RESEÑA El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos puntos de un cuerpo. cuerpo. Fue desarrollo desarrollo por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (18!"1#18$ uno de los más cele%res del siglo &'&. Entre las tensiones ue e)isten en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas * con unas ciertas restricciones+ importan en general las tensiones principales+ ue son las tensiones ue e)isten so%re ciertos planos del cuerpo+ donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el dise,o de estructural * mecanico en dos * tres dimensiones
JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA -ada una figura+ de área + se uiere conocer las rectas /1 * /0 ue proporcionan el má)imo * mínimo valor del momento de inercia+ así como dichos valores de los momentos de inercia
na recta / ue proporcione un má)imo (o mínimo$ del momento de inercia forma con el e2e & un ángulo 3. Entonces usaremos ecuaciones de transformaci4n ue nos permiten llevar las coordenadas desde los e2es O& * O5 hacia los nuevos e2es ue son /1 * /0. r 1= x cos θ + y sin θ
r 2= y cos θ − x sin θ
6i tenemo tenemos s estas estas ecuaci ecuacion ones es podem podemos os reempl reempla7a a7arr en las ecuac ecuacnes nes para para calcular los momentos * el producto de inercia con respecto a los nuevos e2es θ y cos θ− x sin ¿
¿ ¿
2
d I R 1= r 2 dA= ¿ 2
2
d I R R 2= r 1 dA=( x cos θ + y sin θ ) dA
θ y cos θ − x sin ¿
d P R 1 R 2
¿ =r 2 dA =( x cos θ + y sin θ )¿ 2
6i resolvemos alge%raicamente estas ecuaciones luego las integramos 2 2 I OX = y dA I OY = x dA POX,OY =∫ xy dA teniendo presente ue + * las
∫
∫
identidaees trigonometricas
6i /1 es perpendicular a /0
6i
el
producto de inercia respecto a dos rectas /1 * /0 es nulo+ se puede compro%ar
na de las rectas formará con la hori7ontal un ángulo 3 de forma ue se cumple
El momento de inercia respecto a dicha recta será má)imo o mínimo. /eordenando * elevando al cuadrado las ecuaciones anteriores
Esta es una ecuaci4n análoga a la de una circunferencia
-onde
•
El e2e O& tiene ue girar un ángulo 3 en sentido antihorario para o%tener la recta /1 ue proporciona el má)imo valor del momento de inercia. El e2e O5 tiene ue girar un ángulo 3 en sentido antihorario para o%tener la recta /0 ue proporciona el mínimo valor del momento de inercia. •
Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.
Sea una barra, sometida a una carga P.
Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de supercie (tensiones) que an a ser uniformes y a las que amos a llamar σ! porque an en la dirección del e"e !. σx = P / A Si, a#ora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua $-$, de manera que la normal a la sección forme un %ngulo φ con el e"e de la barra, de donde& σ = σxcos φ 'a m%!ima tensión se produce en los puntos de la sección normal al e"e de la barra. sta m%!ima tensión ale σ!. En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σ x cos φ.
Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante. amos a descomponer la tensión * en otras dos& una en la dirección de la normal a dic#a sección, llamada tensión normal (σn ) y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante .
*n + * cos + * ! cos 9 σ sen ϕ 9
σ ) sen ϕ cos ϕ =
(
/ 2 ) sen 2
x
!ectos "ue producen la tensión normal y la cortante. 'os esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se denen como un con"unto de fuerzas y momentos est%ticamente equialentes a la distribución de tensiones internas sobre el %rea de esa sección. s, por e"emplo, los esfuerzos sobre una sección transersal plana de una iga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa %rea plana. /ormalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la iga (o espesor de la placa o l%mina) y los tangentes a la sección de la iga (o supercie de la placa o l%mina)& •
sfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que iene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al %rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
•
sfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que iene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al %rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
#on$ención de signos de la tensión normal. 'a tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la e!istencia de tensiones normales% las cuales pueden estar producidas por un momento 0ector, de acuerdo con la ley de /aier. 'os bimomentos tambi2n proocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.
