INTRODUCCIÓN Christian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máimos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se lama Circulo de Mohr! este método fue desarrollado cerca del a"o #$$%. El método de Mohr consiste en representar el estado plano co mpleto de esfuerzo mediante el di&u'o de un círculo en el plano s(. El círculo de Mohr se di&u'a en un sistema de e'es perpendiculares con el esfuerzo cortante )*+ marcado en el e'e vertical y el esfuerzo normal ),+ en el e'e horizontal. - continuación se hará una &reve eplicación so&re este método haciendo énfasis en los conceptos con ceptos más importantes además de la resolución de pro&lemas empleando este método.
ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN
ii
1.- Circulo de Mohr.
)
2.- Circunferenci de Mohr !r e"fuer#o".
)
2.1.- Caso bidimensional.
)
2.2.- Caso tridimensional.
*
$.- C%rculo de Mohr !r l &rcci'n "i(!le.
6
).- E"fuer#o !rinci!l.
*.- Procedi(ien&o !r clculr el c%rculo de Mohr.
E+ercicio 1,-11
7
E+ercicio 1,-2
12
CONCU/IÓN
1$
RE0ERENCI/ IIO3R40IC/
1)
NE5O/
1*
1.- Circulo de Mohr El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico )de %% o de + y calcular con ella momentos de inercia! deformaciones y tensiones! adaptando los mismos a las características de una circunferencia )radio! centro! entre otros+. (am&ién es posi&le el cálculo del esfuerzo cortante máimo a&soluto y la deformación máima a&soluta. Este método fue desarrollado hacia #$$% por el ingeniero civil alemán Christian /tto Mohr )#$01#2#$+.
2.- Circunferenci de Mohr !r e"fuer#o" 2.1- Caso bidimensional
En dos dimensiones! la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máima y mínima! a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial so&re dos ángulos que forman 2345
Medida #
8
Medida %
8
σ x , −τ
σ y , τ
9
9
6a de hacer notar que el e'e vertical se encuentra invertido! por lo que esfuerzos positivos van hacia a&a'o y esfuerzos negativos se u&ican en la parte superior. 7sando e'es rectangulares! donde el e'e horizontal representa la tensión normal )
σ
+ y el e'e vertical representa la tensión cortante o tangencial )
τ
+ para
cada uno de los planos anteriores. 8os valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera5
Centro del círculo de Mohr5 C :=σ med , 0 ¿=(
σ x + σ y 2
,0)
9adio de la circunferencia de Mohr5
r :=
√(
σ x − σ y 2
)
2 2 + r xy
8as tensiones máima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por5 σ max =σ med + r σ max= σ med + r
Estos valores se pueden o&tener tam&ién calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por5
T | x , y =
[
σ x τ
τ σ y
]
2.2.- Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto : de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de para la que eisten valores propios! no necesariamente diferentes.
;
T | x , y , z=
[
σ x τ yx
τ xy σ y
τ xz τ yz
τ xz
τ yz
σ z
]
En el caso general! las tensiones normal )
σ
+ y tangencial )
τ
+! medidas
so&re cualquier plano que pase por el punto :! representadas en el diagrama ) τ
σ
!
+ caen siempre dentro de una región delimitada por círculos. Esto es más
comple'o que el caso &idimensional! donde el estado tensional caía siempre so&re una única circunferencia. Cada uno de las circunferencias que delimitan la región de posi&les pares )
$.2.-
σ
!
τ
+ se conoce con el nom&re de circunferencia de Mohr.
C%rculo de Mohr !r l &rcci'n "i(!le.
El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que eisten en una sección inclinada cualquiera de la &arra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia! deformaciones y tensiones! adaptando los mismos a las características de un círculo )radio! centro! entre otros.+. (am&ién es posi&le el cálculo del esfuerzo cortante máimo a&soluto y la deformación máima a&soluta. El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma5
0
o" !un&o" re!re"en&&i:o" de l" &en"ione" ;ue c&<n en 2 cr" !er!endiculre" definen un diá(e&ro del c%rculo de Mohr. " &en"ione" cor&n&e" ;ue c&<n en do" "eccione" !er!endiculre" "on igule" = de "en&ido con&rrio. :ara di&u'ar correctamente el círculo de Mohr de&en tenerse en cuenta los siguientes detalles5
El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de
giro del plano -= en la realidad. El signo de las tensiones tangenciales )t+ se toma co mo positivo si giran en sentido de las agu'as del relo' alrededor del elemento diferencial y negativo en
caso contrario. El ángulo entre dos radios del círculo equivale al do&le del ángulo entre los planos reales correspondientes.
).- E"fuer#o" !rinci!le". 8os esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan so&re el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. 8os esfuerzos normales principales se notan como
σ 1 , σ 2 , σ 3
! y donde
σ 1 > σ 2> σ 3
! y en el
ángulo de rotación en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máimo a&soluto se nota como
τ max
y en el ángulo de rotación al que se da los
esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.
