Ing. Civil MATERIALES II
RESISTENCIA DE LOS
“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA” FACULTAD DE INGENIERÍA
E.A.P. ING. CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II
DOCENTE:
CICLO:
RUBEN LOPEZ CARRANZA
XI
ALUMNOS: -
Lavado Palacios Mixuri lozano gonzales josé espinoza matumay santiago obregon flores ronald sanchez camones miguel morales avila edwin
NVO. CHIMBOTE, Noviembre del 2009
TENSIONES COMPUESTAS
1
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RESISTENCIA DE LOS
PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg
5400kg σy =0
σx = P/A
τxy =0
σx = 5400kg/6x9cm2 σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo:
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ (5400-0)2/2+02
tmax= ±500 Kg/ cm2
21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que TENSIONES COMPUESTAS
2
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RESISTENCIA DE LOS
actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:
θ =20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0 τxy =0
Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t= 321.39 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una
carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg θ =30º 2240kg
2240kg σy =0
σx = P/A σx = -2240kg/2x2cm2
τxy =0
σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t= -242.49 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0 τxy =0
θ=30º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-280 a = (σx - σy)/2
R=280 2θ=60º
t
a=280 b= τxy =0 s n,t 280
280Sen60º 2
s min=-560
C=-280
O
s max=0
DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2 t= 280Cos60º
t= -140 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
5
s
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RESISTENCIA DE LOS
24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σx =
210
cm2,
Kg/
σy =0,
τxy =280
Kg/
cm2
,
determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado θ =45ºcon el eje X. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2
θ =45º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t= 105 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las
tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2
θ =45º a) Calculando los esfuerzos principales:
σ 1, 2 =
σ x +σ y σ x −σ y ± 2 2
2
+ τ 2 XY
σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280
2
σmax =404.04 Kg/ cm2
σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ
2
=-194.04 Kg/ cm2
min
b) Hallamos las direcciones:
tan2 θ p =
2τ xy
σ x −σ y
Tan2 θ p=-2x280/210 2 θ p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º θ p1=55º16´
TENSIONES COMPUESTAS
2 θ p2=20.554+270º θ p2=145º16´
7
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c) Cortante máximo:
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ (210-0)2/2+2802
tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy
θ c=10º16 ´41”
TENSIONES COMPUESTAS
8
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26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2
θ =45º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=105
R=299.04
a = (σx - σy)/2
210
t
a=280 b= τxy =280
t max=299.04kg/cm² s x,t xy
280
2qp2
s min=-194
C=105 R=299
280
s max=404.04
2qp1
2qc
s y,t xy
DEL GRÁFICO:
O
105
t max=-299.04kg/cm²
Sen2 θ c=105/299 2 θ c=20.55 2 θ p=20.55+90º 2 θ p=110.55
TENSIONES COMPUESTAS
9
s
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27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones
indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos:
280 kg/cm2
210kg/cm2
210kg/cm2 280 kg/cm2 τxy =-280 kg/cm2
σx =-210 kg/cm2
σy = 0
a) Calculando los esfuerzos principales:
σ 1, 2 =
σ x +σ y σ x −σ y ± 2 2
2
+ τ 2 XY
σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280
2
σmax =194.04Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ
2
-404.04Kg/ cm2
min
Hallamos las direcciones: tan2 θ p =
2τ xy
σ x −σ y
Tan2 θ p=-2x-280/-210 2 θ p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º TENSIONES COMPUESTAS
2 θ p2=20.554+270º 10
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RESISTENCIA DE LOS
θ p1=55º16´
θ p2=145º16´
b) Cortante máximo:
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ (-210-0)2/2+-2802
tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy
θ c=10º16 ´41” 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos: σx =-210 kg/cm2
τxy =-280 kg/cm2
σy = 0
θ =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t= -230 Kg/ cm2
29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2, TENSIONES COMPUESTAS
11
Ing. Civil MATERIALES II σy =560 kg/cm2 y
RESISTENCIA DE LOS determinar analíticamente la tensión cortante
máxima que existe en el elemento. Datos: σx =560 kg/cm2
τxy =0
σy =560 kg/cm2 Cortante máximo:
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ 560-560)2/2+02
tmax= 0 30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones
descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2
τxy =0
σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2 C=560 a = (σx - σy)/2
-RADIO R2=a2+b2 R=0
t
a=0 b= τxy =0 El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del
O
s
C=560
origen.
31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante TENSIONES COMPUESTAS
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máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: σx =560 kg/cm2
τxy =0
σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo:
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ 560--560)2/2+02
tmax= ± 560 kg/cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy 2 θ c=45º
32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones
Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2
τxy =0
σy =-560 kg/cm2
θ =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t= 484.974 Kg/ cm2 TENSIONES COMPUESTAS
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33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2
τxy =0
σy =-560 kg/cm2
θ =20º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=0
R=560
t
a = (σx - σy)/2 a=560 b= τxy =0 2 θ =40º
DEL GRÁFICO:
sn
s y,t xy
t =560sen40º
-560
t =-359.961 kg/cm2
t
s x,t xy
40º
O=centro
560
R=560
σn =560cos40º σn =-428.985kg/cm2 34.