'a tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la e!istencia de tensiones tangenciales. ()3imomentos& 4ipo de esfuer7o interno resultante de las tensiones perpendiculares (normales$ a la secci4n transversal asociadas al ala%eo seccional de un prisma mecánico.
#on$ención de signos de la tensión cortante. 'a tensión cortante es aquella act5a tangente al plano "o. Se suele denotar por la letra griega . n piezas prism%ticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.
#&rculo de 'or para la tracción simple. l crculo de 6or# es un crculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que e!isten en una sección inclinada cualquiera de la barra. l crculo de 6o#r es una t2cnica usada en ingeniera para representar gr%camente un tensor sim2trico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de un crculo como por e"emplo el radio, el centro, entre otras. 4ambi2n es posible el c%lculo del esfuerzo cortante m%!imo absoluto y la deformación m%!ima absoluta. 7onstrucción del crculo de 6o#r
Se toman unos e"es coordenados de forma que en el e"e de abscisas situemos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. 'os puntos representatios de las tensiones que act5an en $ caras perpendiculares denen un di%metro del crculo de 6or#.
'as tensiones cortantes que act5an en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.
Para dibu"ar correctamente el crculo de 6o#r deben tenerse en cuenta los siguientes detalles - l sentido de giro del %ngulo " en el crculo se corresponde con el sentido de giro del plano 3 en la realidad. - l signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positio si giran en sentido de las agu"as del relo" alrededor del elemento diferencial y negatio en caso contrario. - l %ngulo entre dos radios del crculo equiale al doble del %ngulo entre los planos reales correspondientes.
TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA DOS DIMENSIONES Considere un cuerpo so%re el cuál act:a un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano )*+ de modo ue no e)istan esfuer7os en el sentido perpendicular a este (esfuer7os en 7 nulos$. doptamos un elemento triangular donde se supone ue los e2es ) e * son principales+ o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposici4n se hace con el fin de no complicar la matemática+
Circunferencia de Mohr para un estado de tensi4n %idimensional.
;ueremos o%tener una relaci4n entre las tensiones en las áreas )+ * * <. Evaluemos el euili%rio de fuer7as en la direcci4n del e2e )
hora evaluemos el euili%rio de fuer7as en la direcci4n del e2e *
Considerando ue ) 9<.cos< * ue * 9<.sen<+ reescri%imos las ecuaciones 1 * 0
Multiplicando la ecuaci4n (1"1$ por cos<+ la (0"0$ por sen< * sumando am%as se llega a
5 considerando las relaciones trigonométricas
6e llega a
nali7amos las ecuaciones (1"1$ * la (0"0$ para o%tener el corte en el plano < Multiplicando la ecuaci4n (1"1$ por sen<+ la (0"0$ por cos<+ sumando am%as * considerando las relaciones trigonométricas (=$ se llega a
O%sérvese ue las ecuaciones (!$ * (>$ no son más ue las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano )*+ la ecuaci4n de la circunferencia se o%tiene considerando la relaci4n trigonométrica+ entonces reempla7ando en (!$ * (>$ se o%tiene
Esta circunferencia es lo ue denominamos ?Círculo de Mohr@ para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma *) * un punto cualuiera perteneciente al perímetro de la circunferencia+ tiene valor 0<+ siendo < el ángulo de inclinaci4n del plano para el cuál las tensiones so%re esa superficie valen A< * B<. Consideremos A) A*.
sí como se calcul4 el estado tensional en el plano < a partir de las tensiones principales+ el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de e2es se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.
TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR TENSIONALES TRIDIMENSIONALES
PARA
ESTADOS
In!"#$%&&'n 6ea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas+ * la cuarta cara es un plano o%licuo. 6ean las tensiones Ai * las áreas i correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.
