Transformación Transformación de Deformaciones Deformaciones
Considerar un estado plano de deformaciones. Las deformaciones del material ocurren en planos paralelos siendo las mismas en cada uno de estos planos (definidos por el y. vector z). En la Fig. 1, las cargas actúan en los planos definidos por los vectores x e y. El cuerpo o sólido está restringido de contraerse o expenderse lateralmente (dirección z). z).
ε z = γ zx zx = γ zy zy = 0
y
y
• Q ∆s x1 ∆s
y1
θ
x
∆s(1+ε x)
x
y
∆s(1+ε y)
• Q y1
γ xy xy + π / 2 x1
/ 2 - γ xy xy
π
θ
z
x
Fig. 1. Estado de deformaciones deformacio nes planas
Considerar un estado plano de deformaciones del punto Q (Fig. 1). El objetivo es determinar en términos del tensor de deformaciones deformaciones ( ε x, ε y y γ xy xy ) (referidos a un sistema xy) xy) y
θ
los componentes del tensor de deformaciones
ε x , ε y , γ x y 1
1
1 1
sistema x sistema x1 y1 . Para ello considerar el elemento ABC de la Fig 2.
y
∆s θ
A
∆ x
B
y
B1
∆s(1+ε (θ))
∆ y
A1
C
∆ x(1+ε x)
x
C1
∆ y(1+ε y)
x
Fig. 2. Compatibilidad Compatibilidad de deformaciones deformaciones
1
x
+ π / 2
referidos a un
Longitudes del elemento deformado:
A1C1 = ∆ x(1+ε x); A1B1 = ∆s(1+ε( θ ) ); ); B1C1 = ∆ y(1+ε y), considerando el valor de γ xy xy infinitesimal.
Aplicando la ley del coseno al triángulo A 1B1C1 (elemento deformado), se obtiene la siguiente expresión
( A1 B1 )2 = ( A1C 1 )2 + (C 1 B1 )2 − 2( A1C 1 )(C 1 B1 )cos(π / 2 + γ xy ) (∆s )2 (1 + ε (θ ))2
(1a)
( )2 (1 + ε x )2 + (∆ y )2 (1 + ε y )2 − 2(∆ x )(1 + ε x )(∆ y )(1 + ε y )cos(π / 2 + γ xy ) (1b)
= ∆ x
Considerar las siguientes relaci re laciones ones geométricas geo métricas y trigonométricas:
∆ x = ∆s cos(θ); ∆ y = ∆s(sin(θ)) y cos(π /2 + γ xy xy) = -sin γ xy xy
≈
γ xy xy considerando el valor
γ xy xy infinitesimal. Estas relaciones se reemplazan en la Ec (1b), se desarrollan los cuadrados de binomios y productos entre binomios y se desprecian los términos de segundo orden de ε( θ ), ε x, ε y y γ xy xy (deformaciones infinitesimales), resultando la siguiente expresión
ε (θ ) = ε x cos 2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sin θ cos θ
(2)
2
Utilizando las siguientes identidades trigonométricas en la Ec. 2: sin θ
); sin2
θ
= 2sin
θ
cos
θ
; cos2
θ
= 1/2(1 + cos2
θ
θ
), y cos 2θ = cos2
= 1/2(1− cos2 θ
− sin2
θ,
la
ecuación de transformación de deformaciones (Ec. 2) puede escribirse como
γ ε x + ε y ε x − ε y + cos 2θ + xy sin 2θ 2 2 2
ε (θ ) = ε x1 =
Reemplazando
θ
por π /2 +
θ
(3)
en la relación anterior se obtiene la deformación normal a
lo largo del eje y1, considerando las relaciones cos( π + 2θ) = -cos2 θ y sin(π + 2θ) = sin2θ
2
γ ε x + ε y ε x − ε y − cos 2θ − xy sin 2θ 2 2 2
ε y1 =
Observación: Notar que ε x + ε y =
ε x
1
+ ε y 1
(4)
= c (constante).
Considerar esquema de deformaciones planas presentado en la Fig. 3.
y
(a)
y
y1
B
(b) B1
45º
45º
x1
45º
45º
θ
x
O
O
x
Fig.3 Deformación por corte en función de las deformaciones normales
Aplicando la Ec. 3 a ambos esquemas de deformación de la Fig. 3 se obtienen las siguientes relaciones de deformación
ε OB =
ε x + ε y
+
γ xy
2
⇒
2
ε OB1 = ε (θ + 45º ) =
γ xy =
ε x + ε y 2
2ε OB
−
(ε
x +
ε y
)
γ ε x − ε y sin 2θ + xy sin 2θ − 2 2
(5)
(6)
En base a la Ec. (5), la deformación de corte referida al sistema de coordenadas x1 y1 tiene la siguiente expresión
γ x y
1 1
=
2ε OB1 −
ε x1
(7)
+ ε y
1
Sustituyendo las Ecs. 3, 4 y 6 en la Ec. 7 se obtiene la siguiente expresión para la deformación de corte referida al sistema de coordenadas x1 y1 en base a las componentes del tensor de deformaciones referido al sistema xy
ε x − ε y γ sin 2θ + xy cos 2θ = − 2 2 2
γ x1 y1
(8)
3
Recordar que la transformación de la tensión tangencial tiene la forma
τ x y
1 1
σ y − σ x sin 2θ + τ xy cos 2θ = 2
(9)
Interpretación gráfica de las ecuaciones de transformación de deformaciones: Círculo de Mohr.
