 .s/ sen() #"& y, como +!y es muy peque
+!*y*856 0 E! 0 Ey/85 sen5 7 +!y85 cos5
MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACION Maciendo dos marcas A y 1 a traés de una línea dibujada en la direcci$n deseada, y midiendo la longitud del segmento A1 antes y después de aplicar la carga se puede determinar la deformaci$n normal en cualquier direcci$n en la superficie de un elemento estructural o componente de máquina! =i = es la longitud no deformada de A1 y su alargamiento, la deformaci$n normal a lo largo de A1 es4 %abB D L E&ora bien, existe un método mas coneniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformímetros eléctricos! 7ara medir la deformaci$n de un material dado en la direcci$n A1, el medidor se pega a la superficie del material con las ueltas de alambre paralelos a A1" *uando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en diámetro, &aciendo que la resistencia eléctrica del medidor aumente! idiendo la corriente que pasa a traés de un medidor bien calibrado, la deformaci$n EA> puede determinarse precisa y continuamente a medida que la carga aumenta!
La colocaci$n de los deformímetros utili#ados para medir las tres deformaciones normales %l, %2 y % se conoce como 6oseta de %eformaci&n" La roseta usada para medir deformaciones normales a lo largo de los ejes ! y y y su bisector se conoce como roseta de H-F! +tra roseta muy utili#ada es la de RF!
(((((((((( (((((((((
Una fuerza horizontal de magnitud P= 150 lb. se aplica al extremo D de la palanca ABD. abiendo !ue la porci"n AB de la palanca tiene un di#metro de 1.$ pulg.% halle& a'. los esfuerzos normal ( cortante en un elemento situado en el punto )% con lados paralelos a los e*es x% ( (% b'. los planos principales ( los esfuerzos principales en el punto ).
P) *+, -". "B ('- lb)(' pulg)B 2!S Tips! 7ulg xB ('- lb)(' pulg)B '!- Tips! 7ulg! xB yB cDIB ('!- Tips!pulg)(!R pulg) D U (!R pulg)H B ./ 0si xyB "cDVB (2!S Tips!pulg)(!R pulg) D (!R pulg)H B
1.23 0si. "an 2pB 2xy D x . yB 2(S!/R) D .!H B .'! 2pB .R' 3 y '3 . R'3 B ''/3
%) 45,.+6 7 +2.+6 máx, mín B x C y D 2 C 0 (x . y D 2)W2 C 2 xy 1 . C !H D 2 C0 ( . !H D 2)W2 C (S!/R)W2 1 B CH!H2 C /!' .
89. ) ;*5.+< 0si 7 8=>. ) 4/.3 0si <.4 D$?$r8i>$ -@s $sfu$r@s %ri>'i%a-$s B$ -a f-$'a B$ a'$r@. La F-$'a ?i$>$ u> Bi98$?r@ B$ 5 %u-g. Las %@-$as %$sa> <+, -". CaBa u>a! 7 -as ?$>si@>$s $> -as "a>Bas s@> @%u$s?as. Las 'u8a'$ras B$ -as $?r$8@s %$r8i?$> r@?a'i> sufi'i$>?$ B$ 8@B@ u$ -@s a%@7@s $?r$8@s %u$B$> '@>siB$rars$ '@8@ ar?i'u-aB@s. D$s%r$'i$ $- %$s@ B$ -a f-$'a. ) M'I s ) T' ) M'I ) #*/<+ *<& #*.+& #3/& #5& ) 332, -"%u-g s ) T' ) #+,, *3& #*.+& #5<& #5& ) *+*, -"%u-g 8 B ( 8x C 8y ) D 2 C D .
J ) 4332, ; , ; 4 K #4332, ; ,& ; *+*, J ( ((((( ( (((( ( (((( -"%u-g J ( 455/+ 4 513, ) 41,*+ -"%u-g 5.4 A@ra B$?$r8i>$ $- $sfu$r@ '@r?a>?$ 89i8@ B$ -a f-$'a. 8B
B O (.'- . )X C '-'X B 3670 lb/pulg²
CONCLUSION %n esta presentaci$n &emos anali#ado temas como son %sfuer#os en "uberías y %nases %sféricos de 7ared
ILIOGRAFIA •
Qeer, Yerdinand y 6ussell Vo&nston! M$'9>i'a B$ Ma?$ria-$s. c Zr[ Mill, '///!
•
7opo, %gor! M$'9>i'a B$ Ma?$ria-$s. %ditora Limusa, éxico!
•
6obert \! Yit#gerald! R$asis?$>'ia B$ Ma?$ria-$s. Yondos %ducatios Internacionales, =!E!, éxico, '/S
>Bi'$ Pagi>a -ntroducci&n """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 5 Transformaci&n del esfuerzo plano"""""""""""""""""""""@ Esfuerzos ?rincipales""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( Esfuerzos 3ortantes !imos""""""""""""""""""""""""""""B 3irculo de ohr para Esfuerzo"""""""""""""""""""""""""""C Esfuerzos en >ecipientes de ?resi&n de ?ared %elgada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""D Transformaci&n de %eformaci&n ?lana""""""""""""""@ iguras 3omplementarias"""""""""""""""""""""""""""""""""""( edidas de %eformaci&n" >oseta de %eformaci&n""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""D ?roblemas >esueltos""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""5 3onclusi&n """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""5@ 1ibliograf#a"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""5' R