*.- Procedi(ien&o !r clculr el c%rculo de Mohr. :ara construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de pro&lemas! se usa el siguiente procedimiento5
>
#.1 .%; )a+! o&teniendo dos puntos en la periferia del círculo. @e acuerdo con la convención de signos! los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión! negativos. 8os esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al &loque en sentido de las manecillas del relo'! tales como los de las caras ac y &d! se consideran negativos. En el círculo de la ?ig. >.%; )&+! el punto A con coordenadas )B , ! B *+! y el punto 6 con coordenadas )B , y! 1 *+ son los puntos que se trazarán. .1
1,-11.
@etermine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máimo con
el circulo de Mohr. 8as series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes5 a+ @i&u'e el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos
σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom
.
&+ En el círculo de Mohr! indique la línea que presenta el e'e en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c+ En el círculo de Mohr! indique los ángulos a partir de la línea que representa el e'e hacia el e'e
σ 1
y el e'e
τ máx
.
d+ @i&u'e el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máimo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial.
DTO/> σ x =−840 KPa
σ y =−35 KPa
τ xy =650 KPa SAH
$
El ldo inferior del &ringulo> a=
1
a=
1
2
El cen&ro O del circulo e"& en
(σ x −σ y )
σ prom =
(−840−(−35 ) )=−402,5 KPa 2
El rdio del circulo> R= √ a
2
σ prom =
2
1 2
>
(σ x + σ y )
(−840 + (−35 )) =−437,5 KPa
El ldo :er&icl del &ringulo b =τ xy=650 KPa
+ b2
R= √ (−402,5 )
1
σ prom
2
+( 650 )2 =764,53 KPa
E"fuer#o cor&n&e (á?i(o @ 6)A*$ BP
σ 1=O + R
O=σ prom
σ 1= σ prom + R
σ 2=O − R
σ 1=−437,5 + 764,53 =327,03 KPa
σ 2=−437,5 −769,84 =−1202,03 KPa
4ngulo"> 2 ∅ = 90 º −2 ∅
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ = 90 º −( −58,23 ) =148,23 º
2 ∅ =tan
−1
'
'
2
() b a
( − )= 650
402,5
58,23 º
∅
'
=
148,23 º 2
=74,11 º
∅
#3
=
58,23 º 2
= 29,11º
##
1,-2.
@etermine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máimo con
el circulo de Mohr. 8as series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes5 a+ @i&u'e el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos
σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom
.
&+ En el círculo de Mohr! indique la línea que presenta el e'e en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c+ En el círculo de Mohr! indique los ángulos a partir de la línea que representa el e'e hacia el e'e
σ 1
y el e'e
τ máx
.
d+ @i&u'e el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máimo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial.
DTO/> σ x =775 KPa
σ y =−145 KPa
τ xy=0 KPa
El ldo inferior del &ringulo>
El cen&ro O del circulo e"& en
#%
σ prom
>
a=
1
a=
1
(σ x −σ y )
σ prom =
( 775−(−145 ) )= 460 KPa
σ prom =
2
2
El rdio del circulo> R= √ a
2
2
2
1 2
(σ x + σ y )
( 775 + (−145 ) )=315 KPa
El ldo :er&icl del &ringulo b =τ xy=0 KPa
+ b2
R= √ ( 460 )
1
+( 0 )2= 460 KPa
E"fuer#o cor&n&e (á?i(o @ )6, BP
σ 1=O + R
O=σ prom
σ 1= σ prom + R
σ 2=O − R
σ 1=315 + 460 =775 KPa
σ 2= 315− 460=−145 KPa
4ngulo"> '
2 ∅ =tan
−1
'
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ = 90 º −2 ∅
2 ∅ = 90 º −0 =90 º
∅
'
=
90 º 2
= 45 º
∅
#
0
= =0 º 2
() b a
( )= 0
460
0 º
#;
CONCU/IÓN
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia! esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo )radio! cen tro! entre otros+. Con este método tam&ién es posi&le el cálculo rápido y eacto de los esfuerzos principales máimo y mínimo! el esfuerzo cortante máimo! los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máimo y el esfuerzo normal que eiste 'unto con el esfuerzo cortante máimo so&re el elemento sometido al esfuerzo co rtante máimo. 8a razón para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se encuentra en la información! simultáneamente general y detallada! que el circulo de Mohr suministra so&re determinados pro&lemas de la ingeniería. 8as aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores! a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. (an solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para o&tener ecuaciones de interés en la solución de algunos pro&lemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores.
RE0ERENCI/ IIO3R40IC/ ECRRA 0.A 2,, DCirculo de Mohr. 8i&ro en 8ínea. @isponi&le en5 http5FFi&iguridp.Gordpress.comFresFmohrF
UNA .A 2,11 DCirculo de Mohr y Columnas. 8i&ro en 8ínea. @isponi&le en5 http5FFes.scri&d.comFdocF;2>2;2FMecanica1de1Materiales1Circulo1de1Mohr1 y1Columnas.
C/TROA C.A 2,,7 DEsfuerzos principales y el Circulo de Mohr. 8i&ro en 8ínea. @isponi&le en5 http5FFes.scri&d.comFdocF#200%;FEsfuerzos1principales1y1el1 Circulo1de1Mohr
EÓNA D.A 2,,6 DCirculo de Mohr. 8i&ro en 8ínea. @isponi&le en5 http5FFes.GiHipedia.orgFGiHiFCICI-@rculoJdeJMohr
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