El concepto de círculo de Mohr puede extenderse al análisis de deformaciones planas ya que las ecuaciones de transformación tienen la misma forma que las asociadas a la transformación de tensiones. Por lo tanto, se tiene la relación
(ε
x1
2
γ x y 2 − c ) + 2
1 1
= d 2
(10)
donde
c
=
ε x + ε y
(11a)
2 2
ε x − ε y γ xy + d = 2 2
2
(11b)
La Ec. 10 representa la expresi e xpresión ón analítica de un circulo de radio d con centro en ( c, 0). Considerar la representación gráfica de la Ec. 10 en la Fig. 4
γ / 2
D Y
1/2γ max max
B O
y
2θ p
ε ∆s(1+ε max max)
X ε avg avg
∆s(1+ε min min)
∆s
Α C
ε min min
b
(plano)
θ p
E
O
Fig. 4. Representación grafica de las ecuaciones de transformación de deformaciones deformaciones planas: círculo de Mohr 4
a x
El valor del segmento OC es igual a ( ε x+
ε y)/2
=
ε avg avg
y el radio d del círculo está dado
por la Ec. 11b. Los puntos A y B, donde el círculo interfecta el eje longitudinal corresponden a las deformaciones principales: Imponiendo la condición
tan 2θ p
γ x y
1 1
=
ε max max
ε x
−
ε avg avg
+ d ;
ε min min
=
ε avg avg
– d .
0 , se encuentra encuentra la condición siguiente
γ xy =
=
ε ,
(12)
ε y
que determina los planos principales, es decir, planos donde se generan la máxima y mínima deformación deformación normal (Fig. 4). La máxima deformación deformación de corte, cuya magnitud magnitud es igual a 2 d (diámetro círculo de Mohr – Fig. 4), se produce en un plano determinado por la expresión
tan 2θ s
− =
ε x
−
ε y
(13)
γ xy
Análisis Tridimensional de Deformaciones Deformaciones Considerar un análisis tridimensional de tensiones ( a, b, c), tal como se muestra en la Fig. 5a. Por lo tanto, se cumple que cumple que
γ ab
=
γ bc
=
γ ca
τ ab ab
=
τ bc bc
=
τ ca ca
= 0. Utilizando la ley de Hooke, se
= 0. Por lo tanto, los ejes ( a, b, c) son ejes principales de
deformación. Si el elemento se rota en torno al eje c (Fig. 5b), el método desarrollado para la transformación de deformaciones planas puede ser utilizado para determinar los correspondientes correspondientes valores de
ε x, ε y
y γ xy asociados a las “caras” perpendiculares al eje c.
Considerar los siguientes círculos definidos en la Fig.5c.
Diámetro AB: deformaciones en el plano definido por el eje c (rotación entorno a c).
Diámetro CB: deformaciones en el plano definido por el eje a (rotación en torno a a).
Diámetro CA: deformaciones en el plano definido por el eje b (rotación en torno a b).
5
(a)
(b) 1 + ε x
π /2
+ γ xy xy
1 + ε c
1 + ε x
(c) 1/2γ
1/2γ max max
C
Α
Β
Ο
ε min min
ε
ε max max
Fig. 5. Estado Est ado tridimensional tridimensional de deformaciones deformaciones principales
Considerando un problema de tensiones planas. Suponer que ley de Hooke se obtiene que
γ zx
=
γ zy
τ xz
=
τ yz
=
σ zz
= 0. De la
= 0. Por lo tanto, el eje z es eje principal de
deformaciones y tensiones. De la ley de Hooke no se obtiene que
ε zz
sea igual a cero. En
general, un estado de tensiones planas, no induce un estado de deformaciones planas.
Mediciones de Deformación: Deformación: Rosetas de Deformación Deformación Considerar las las mediciones mediciones de deformaciones de la Fig. 6a. 6a. Conocidos Conocidos los valores de las deformaciones
ε x, ε y
y
ε OB OB
(deformación normal normal a lo largo de de la bisectriz bisectriz OB) se
puede obtener el valor de la deformación tangencial
γ xy
por medio de la Ec. 5 (γ xy = 2ε OB OB
-(ε x - ε y )). Las componentes
ε x, ε y
y
γ xy
en cualquier punto Q del sólido, pueden obtenerse de
medidas de formaciones normales hechas a lo largo de tres líneas (cualesquiera) que pasen por el punto Q.
6
(a)
(b)
L3
y
L2
B
ε OB OB ε y
θ3
O
θ1
x
ε x
L1
θ2
x
Fig. 6. Rosetas de medición de deformaciones
Considerando la Fig. 6b, se cumplen las siguientes relaciones (Ec. 2):
ε (θ 1 ) = ε 1
=
2
ε x cos θ 1
ε (θ 2 ) = ε 2
=
ε x cos θ 2
ε (θ 3 ) = ε 3
=
ε x cos θ 3
2
2
+
2
ε y sin θ 1
+
2
+
ε y sin θ 2
+
ε y sin θ 3
Conocidos los valores de
2
ε 1, ε 2
y
γ xy sin θ 1 cos θ 1
+
+
ε 3
(14a)
γ xy sin θ 2 cos θ 2
(14b)
γ xy sin θ 3 cos θ 3
(14c)
además de los ángulos θi (i = 1, 2 y 3), el sistema
de ecuaciones representado por las Ecs. 14 puede resolverse simultáneamente para las variables ε x, ε y y
γ xy.
7