El euili%rio de fuer7as de este s4lido se puede e)presar a partir de la siguiente ecuaci4n vectorial
Como donde Di es el coseno del ángulo entre los vectores normales a los planos . -e esta manera la ecuaci4n (a$ se puede escri%ir de la forma
hora la componente normal al plano o%licuo de A se puede o%tener pro*ectando esta so%re la direcci4n
Considerando ue el versor D tiene coordenadas cartesianas Di+ entonces
-onde
es el versor en la direcci4n &i.
Considerando la ecuaci4n (%$ entonces la (c$ se puede escri%ir como
Guego la tensi4n total so%re el plano o%licuo se puede e)presar en funci4n de sus componentes normal * coincidente con el plano o%licuo
Entonces a partir de (%$ * (d$ se llega a
•
Te#"* $e+ &'"&%+# $e M#," -*"* es!*$#s !ens'#n*+es !"' . $'ens'#n*+es 6upongamos ue elegimos los e2es coordenados de modo ue estos son los principales (e2es principales auellos en donde la tensi4n normal de las caras es má)ima o nula * el corte nulo$. El tensor de tensiones en ese caso para un elemento c:%ico será
6i ueremos conocer el versor D de un cierto plano+ conociendo su estado tensional * recordando (d$+ (e$ * ue la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor D es uno + se o%tienen las siguientes ecuaciones
Este es un sistema de tres ecuaciones con tres inc4gnitas. 6uponga ue las tensiones principales tienen magnitudes tal ue Gas inc4gnitas de este sistema son
Como los cuadrados de los cosenos son ma*ores a cero+ entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1+0 * + los numeradores de los mismos de%en cumplir
Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano * son las ecuaciones ue definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones+ las circunferencias son simétricas respecto del e2e de ordenadas * las tensiones principales se u%ican en el e2e de ordenadas. Gas desigualdades de esta indican el con2unto de estados tensionales posi%les en ese punto para distintos planos+ con distintas inclinaciones. na gráfica a modo de e2emplo se presenta a continuaci4n
!iste un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este caso se denomina
Aplicaciones •
Presión de 0uidos
•
Profundidad
•
7o#esión
•
Sistema magm%tico
n la ingeniera estructural se utiliza para determinar la carga de rotura, as como el %ngulo de la rotura de una fractura de desplazamiento en materiales cer%micos y similares como el #ormigón. l crculo de 6o#r se utiliza para determinar los %ngulos donde esas tensiones sean m%!imas. 8eneralmente la rotura se producir% para el caso de tensión principal m%!ima.
7irculo de 6o#r 3ree rese9a& #ttp&::;;;.aero.ing.unlp.edu.ar:catedras:arc#ios:7irculo<$=de <$=6o#r.pdf >usticación matem%tica #ttp&::oc;.upm.es:ingenieria-agroforestal:mecanica-ymecanismos:7ontenidos:4eoria:1.?.7irculo-6o#r.pdf 4ensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al e"e de la misma #ttp&::ibiguridp?.;ordpress.com:res:mo#r: 4eora del crculo de 6o#r para dos dimensiones&
#ttp&::;;;.aero.ing.unlp.edu.ar:catedras:arc#ios:7irculo<$=de <$=6o#r.pdf #ttp&::oc;.upm.es:ingenieria-agroforestal:mecanica-ymecanismos:7ontenidos:4eoria:1.?.7irculo-6o#r.pdf
4eora del crculo de 6o#r para estados tensionales tri dimensionales& #ttp&::;;;.aero.ing.unlp.edu.ar:catedras:arc#ios:7irculo<$=de <$=6o#r.pdf #ttp&::oc;.upm.es:ingenieria-agroforestal:mecanica-ymecanismos:7ontenidos:4eoria:1.?.7irculo-6o#r.pdf
"emplo de aplicación de 7irculo de 6o#r #ttp&::;;;.aero.ing.unlp.edu.ar:catedras:arc#ios:7irculo<$=de <$=6o#r.pdf plicación #ttp&::;;;.geociencias.unam.m!:@alaniz:7<7?<Arculo<$=de <$=6o#r.ppt