Un elemento
plano
extraído de una envuelta cilíndrica delgada, sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. TENSIONES COMPUESTAS
14
s
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RESISTENCIA DE LOS 560 kg/cm2
560kg/cm2
560 kg/cm2
560 kg/cm2 Datos: σx =0
τxy =560 kg/cm2
σy =0 Calculando los esfuerzos principales:
σ 1, 2 =
σ x +σ y σ x −σ y ± 2 2
2
+ τ 2 XY
σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560
2
σmax =560 Kg/ cm2 σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 σ
2
=-560 Kg/ cm2
min
t 560
DEL GRÁFICO:
s x,t xy
2 θ p=90º
2qp O=centro
35. Un elemento plano
-560
s
s y,t xy
esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones.
TENSIONES COMPUESTAS
15
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RESISTENCIA DE LOS
b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos
que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2
560kg/cm2 1400 kg/cm2
1400 kg/cm2 560 kg/cm2
560 kg/cm2 840 kg/cm2
Datos: σx =1400 kg/cm2
τxy =-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2 a) Calculando los esfuerzos principales: σ 1, 2 =
σ x +σ y σ x −σ y ± 2 2
2
+ τ 2 XY
σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560
2
σmax =1746.099 Kg/ cm2 σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ
2
=493.901 Kg/ cm2
min
b) Hallamos las direcciones: tan2 θ p =
2τ xy
σ x −σ y
Tan2 θ p=-2x-560/1400-840 2 θ p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 θ p2=+63.435
θ p2=31º43
2 θ p1=+63.435 +180º
θ p1=121º46´57”
c) Cortante máximo:
TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ (1400-840)2/2+-5602
tmax= ±626.099 Kg/ cm2 Tan2 θ c= (σx- σy)/2 τxy Tan2 θ c= (1400- 840)/2(-560) 2 θ c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2
θ c=76º43
´03”
36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de
Mohr.
TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
Datos: σx =1400 kg/cm2
τxy =-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2 a=280 b= τxy =-560
t t max=626.099kg/cm²
(8400,560)
2qp O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
s max=1746.099kg/cm²
s
2qc
(1400,-560)
-560
37.
Considerar
nuevamente
el
problema
35.
Determinar
analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos: σx =1400 kg/cm2
TENSIONES COMPUESTAS
τxy =-560 kg/cm2
18
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RESISTENCIA DE LOS
σy = 840 kg/cm2
θ =20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t= -249 Kg/ cm2
38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de
Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2
τxy =-560 kg/cm2
σy = 840 kg/cm2
θ =20º
MOHR TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
-CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=1120
R=626.099
a = (σx - σy)/2
2 θ =40º
a=280 b= τxy =-560
t (8400,560)
t max=626.099kg/cm²
s t
b
40º
a O
s min=493.9kg/cm²
C=1120
626.099
560
626.099sena (1400,-560)
b-560 senb=560/626.099 b=63.435
626.099
560
626.099sena
b=63.435 a=23.435
626.099
a=23.435 626.099cosb 626.099sena=249
626.099
626.099cosb=574.45
t =249kg/cm²
b senb=560/626.099 b=63.435
s max=1746.099kg/cm²
b=63.435 a=23.435
a=23.435
s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²
626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45
39.
Un
elemento
plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analíticamente. a)
t =249kg/cm²
s =R-574.45+493.9 Las tensiones principales ys sus direcciones =545.54kg/cm²
TENSIONES COMPUESTAS
20
s
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RESISTENCIA DE LOS
b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2
700kg/cm2 560 kg/cm2
560 kg/cm2 700kg/cm2
700 kg/cm2 840 kg/cm2
Datos: σx =-560 kg/cm2
τxy =700 kg/cm2
σy = -840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales: σ 1, 2
σ x +σ y σ x −σ y = ± 2 2
2
+ τ 2 XY
σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700
2
σmax =13.863 Kg/ cm2 σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 σ
2
=-1413.863 Kg/ cm2
min
b) Hallamos las direcciones: tan2 θ p =
2τ xy
σ x −σ y
Tan2 θ p=-2x-700/-560--840 2 θ p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2 θ p1=11.3099+90º 2θ p2=11.3099+270º
θ p1=50º39
θ p2=140º39
c) Cortante máximo:
TENSIONES COMPUESTAS
21
Ing. Civil MATERIALES II
RESISTENCIA DE LOS
τmáx = ±
σ x +σ y 2
2
+ J xy 2
τmáx = ±√ (-560--840)2/2+7002
tmax= ±713.863 Kg/ cm2 Tan2 θ c= (σx- σy)/2 τxy Tan2 θ c= (-560--840)/2(700) 2 θ c=11.3099 (IIQ, IVQ)
θ c=5º39
´17.88”
40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.
Datos: TENSIONES COMPUESTAS
22
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RESISTENCIA DE LOS τxy =700 kg/cm2
σx =-560 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2
-RADIO R2=a2+b2
C=-700
R=713.86
a = (σx - σy)/2 a=140 b= τxy =700
t t max=713.86kg/cm²
s x,t xy
2qc R=713.86
2qp
700
2
s min=-1413.86
C=-700
O
s max=13.86
s
s y,t xy t max=-713.86kg/cm² 840
TENSIONES COMPUESTAS
23
